《河南省2020年中考数学压轴题全揭秘专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识(含解析)42535.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《河南省2020年中考数学压轴题全揭秘专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识(含解析)42535.pdf(29页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题 13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识 模型一、A字形(手拉手)及其旋转 模型二、K字型及其旋转 【例 1】(2019洛阳二模)如图 1,在 RtABC 中,ABC=90,AB=BC=4,点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点,连接 DE,将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转,记旋转角为,BD,EC 所在直线相交所成的锐角为 (1)问题发现 当=0时,CEBD=,=(2)拓展探究 试判断:当 0360时,CEBD和的大小有无变化?请仅就图 2 的情形给出证明(3)在ADE 旋转过程中,当 DEAC 时,直接写出此时CBE 的面积 图 1 图 2 ABCDECABDECDAEBDCE
2、BACDAEB【答案】见解析.【解析】解:(1)由题意知,AC=42,CE=AE=22,BD=AD=2,CEBD=2,=A=45,(2)无变化,理由如下:延长CE交BD于F,ABC、ADE是等腰直角三角形,2ACAEABAD,DAE=BAC=45,DAB=CAE,ABDACE,2CEACBDAB,ABD=ACE,CFB=45,即=CFB=45.(3)如图所示,S=12BCBE=124(4-22)=8-42;如下图所示,ABCDE S=12BCBE=124(4+22)=8+42;综上所述,在ADE旋转过程中,DEAC时,此时CBE的面积为 842或 8+42.【变式 1-1】(2019洛阳三模)
3、如图 1,在 RtABC 中,C=90,AC=8,AB=10,D,E 两点分别是 AC,CB 上的点,且 CD=6,DEAB,将CDE 绕点 C 顺时针旋转一周,记旋转角为 (1)问题发现 当=0时,ADEB=;当=90时,ADEB=(2)拓展探究 请你猜想当CDE 在旋转的过程中,ADEB是否发生变化?根据图 2 证明你的猜想(3)问题解决 在将CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中,当 AD=213时,BE=,此时=图 1 图 2 ABCDE【答案】(1)43,43;(2)见解析;(3)3 132;60 或 300.【解析】解:(1)AB=10,AC=8,由勾股定理得:BC=6,DEAB
4、,CDCEACBC,即686CE,CE=92,BE=32,ADEB=43;由勾股定理得:AD=10,BE=152,ADEB=43;(2)不变化,理由如下:由题意知:DCEACB,CDCEACBC,由旋转性质得:ACD=BCE,ACDBCE,ADACBEBC,即8463ADBE.(3)由(2)知43ADBE,AD=213,BE=3 132,如图,过D作DFAC于F,设AF=x,则CF=8x,由勾股定理得:(213)2x2=62(8x)2,解得:x=5,即AF=5,CF=3,由CD=6,得FDC=30,DCF=60,即=60;同理可得,当=300时,AD=213,答案为:3 132;60或 300
5、.【例 2】(2019南阳毕业测试)如图,在RtABC中,ACB90,BCmACn,CDAB于点D,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作FDED,交直线BC于点F(1)探究发现:如图 1,若mn,点E在线段AC上,则DEDF ;(2)数学思考:如图 2,若点E在线段AC上,则DEDF (用含m,n的代数式表示);当点E在直线AC上运动时,中的结论是否仍然成立?请仅就图 3 的情形给出证明;图 1 图 2 图 3 备用图【答案】(1)1;(2)mn;见解析【解析】解:(1)当mn时,即:BCAC,ACB90,A+ABC90,CDAB,DCB+ABC90,ADCB,FDEADC90,FDEC
