2020年中考数学压轴题冲刺提升专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识.docx

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1、专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转【例1】(2019济源一模)在菱形 ABCD 中,ABC=60,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边APE,点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化(1)探索发现如图1,当点E在菱形ABCD 内部或边上时,连接CE填空:BP与CE的数量关系是 ,CE 与 AD 的位置关系是(2)归纳证明当点E在菱形 ABCD 外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理)(3)拓展应用如图4,当点P在线段 BD 的延长线上时,连

2、接BE,若AB=,BE=,请直接写出四边形 ADPE 的面积 图1 图2 图3 图4【答案】(1)BP=CE,CEAD;(2)(3)见解析.【解析】解:(1)连接AC,延长CE至AD,四边形ABCD是菱形,ABC=60,BAD=120,BAC=60,CAD=60,ABC是等边三角形,AB=AC,APE是等边三角形,AP=AE,PAE=60,BAP=CAE,BAPCAE,BP=CE,ABC=60,ABP=30,BAPCAE,ABP=ACE=30,CAD=60,ACE+CAD=90,即CDAD.(2)结论仍然成立,理由如下:(以图2为例)连接AC,设CE与AD交于点H,四边形ABCD是菱形,ABC

3、=60,ABC和ACD是等边三角形,ABD=CBD=30,AB=AC,BAC=60,APE是等边三角形,AP=AE,PAE=60,BAP=CAE,BAPCAE,BP=CE,ACE=ABP=30,CAH=60,AHC=90,即CEAD;(3)连接AC交BD于O,连接CE,由(2)知,CEBC,AB=,BE=,在RtBCF中,由勾股定理得:CE=8,由BAPCAE,得:BP=CE,BD=6,DP=BPBD=2,AO=,在RtAOP中,由勾股定理得:AP=,S=SADP+SAPE=8.【变式1-1】(2019周口二模)在ABC中,ABC为锐角,点M为射线AB上一动点,连接CM,以点C为直角顶点,以C

4、M为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN,连接NB(1)如图1,图2,若ABC为等腰直角三角形,问题初现:当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点,则线段BN,AM之间的位置关系是_,数量关系是_;深入探究:当点M在线段AB的延长线上时,判断线段BN,AM之间的位置关系和数量关系,并说明理由;类比拓展:(2)如图3,ACB90,若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点,MPCM交线段BN于点P,且CBA=45,BC=,当BM=_时,BP的最大值为_图1图2图3【答案】(1)BNAM,BN=AM;(2)见解析,(3)2, 1.【解析】解:(1)由AC=BC,ACM=BCN,CM=CN,可证A

5、CMBCN,BN=AM,A=CBN=45,ABN=90,即BNAM.(2)BNAM,BN=AM;理由如下:ABC是等腰直角三角形,AC=BC,A=ABC=45,ACB=90,同理,NCM=90,NC=MC,ACM=BCN,ACMBCN,BN=AM,A=CBN=45,ABN=90,即BNAM.(3)过C作CGBC交BA的延长线于G,过C作CHAB于H,如图所示,易证GCMBCN,由(2)知,BNAB,CHMMBP,,即,设BM=x,则BP=,当BM=2时,BP取最小值,最小值为1.【例2】(2018洛阳三模)在正方形ABCD中,动点E、F分别从D、C两点出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.

6、(1)如图1,当点E在边CD上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由;(2)如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明);连接AC,请你直接写出ACE为等腰三角形时CE:CD的值;(3)如图3,当E,F分别在直线DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图若AD=2,试求出线段CP的最大值【答案】见解析.【解析】解:(1)AE=DF,AEDF,理由如下:四边形

7、ABCD是正方形,AD=DC,ADE=DCF=90,由题意知:DE=CF,ADEDCF,AE=DF,DAE=FDC,ADE=90,ADP+CDF=90,ADP+DAE=90,APD=18090=90,AEDF;(2)(1)中的结论还成立,CE:CD=或2,理由如下:如图,当AC=CE时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得:AC=CE=a,则CE:CD=a:a=;如图,当AE=AC时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得:AC=AE=a,四边形ABCD是正方形,ADC=90,即ADCE,DE=CD=a,CE:CD=2a:a=2;故,CE:CD=或2;(3)点P在运动中APD=90,点P

