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1、2021年高考数学模拟测试卷第卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则集合中元素的个数为A6B7C8D9【答案】C【解析】【分析】先根据题意解出集合，再根据题意分析中元素为中的子集，可求出【详解】解：因为集合，所以，1，因为，所以中的元素为的子集个数，即有个，故选：【点睛】本题考查集合，集合子集个数，属于基础题2已知a为实数，若复数z(a21)(a1)i为纯虚数，则()A1B0C1iD1i【答案】D【解析】因为为纯虚数，所以，得，则有，故选D.3已知实数满足，则（ ）ABCD【答案】C【解析】，综上所述，
2、故故选4如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润收入支出）都不高于40万的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润收入支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润收入支出）不高于40万的有6月，8月
3、，9月，10月，这2个月的利润（利润收入支出）都不高于40万包含的基本事件个数，这2个月的利润（利润收入支出）都低于40万的概率为，故选：【点睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题5函数的大致图象是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】用排除B，C；用排除；可得正确答案.【详解】解：当时，所以，故可排除B，C；当时，故可排除D故选：A【点睛】本题考查了函数图象，属基础题6安徽怀远石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方
4、案：在销售利润超过万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不能超过利润的.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据奖励规则，函数必须满足：，增函数，【详解】对于函数：，当时，不合题意；对于函数：，当时，不合题意；对于函数：，不满足递增，不合题意；对于函数：，满足：，增函数，且，结合图象：符合题意故选：D【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验.7已知正项等差数列中，若，若，成等比数列，则等于（ ）AB
5、CD【答案】A【解析】正项等差数列中，构成等比数列，即构成等比数列，依题意，有，解得或（舍去），故选A.8如图，在中，若，用表示为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；关键是能够熟练应用向量的加减法运算和数乘运算法则.9如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据双曲线的定义，可得|AF1|-|AF2|=2a，ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|BF1|=2a又|BF2
6、|-|BF1|=2a，|BF2|=|BF1|+2a=4a，BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，F1BF2=120|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|BF2|cos120即4c2=4a2+16a2-22a4a（-）=28a2，解得c2=7a2，又c=所以 方程为故选C点睛：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键10九章算术卷七盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：“现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人出七钱，还差三钱，
7、问人数、羊价分别是多少”.为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据程序框图确定表示的含义，从而可利用方程组得到输出时的值，从而得到输出时的取值，找到符合题意的判断条件.【详解】由程序框图可知，表示人数，表示养价该程序必须输出的是方程组的解，则时输出结果 判断框中应填本题正确选项：【点睛】本题考查根据循环框图输出结果填写判断框内容的问题，关键是能够准确判断出输出结果时的取值，属于常考题型.11已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A6 B C D【答案】D【解
8、析】该几何体是正方体截去一个三棱台所得，体积为，故选D12已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围为ABCD【答案】D【解析】【分析】等价于或，由有唯一解可得有两个不同的根，转化为的图象有两个交点，利用数形结合可得结果.【详解】可变形为，即或，由题可知函数的定义域为，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，画出函数的大致图象，如图所示，当且仅当时，因为方程恰有三个不同的实数根，所以恰有两个不同的实数根，即的图象有两个交点，由图可知时，的图象有两个交点，所以实数的取值范围为，故选D【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用，属于难题
9、. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.第卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13在数列中，前项和为，则=_。【答案】【解析】由题意可得，故数列an为等比数列，且公比q=2，故故答案为：14设，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】已知，直接利用基本不等式转化求解的最大值即可【详解】，即，两边平方整理得，当且仅当，时取最大值；故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，注意基本不等式成立的条件15设曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】分别
10、求出，的导数，结合导数的几何意义及切线垂直可求.【详解】设，因为的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为；因为的导数为，曲线在点处的切线斜率为，所以，解得，代入可得，故.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数解决曲线的切线问题一般是考虑导数的几何意义，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.16已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则_【答案】1【解析】将点坐标代入抛物线方程得，解得，即，由于为圆的半径，而，所以，故，即，两边平方化简得，解得，故，.【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查圆和直线的位置关系，考查特殊的等腰三角形中解
11、三角形的方法.首先点是在抛物线上的，坐标满足抛物线的方程，由此求得的坐标，然后根据直线截圆所得弦长，得到点横坐标和圆半径的关系，由此列方程求解出的值.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17在锐角三角形中，BC=1，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由三角形ABC为锐角三角形,根据诱导公式化简,即可求出的值,再利用同角三角函数间的基本关系求出的值,由AB,BC及的值,利用余弦定理即可求出AC的长;(2)