6、DEADCCDE,即ADECDF,ADECDF,DEDF=ADCD,ADCB,ADCBDC90,ADCCDB,ADCD=ACBC=1,即DEDF=1,(2)由(1)中方法可证得:ADECDF,ADCCDB,DEDF=ADCD=ACBC=nm,即DEDF=nm,成立 ACB90,A+ABC90,又CDAB,DCB+ABC90,ADCB,FDEADC90,FDE+CDEADC+CDE,即ADECDF,ADECDF,DEDF=ADCD,ADCB,ADCBDC90,ADCCDB,ADCD=ACBC=nm,DEDF=nm【变式 2-1】(2019开封二模)如图 1,在矩形ABCD中,AB6,BC8,点E
7、是边CD上的点,且CE4,过点E作CD的垂线,并在垂线上截取EF3,连接CF将CEF绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为a(1)问题发现 当a0时,AF ,BE ,AEBE ;(2)拓展探究 试判断:当 0a360时,AEBE的大小有无变化?请仅就图 2 的情况给出证明(3)问题解决 当CEF旋转至A,E,F三点共线时,直接写出线段BE的长 图 1 图 2 备用图【答案】(1)5 5,4 5,54;(2)(3)见解析;【解析】解:(1)当a0时,过点F作FGAD于G,四边形ABCD是矩形,ADCBCE90,ADBC8,ABCD6,由GEDGDEF90,知四边形DEFG是矩形,DGEF3,AG11
8、,CE4,CD6,FGDE2,RtAGF中,由勾股定理得:AF5 5,同理,BE4 5,AEBE=54.(2)AEBE的大小无变化,理由如下:连接AC,AB6,BC8,EF3,CE4,12EFAB,12CEBC,EFAB=CEBC,CEFABC90,CEFCBA,CFCEACBC,ECFACB,54CFACCEBC,ACFBCE,ACFBCE,54AECFBECE,即AEBE的大小无变化;(3)当CEF旋转至A,E,F三点共线时,存在两种情况:E在A、F之间,如图,连接AC,RtABC中,由勾股定理得:AC10,同理得:CF5,由(2)知:54AECFBECE,RtAEC中,由勾股定理得:AE
9、221,AFAE+EF221+3,BE45AF45(221+3)8 21125;点F在A、E之间时,如图所示,连接AC,同理得:AFAEEF2213,BE45AF45(221-3)8 21125;综上所述,BE的值为8 21125或8 21125 1.(2018河师大附中模拟)如图,在RtABC中,BAC=90,=1ABAC.点P是边BC上一个动点(不与B重合),PAD=90,APD=B,连接CD.填空:PBCD=;ACD的度数为 .(2)拓展探究 如图,在RtABC中,BAC=90,=ABkAC.点P是边BC上一个动点(不与B重合),PAD=90,APD=B,连接CD.请判断ACD与B的数量
10、关系以及PB与CD之间的数量关系,并说明理由.(3)解决问题 如图,在ABC中,B=45,AB=42,BC=12,P是边BC上一动点(不与B重合),PAD=BAC,APD=B,连接CD.请直接写出所有CD的长.【答案】见解析.【解析】解:(1)AB=AC,BAC=90,PAD=90,BAP=CAD,B=45,APD=B,APD=ADP=45,AP=AD,ABPACD,BP=CD,ACD=B=45,即PBCD=1,ACD=45,故答案为:1,45.(2)ACD=B,PBCD=k,理由如下:BAC=90,PAD=90,APD=B,ABCAPD,=ABAPACAD=k,由BAP+PAC=PAC+CA
11、D=90,得:BAP=CAD,ABPCAD,ACD=B,=PBABCDAC=k.(3)过A作AHBC于H,如图所示,B=45,BAH是等腰直角三角形,AB=42,AH=BH=4,BC=12,CH=8,在RtACH中,由勾股定理得:AC=45,在RtAPH中,由勾股定理得:PH=3,BP=1,PAD=BAC,APD=B,ABCAPD,=ABAPACAD,由BAP+PAC=PAC+CAD,得:BAP=CAD,ABPCAD,=PBABCDAC,即14 2=4 5CD 解得:CD=102,如图所示,过A作AHBC于H,同理可得:ABPCAD,=PBABCDAC,即74 2=4 5CD 解得:CD=7