8、的路径是以AD为直径的圆,如图,设AD的中点为Q,连接CQ并延长交圆Q于点P,此时CP的长度最大,在RtQDC中,由勾股定理得:QC=,CP=QC+QP=+1,即线段CP的最大值是+1【变式2-1】(2019西华县一模)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点,且CE=BF连接DE,过点E作EGDE,使EG=DE,连接FG,FC(1)请判断:FG与CE的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)如图2,若点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;(3)如图3,若点E,F分别是边BC,AB延长线上的点,其它条件不变,(1)中

9、结论是否仍然成立?请直接写出你的判断图1 图2 图3【答案】(1)FG=CE,FGCE;(2)(3)见解析【解析】解:(1)FG=CE,FGCE;BF=CE,BC=CD,FBC=DCE=90,BCFCDE,DEC=CFB,CFB+FCB=90,DEC +FCB=90,即CFDE,DEEG,EGCF,EG=DE=CF,四边形FCEG是平行四边形,FG=CE,FGCE;(2)BF=CE,BC=CD,FBC=DCE=90,BCFCDE,DEC=CFB,CF=DE,CFB+FCB=90,DEC +FCB=90,即CFDE,DEEG,EGCF,EG=DE=CF,四边形FCEG是平行四边形,FG=CE,F

10、GCE;(3)成立由上可证:CBFDCE,得:BCF=CDE,CF=DE,EG=DE,CF=EG,DEEGDEC+CEG=90CDE+DEC=90CDE=CEG,BCF=CEG,CFEG,四边形CEGF平行四边形,FGCE,FG=CE1.(2019河南南阳一模)我们定义:如图1,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB,把AC绕点A逆时针旋转得到AC,连接BC,当+=180时,我们称ABC是ABC的“旋补三角形”,ABC边BC上的中线AD是ABC的旋补中线,点A叫旋补中心.特例感知:(1)在图2,图3中,ABC是ABC的“旋补三角形”,ABC边BC上的中线AD是ABC的旋补中线,

11、如图2,当ABC是等边三角形时,AD与BC的数量关系是如图3,当BAC=90,BC=8时,则AD的长为猜想论证:(2)如图1,当ABC是任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.【分析】(1)由ABC是等边三角形,得AB=BC=AC=AB=AC,BAC=60,BAC+BAC=180,得B=C=30,即BC=2AD;可利用“直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半”,证得:BC=2AD,AD=4;(2)BC=2AD,利用倍长中线构造全等三角形,延长AD至M使DM=AD,连接BM,CM,证得ABCBAM,得BC=AM,BC=2AD.【解析】解:(1)ABC是等边三角形,AB=BC=AC=A

12、B=AC,BAC=60,DB=DC,ADBC,BAC+BAC=180,BAC=120,B=C=30,BC=2AD,即:答案为BC=2AD.BAC=90,BAC+BAC=180,BAC=BAC=90AB=AB,AC=AC,BACBAC,BC=BC,BD=DC,BC=2AD,BC=8,AD=4;(2)结论:BC=2AD,理由如下:如图,延长长AD至M使DM=AD,连接BM,CM,AD=DM,BD=DC,四边形ACMB是平行四边形,AC=BM=AC,BAC+BAC=180,ABM+BAC=180,BAC=ABM,AB=AB,BACABM,BC=AM,即BC=2AD.2.(2019郑州外国语测试)已知

13、如图1所示,在ABC中,ACB=90,AC=BC,点D在AB上,DEAB交BC于E,点F是AE的中点,(1)写出线段FD与线段FC的关系并证明;(2)如图2所示,将BDE绕点B逆时针旋转(090),其它条件不变,线段FD与线段FC的关系是否变化,写出结论并证明;(3)将BDE绕点B逆时针旋转一周,如果BC=4,BE=2,直接写出线段BF的范围.【答案】见解析.【解析】解:(1)FD=FC,FDFC,理由如下:由题意知:ADE=ACE=90,AF=EF,DF=AF=EF=CF,FAD=FDA,FAC=FCA,DFE=FDA+FAD=2FAD,EFC=2FAC,CA=CB,ACB=90,BAC=B