12、由BC,AC及的值,利用正弦定理求出的值,利用同角三角函数间的基本关系求出的值,然后利用两角差的正弦函数公式化简后,把各自的值代入即可求出值.【详解】解：（1）为锐角三角形， 在中，由余弦定理得： （2）在中，由正弦定理得 得.【点睛】此题考查了三角函数的恒等变形,正弦定理及余弦定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.18如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（）求证：直线平面；（）求直线与平面所成角的正切值；（）设点在线段上，且二面角的余弦值为，求点到底面的距离【答案】()证明见解析；()；().【解析】【分析】()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；()建立空间直角坐标系，分别求
13、得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可；()设，由题意结合空间直角坐标系求得的值即可确定点到底面的距离【详解】()由菱形的性质可知，由线面垂直的定义可知：，且，由线面垂直的判定定理可得：直线平面；()以点A为坐标原点，AD,AP方向为y轴,z轴正方向，如图所示，在平面ABCD内与AD垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则：，则直线PB的方向向量，很明显平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，.()设，且，由于，故：，据此可得：，即点M的坐标为，设平面CMB的法向量为：，则：，据此可得平面CMB的一个法向量为：，设平面MBA的法向量为：，则：，据此可得平面M
14、BA的一个法向量为：，二面角的余弦值为，故：，整理得 ，解得：.由点M的坐标易知点到底面的距离为或者.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量在立体几何中的应用，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19设椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆C的离心率为，的周长为8.（）求椭圆C的方程；（）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）（）存在，【解析】【分析】（I）根据椭圆离心率、椭圆的定义列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（II）设出两点的
15、坐标，联立直线的方程和椭圆方程，计算判别式求得的取值范围，并写出根与系数关系，根据圆的几何性质得到，由此得到，由此列方程，解方程求得的值.【详解】（I）由题意知，所以所求椭圆的标准方程是.（II）假设存在这样的实数使得以为直径的圆恰好经过原点.设，联立方程组，消去得，由题意知，是此方程的两个实数解，所以，解得或，所以.又因为以为直径的圆过原点，所以，所以，而， ，即，解得.故存在这样的直线使得以为直径的圆过原点.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20设函数.（1）当时，求在点处的切线
16、方程；（2）当时，判断函数在区间是否存在零点？并证明.【答案】（1）；（2）函数在上存在零点，证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，求出，即可求解；（2）根据的正负判断的单调性，结合零点存在性定理，即可求解.【详解】函数的定义域为.（1）当时，又，切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为；（2）当时，所以在上单调递减，当时，又，所以函数在上存在零点.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数在函数中的应用，用导数判断函数的单调性，考查函数零点的存在性的判断，属于中档题212019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记
17、录了大年初三上午9:2010:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:209：40记作区间，9:4010:00记作，10:0010:20记作，10:2010:40记作.比方：10点04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记为9:2010:00之间通过的车辆数，求的分布列与数学期望；（3）由大数据
18、分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻服从正态分布，其中可用这600辆车在9:2010:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:4610:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若，则，.【答案】（1）10点04分；（2）详见解析；（3）819辆.【解析】【分析】（1）用每组中点值乘以频率，然后相加，得到平均值.（2）先用分层抽样的知识计算出量车中位于的车辆数，然后利用超几何分布的知识计算出分布列，并求得数学期望.（3）由（1）可知，计算出方差和标准差，
19、利用正态分布的对称性，计算出在9:4610:40这一时间段内通过的车辆的概率，乘以得到所求车辆数.【详解】解：（1）这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即10点04分。（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，即，所以的可能取值为0，1，2，3，4。所以，所以的分布列为01234所以.（3）由（1）可得， ，所以.估计在9:4610:40这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，由，得 ，所以，估计在9:4610:40这一时间段内通过的车辆数为（辆）.【点睛】本小题主要
20、考查根据频率分布直方图估计平均数和方差，考查超几何分布概率计算以及数学期望的计算，考查正态分布计算，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）.直线的参数方程（为参数）.（）求曲线在直角坐标系中的普通方程；（）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）利用可将曲线的参数方程化为普通方程；（）解法一：可直线曲线截直线所得线段的中点坐标为，设弦的端点分别为，利用点差法
21、可求出直线的斜率，即得的值；解法二：写出直线的参数方程为，将直线参数方程与曲线的普通方程联立，由可求出角的值.【详解】（）由曲线的参数方程（为参数），得：，曲线的参数方程化为普通方程为：；（）解法一：中点极坐标化成直角坐标为.设直线与曲线相交于，两点，则，.则，-得：，化简得：，即，又，直线的倾斜角为；解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得.，即.，即.又，直线的倾斜角为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，同时也考查了中点弦问题的求解，可利用点差法求解，也可以利用韦达定理法求解，考查计算能力，属于中等题.23选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为（1）若，求证：；（2）若，求的最小值【答案】(1) 证明见解析 (2)4【解析】【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，可得的最小值，再由分析法证明不等式，注意平方法和因式分解法；（2）由条件运用基本不等式可得，再由基本不等式和不等式的性质：传递性，即可得到所求最小值【详解】解：（1）证明：函数，当时，取得等号，即的最小值为2，即，可得，即有，由，上式显然成立，故；（2），由，可得，当且仅当时，取得等号，则，当且仅当，时，取得最小值4【点睛】本题考查绝对值函数的最值，以及不等式的证明，注意运用分析法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题