12、102,综上所述,CD的值为:102,7 102.2.(2018河南第一次大联考)如图 1,在等边三角形ABC中,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为_;(2)深入探究:如图 2,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等腰三角形AMN,使ABC=AMN,AM=MN,连接CN,试探究ABC与ACN的数量关系,并说明理由;(3)拓展延伸:如图 3,在正方形ADBC中,AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中点,连接CN,若BC=10,CN=2,试
13、求EF的长 【答案】见解析.【解析】解:(1)NCAB;(2)ABC=ACN,理由如下:AB=BC,AM=MN,即AB:BC=AM:MN=1,又ABC=ACN,ABCAMN,ABACAMAN,BAC=12(180ABC),AM=MN,MAN=12(180AMN),由ABC=AMN,得BAC=MAN,BAM=CAN,又ABACAMAN,ABMACN,ABC=ACN,(3)连接AB,AN,四边形ADBC,AMEF为正方形,ABC=BAC=45,MAN=45,BAM=CAN,由ABAMBCAN=2,ABBCACAMANAN,ABMACN,BMABCNAC,222BM,BM=2,CM=BCBM=102
14、=8,在RtAMC中,由勾股定理得:AM=222 41ACMC,EF=AM=2 41.3.(2017新野一模)如图,在ABC中,ACB=90,BC=2,A=30,点E,F分别是线段BC,AC的中点,连接EF(1)说明线段BE与AF的位置关系和数量关系;(2)如图,当CEF绕点C顺时针旋转(090)时,连接AF,BE,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;(3)如图,当CEF绕点C顺时针旋转(0180)时,延长FC交AB于点D,如果AD=623,求旋转角的度数 【答案】见解析【解析】(1)解:BEAF,AF=3BE;理由如下:在ABC中,ABC=90,BC=2,A
15、=30,AC=3BC=23,点E,F分别是线段BC,AC的中点,BEAF,BE=CE,AF=CF,AEACBEBC=3,AF=3BE;(2)解:(1)中的结论仍然成立,理由如下:点E,F分别是线段BC,AC的中点,EC=12BC,FC=12AC,CECFBCAC=12,BCE=ACF,BECAFC,AEACBEBC=3,CBE=CAF,延长BE交AC于点O,交AF于点M,如图所示:BOC=AOM,CBE=CAF,BCO=AMO=90,即BEAF;(3)解:ACB=90,BC=2,A=30,AB=2BC=4,B=60,DB=ABAD=4(623)=232,过点D作DHBC于点H,如图所示:BH=
16、12DB=31,DH=32DB=33,又CH=BCBH=2(31)=33,CH=DH,HCD=45,DCA=45,=135 4.(2019安阳一模)(1)问题发现:如图 1,在等边ABC中,点D为BC边上一动点,DEAB交AC于点E,将AD绕点D顺时针旋转 60得到DF,连接CF则AE与FC的数量关系是_,ACF的度数为_(2)拓展探究:如图 2,在RtABC中,ABC=90,ACB=60,点D为BC边上一动点,DEAB交AC于点E,当ADF=ACF=90时,求AEFC的值(3)解决问题:如图 3,在ABC中,BC:AB=m,点D为BC的延长线上一点,过点D作DEAB交AC的延长线于点E,直接
17、写出当ADF=ACF=ABC时AEFC的值 图 1 图 2 图 3【答案】(1)AE=FC,60;(2)(3)见解析;【解析】解:(1)ABC是等边三角形,DEAB,DCE是等边三角形,CD=DE,CDE=60,由旋转性质知,AD=DF,ADF=60,ADE=CDF,ADEFDC,AE=FC,DCF=DEA=120,ACF=60;(2)DEAB,图1ABCDEF图2ABCDEF图3ABCDEFEDC=ABC=90,ADF=90,ADC=CDF,ACF=90,即AED=EDC+ACB,FCD=ACF+ACB,AED=FCD,DAEDFC,AEDECFCD,DEAB,EDCABC,DEABCDBC