14、=45,DFC=EFD+EFC=2(FAD+FAC)=90,FD=FC,FDFC.(2)结论不变,理由如下:延长AC至M使得CM=AC,延长ED至N,使DN=DE,连接BN、BM、EM、AN,延长ME交AN于H,交AB于O,如图所示,BCAM,AC=CM,AB=BM,同理得:BE=BN,ABM=EBN,NBA=EBM,ABNMBE,AN=EM,BAN=BME,AF=FE,AC=CM,CF=EM,CFEM,同理,FD=AN,FDAN,FD=FC,BME+BOM=90,BOM=AOH,BAN+AOH=90,AHO=90,即ANMH,FDFC.(3)由题意知,当点E落在线段AB上时,BF的长最大,如

15、图所示, 此时BF=3,当点E落在AB的延长线上时,BF的长最小,如图所示,此时,BF=,BF3.3.(2019偃师一模)特殊:(1)如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中,ACB=90作 CM平分ACB 交 AB 于点 M,点 D 为射线 CM 上一点,以点 C 为旋转中心将线段 CD 逆时针旋转 90得到线段 CE,连接 DE 交射线 CB 于点 F,连接 BD, BE填空:线段 BD,BE 的数量关系为 ;线段 BC,DE 的位置关系为 一般:(2)如图 2,在等腰三角形 ABC 中,ACB=,作 CM 平分ACB 交AB 于点 M,点 D 为ABC 外部射线 CM 上一点,以点 C 为

16、旋转中心将线段CD 逆时针旋转 度得到线段 CE,连接 DE,BD,BE请判断(1)中的结论是否成立,请说明理由特殊:(3)如图 3,在等边三角形 ABC 中,作 BM 平分ABC 交 AC 于点 M,点 D 为射线 BM 上一点,以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60得到线段 BE,连接 DE 交射线 BA 于点 F,连接 AD,AE若 AB=4,当ADM 与AFD 全等时,请直接写出 DE 的值图1 图2 图3【答案】(1)BD=BE,BCDE;(2)(3)见解析.【解析】解:(1)由题意知:ACM=BCM=45,由旋转知,DCE=90,CD=CE,ECB=DCB=45,BC=

17、BC,BCDBCE,BD=BE,CD=CE,BC是线段DE的垂直平分线,BCDE,(2)成立,理由如下,CM平分ACB,ACB=,ACM=BCM=,由旋转知,DCE=,CD=CE,BCD=BCE=又BC=BC,BCDBCE,BD=BE,CD=CE,BC是线段DE的垂直平分线,BCDE.(3)如图3,可证得:ABE=ABD =30,ABDE,由ADMADF,得:FAD=MAD=30,AF=BF=2,DE=2DF,在RtADF中,DF=AFtanDAF=,即DE=.如下图所示,同理,得FBD=30,AB=AD=4,ADF=ADM=30,DE=2DF=4,综上所述,DE的长为:,4.4.(2019省

18、实验一模)观察猜想(1)如图,在RtABC中,BAC90,ABAC3,点D与点A重合,点E在边BC上,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90得到线段DF,连接BF,BE与BF的位置关系是 ,BE+BF ;探究证明(2)在(1)中,如果将点D沿AB方向移动,使AD1,其余条件不变,如图,判断BE与BF的位置关系,并求BE+BF的值,请写出你的理由或计算过程;拓展延伸(3)如图,在ABC中,ABAC,BACa,点D在边BA的延长线上,BDn,连接DE,将线段DE绕着点D顺时针旋转,旋转角EDFa,连接BF,则BE+BF的值是多少?请用含有n,a的式子直接写出结论图1 图2 图3【答案】(1)BF

19、BE;BC;(2)(3)见解析. 【解析】解:(1)EAFBAC90,EAFBAEBACBAE,BAFCAE,AFAE,ABAC,BAFCAE,ABFC,BFCE,ABAC,BAC90,ABCC45,FBEABF+ABC90,BCBE+ECBE+BF,故答案为: BFBE,BC(2)过D作DHAC交BC于H, DHAC,BDHA90,DBH是等腰直角三角形,由(1)可证得:BFBE,BF+BEBH,ABAC3,AD1,BDDH2,BH2,BF+BEBH2;(3)过D作DHAC交BC的延长线于H,作DMBC于M ACDH,ACHH,BDHBAC,ABAC,ABCACBDBHH,DBDH,EDFB

20、DH,BDFHDE,DFDE,DBDH,BDFHDE,BFEH,BF+BEEH+BEBH,DBDH,DMBH,BMMH,BDMHDM,BMMHBDsinBF+BEBH2nsin5.(2019濮阳二模)在ABC中,ACBC,ACB,点D为直线BC上一动点,过点D作DFAC交AB于点F,将AD绕点D顺时针旋转得到ED,连接BE(1)特例猜想如图1,当90时,试猜想:AF与BE的数量关系是 ;ABE ;(2)拓展探究如图(2),当090时,请判断AF与BE的数量关系及ABE的度数,并说明理由(3)解决问题如图(3),在ABC中,ACBC,AB8,ACB,点D在射线BC上,将AD绕点D顺时针旋转得到E

21、D,连接BE,当BD3CD时,请直接写出BE的长度图1 图2 图3【答案】(1)AFBF,90;(2)(3)见解析.【解析】解:(1)设AB交DE于OACB90,ACBC,ABC45,DFAC,FDBC90,DFBDBF45,DFDB,ADEFDB90,ADFEDB,DADE,ADFEDB,AFBE,DAFE,AODEOB,ABEADO90,所以答案为AFBF,90(2)结论:AFBE,ABE理由如下:DFACACBFDB,CABDFB,ACBC,ABCCAB,ABCDFB,DBDF,ADFADEFDE,EDBFDBFDE,即ADFEDB,ADDE,ADFEDB,AFBE,AFDEBDAFDA

22、BC+FDB,DBEABD+ABE,ABEFDB(3)分两种情况讨论:当点D在线段BC上时,由(2)可知:BEAF,DFAC,AB8,AF2,BEAF2,当点D在BC的延长线上时,ACDF,AB8,AF4,即BE=4,综上所述,BE的长度为2或46.(2019开封二模)问题发现如图1,ABC是等边三角形,点D是边AD上的一点,过点D作DEAC交AC于E,则线段BD与CE有何数量关系?拓展探究如图2,将ADE绕点A逆时针旋转角(0360),上面的结论是否仍然成立?如果成立,请就图中给出的情况加以证明问题解决如果ABC的边长等于2,AD2,直接写出当ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长图

23、1 图2 备用图【答案】见解析【解析】解:(1)如图1,BDCE,理由是:ABC是等边三角形,ABAC,DEBC,ADE是等边三角形,即AD=AE,BDCE;(2)结论仍然成立,由图1得:ADAE,由旋转性质得:BADCAE,AB=AC,BADCAE,BDCE;(3)分两种情况讨论,如图所示,过D作DGAB,垂足为G,AFDE,AD=AE,DAFEAF30,BAD30,由AD2,得:DG1,AG,由AB2,得:BG,由勾股定理得:BD2如图,由(2)中证明可知:BADCAE,BDCE,ADAE,DEAC,ADE60EAFFAD30,EFFDAD1,AF,CFAC+CF3,在RtEFC中,由勾股

24、定理得:EC2,BDEC2,综上所述,BD的长为2或27.(2019安阳二模)(1)问题发现:如图1,在四边形ABCD中,ABDC,E是BC的中点,若AE是BAD的平分线,则AB,AD,DC之间的数量关系为 (2)问题探究:如图2,在四边形ABCD中,ABDC,E是BC的中点,点F是DC的延长线上一点,若AE是BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的数量关系,并证明你的结论(3)问题解决:如图3,ABCD,点E在线段BC上,且BE:EC3:4点F在线段AE上,且EFDEAB,直接写出AB,DF,CD之间的数量关系图1 图2 图3【答案】(1)ADAB+CD;(2)(3)见解析【解析】解:(