18、,AEABCFBC=3.(3)与(2)证明可得:AEABCFBC=1m.5.(2019南阳模拟)(1)【问题发现】如图 1,ABC和CEF都是等腰直角三角形,BACEFC90,点E与点A重合,则线段BE与AF的数量关系为 ;(2)【拓展研究】在(1)的条件下,将CEF绕点C旋转,连接BE,AF,线段BE与AF的数量关系有无变化?仅就图 2 的情形给出证明;(3)【问题发现】当ABAC2,CEF旋转到B,E,F三点共线时候,直接写出线段AF的长 图 1 图 2 备用图【答案】(1)BE2AF;(2)(3)见解析.【解析】解:(1)BE2AF AFC是等腰直角三角形,AC2AF ABAC BEAB
19、2AF;(2)BE2AF,理由如下:在RtABC中,ABAC,ABCACB45,在RtEFC中,FECFCE45,EFC90,ABCFEC=45,sinABCsinFEC=22,即:ACCFBCCE FECACB45,FECACEACBACE 即:FCAECB ACFBCE,ACBEBCAF=22,BE2AF;(3)当E在B、F之间时,如图 2,由(1)知,CFEF2,在RtBCF中,CF2,BC22,根据勾股定理得,BF6,BEBFEF62,BE2AF,AF31;当F在B、E之间时,由(1)可证,ACFBCE,2BCBEACAF,BE2AF;由知:CF2,BC22,BF6,BEBF+EF6+
20、2,BE2AF,AF3+1 当B,E,F三点共线时,线段AF的长为31 或3+1 6.(2019商丘二模)如图,在ABC和ADE中,BACDAE90,点P为射线BD,CE的交点(1)问题提出:如图 1,若ADAE,ABAC ABD与ACE的数量关系为 ;BPC的度数为 (2)猜想论证:如图 2,若ADEABC30,则(1)中的结论是否成立?请说明理由(3)拓展延伸:在(1)的条件中,若AB2,AD1,若把ADE绕点A旋转,当EAC90时,直接写出PB的长 图 1 图 2 备用图【答案】(1)ABD=ACE,90;(2)(3)见解析.【解析】解:(1)ABC和ADE是等腰直角三角形,BACDAE
21、90,ABAC,ADAE,DABCAEABCACB45 ADBAEC ABDACE,BPC180ABDABCBCP 18045(BCP+ACE)=1804545=90;(2)(1)中结论成立,理由:在RtABC中,ABC30,AB3AC,同理,AD3AE,ADAEABCE,BACDAE90,BADCAE,ADBAEC ABDACE;BPC180ABDABCBCP 1803060=90,(3)解:当点E在线段AB上时,BEABAE1 在RtAEC中,由勾股定理得:CE5,易证:ADBAEC DBAECA PEBAEC,PEBAEC PBBEACCE,125PB PB2 55;当点E在BA延长线上
22、时,BEAB+AE3 同理得:PBBEACCE,32PBCE PB6 55,综上所述,PB的长为2 55或6 55.7.(2019名校模考)问题发现:(1)如图 1,在RtABC中,A90,ABkAC(k1),D是AB上一点,DEBC,则BD,EC的数量关系为 类比探究:(2)如图 2,将AED绕着点A顺时针旋转,旋转角为a(0a90),连接CE,BD,请问(1)中BD,EC的数量关系还成立吗?说明理由.拓展延伸:(3)如图 3,在(2)的条件下,将AED绕点A继续旋转,旋转角为a(a90)直线BD,CE交于F点,若AC1,AB3,则当ACE15时,BFCF的值为 图 1 图 2 图 3【答案
23、】(1)BDkEC;(2)(3)见解析【解析】解:(1)DEBC,BDCEABAC,ADAEABAC,即BDADABCEAEAC,ABkAC,BDkEC;(2)成立,理由如下:连接BD 由旋转的性质可知,BADCAE ADABAEAC=tanADE,ABDACE,BDABCEACk,即:BDkEC;(3)BFCF的值为 2 或 1;由(2)知ABDACE ACEABD15 ABC+ACB90 FBC+FCB90 BFC90 由BAC90,AC1,AB3,得:ABC30,ACB60,BC2AC2,分两种情况讨论:如图,此时,CBF30+1545,BC2 BFCF BFCF2;如图 在BF上取点G
24、,使BCG15,则BCF75,CBFABCABD15,CFB90,GCF60 CGBG2CF,GF3CF,BF=(2+3)CF 由勾股定理知:CF2+BF2BC2 CF2+(2+3)CF 222,CF223,BFCF(2+3)CF21,即:BFCF2 或 1 8.(2019枫杨外国语三模)已知,在ABC 中,ACB=90,B=30,点 D 是直线 AB 上的动点,连接 CD,以 CD为边,在 CD 的左侧作等边CDE,连接 EB(1)问题发现:如图(1),当CDAB 时,ED 和 EB 的数量关系是 .(2)规律论证:如图(2)当点D在线段 AB 上运动时,(1)中 ED,EB 的数量关系是否