25、1)结论:ADAB+CD理由:ABCF,CFEEAB,CEEB,CEFAEB,CEFBEA ,ABCFAF平分DAB,DAFEAB,EABCFE,DAFDFA,ADDF,DFDC+CFCD+AB,ADAB+CD(2)结论:ABAF+CF理由:延长AE、DC交于G,ABDG,GEAB,CEEB,CEGBEA,CEGBEA,ABCG,GEAB,AE平分FAB,FAGEAB,GEAB,FAGG,FAFG,CGCF+FGCF+AF,ABAF+CF(3)结论:AB(CD+DF)延长AE、CD交于GCGAB,GA,ABCG,DFEA,DFGG,DFDG,CD+DFCD+DGCG,AB(CD+DF)8.(2

26、019中原名校大联考)如图1,在RtABC中,BAC90,ABAC,点D,E分别在边AB,AC上,ADAE,连接DC,BE,点P为DC的中点,(1)【观察猜想】图1中,线段AP与BE的数量关系是 ,位置关系是 (2)【探究证明】把ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置,(1)中的猜想是否仍然成立?若成立请证明,否请说明理由;(3)【拓展延伸】把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD4,AB10,请直接写出线段AP长度的最大值和最小值图1 图2【答案】(1)APBE,PABE;(2)(3)见解析【解析】解:(1)设PA交BE于点O ADAE,ACAB,DACEAB,DACEAB,BECD,ACDABE

27、,DAC90,DPPC,PACDPCPD,PABE,CPAE,CAP+BAO90,ABO+BAO90,AOB90,PABE,(2)结论成立理由:延长AP至M,使PMPA,连接MC,延长PA交BE于OPAPM,PDPC,APDCPM,APDMPC,ADCM,ADPMCP,ADCM,DAC+ACM180,BACEAD90,EABACM,ABAC,AECM,EABMCA,BEBM,CAMABE,PAAM,PABE,CAM+BAO90,ABE+BAO90,AOB90,PABE(3)AC10,CM4,104AM10+4,6AM14,AM2AP,3PA7PA的最大值为7,最小值为39.(2018新乡一模)

28、如图1,在ABC与ADE中,AB=AC,AD=AE,A是公共角.(1)BD与CE的数量关系是: ;(2)把图1的ABC绕点A旋转一定的角度,得到如图2所示的图形.求证:BDCE;BD与CE所在直线的夹角与DAE的数量关系是什么?说明理由.(3)若AD=10,AB=6,把图1中的ABC绕点A顺时针旋转度(0360)直接写出BD长度的取值范围.图1 图2【答案】(1)=;(2)(3)见解析.【解析】解:AD=AE,AB=BC,ADAB=AEAC,即BD=CE;(2)DAE=BAC,DAE+BAE=BAC+BAE.即BAD=CAE.在ABD和ACE中,ABDACE(SAS)BD=CE.BD与CE所在

29、直线的夹角与DAE的度数相等.延长DB交CE于点F.ABDACE,ADB=AECAOD=EOF,180-ADB-AOD =180-AEC-EOF,即DAE=DFE 当B在线段AD上时,BD最小,最小值为106=4;当B在线段DA延长线上时,BD最大,最大值为10+6=16,即4BD16.10.(2019河南模拟)【问题探索】(1)如图1,在RtABC中,ACB=90,AC=BC,点D,E分别在AC、BC边上,DC=CE,连接DE、AE、BD,点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点,连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为,最后推理得到BE与MN

30、的数量关系为.【深入探究】(2)将DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置,判断(1)中的结论是否仍然成立,如果成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;【答案】见解析.【解析】解:(1)PM=PN,PMPM;BE=MN;AM=ME,AP=PB,PMBE,PM=BE,同理:PNAD,PN=AD,AC=BC,CD=CE,AD=BE,PM=PN,ACB=90,ACBC,PMBC,PNAC,PMPN,PMN的等腰直角三角形,MN=PM,MN=BE,BE=MN.(2)结论仍然成立连接AD、延长BE交AD于点HABC和CDE是等腰直角三角形,CD=CE,CA=CB,ACB=DCE=90,ACD=ECB,ECBDCA,BE=AD,DAC=EBC,AHB=180-(HAB+ABH)=180-(45+HAC+ABH)=180-(45+HBC+ABH)=90,BHAD,M、N、P分别为AE、BD、AB的中点,PMBE,PM=BE,PNAD,PN=AD,PM=PN,MPN=90,BE=2PM=2MN=MN

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