25、仍然成立?若成立,请仅就图(2)加以证明;若不成立,请写出新的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用:如图(3)当点 D 在直线 AB上运动时,若 AC=22,且BCE 恰好为等腰直角三角形时,请直接写出符合条件的 AD 的长.图 1 图 2 图 3【答案】(1)ED=EB;(2)(3)见解析【解析】解:(1)CDE是等边三角形,CDE=60,CDAB,CDB=90,BDE=30,B=30,BDE=B,ED=EB;(2)成立;过点C作CFAB于F,过E作EHBC于H,则CFB=EHC=90,CBA=30,BCF=60,CED是等边三角形,DCE=60,CE=CD,ECH=DCF,CDFCEH,C
26、H=CF,在RtCBF中,由CBF=30,得:BC=2CF,BH=CH=CF,即H为BC中点,EH=EH,BHE=CHE=90,BEHCEH,BE=CE,CE=DE,BE=DE;(3)过点C作CHAB于H,如下图所示,由题意知:AC=22,AH=2,CH=6,BC=2CH=26,BE=CE=CD=22BC=23,在RtCDH中,由勾股定理得:DH=6,AD=DHAH=62;如图所示,ABCDEH 同理可得:DH=6,AH=2,AD=DH+AH=6+2;综上所述,符合条件的 AD 的长为62或6+2.9.(2017郑州一模)如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连结CF并延长
27、交AB于点M,MNCM交射线AD于点N(1)当F为BE中点时,求证:AM=CE;(2)若2ABEFBCBF,求ANDN的值.【答案】见解析【解析】解:(1)当F为BE中点时,即BF=EF,四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABDC,MBF=CEF,BMF=ECF,BMFECF,BM=EC E为CD的中点,EC=12DC=12AB,AM=BM=EC;(2)设MB=x,四边形ABCD是矩形,ABCHEDAD=BC,AB=DC,A=ABC=BCD=90,ABDC,2CEEFBMBF,EC=2x,AB=CD=2CE=4x,AM=ABMB=3x,由2ABBC,得BC=AD=2x,MNMC,CMN=90,
28、A=90,BMC=ANM,AMNBCM,ANAMBMCB,32ANxxx,AN=32x,ND=ADAN=12x,ANDN=3.10.(2019郑州名校二模)如图 1,在 RtABC中,A90,ABAC,点D,E分别在边AB,AC上,ADAE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点(1)观察猜想:图 1 中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)探究证明:把ADE绕点A逆时针方向旋转到图 2 的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸:把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD4,AB10,请直接写出PMN面积的最大值 图 1 图 2【答案】见
29、解析.【解析】解:(1)点P,N是BC,CD的中点,PNBD,PN12BD,同理:PMCE,PM12CE,ABAC,ADAE,BDCE,PMPN,PNBD,DPNADC,PMCE,DPMDCA,BAC90,ADC+ACD90,MPNDPM+DPNDCA+ADC90,PMPN,故答案为:PMPN,PMPN;(2)PMN是等腰直角三角形 由旋转性质知,BADCAE,ABAC,ADAE,ABDACE,ABDACE,BDCE,由(1)中知:PN12BD,PM12CE,PMCE,PNBD,PMPN,DPMDCE,PNCDBC,PMN是等腰三角形,DPNDCB+PNCDCB+DBC,MPNDPM+DPN DCE+DCB+DBC BCE+DBC ACB+ACE+DBC ACB+ABD+DBC ACB+ABC 90,PMN是等腰直角三角形;(3)由(2)知,PMN是等腰直角三角形,PMPN12BD,当PM最大时,即 BD 最大时,PMN面积最大,点D在BA的延长线上,BD 最大,最大值为:BDAB+AD14,即PM7,SPMN最大12PM2492