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1、1谁谁的的话话有有道道理理？人人数数相相等等分分的的分分和和少少于于多多于于分分是是有有代代表表性性的的总总体体看看因因为为从从考考题题适适宜宜教教授授认认为为分分平平均均成成绩绩才才因因为为考考题题偏偏难难系系主主任任认认为为人人分分的的就就有有因因为为得得试试题题太太易易教教学学院院长长认认为为成成绩绩上上报报后后期期末末考考试试成成绩绩如如下下：位位研研究究生生上上课课，某某大大学学新新聘聘一一位位教教授授给给,8080,80,:;5 .76,;390,:,.90,82,30,73,63,75,78,83,80,90,76,85,90,81,7215第四章第四章 随机变量的数字特征随机变
2、量的数字特征引例引例: :2 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数某些特征，因而不需要求出它的分布函数. . 评定某企业的经营能力时，只要知道该企业评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；人均赢利水平； 研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；平均粒数及每粒的平均重量； 检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意度，又
3、要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度，纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好; 考察一射手的水平，既要看他的平均环数考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小据的波动是否小.3 由上面例子看到，与随机变量有关的某些由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些这些数字特征在理论和实践上都具有重要
4、意义数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量某一方面的概率特性随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写都可用数字来描写q 随机变量的平均取值随机变量的平均取值 数学期望数学期望q 随机变量取值平均偏离平均值的随机变量取值平均偏离平均值的 情况情况 方差方差q 描述两个随机变量之间的某种关描述两个随机变量之间的某种关 系的数系的数 协方差协方差与与相关系数相关系数本本章章内内容容44.1 4.1 数学期望数学期望4.1.1 4.1.1 数学期望的性质数学期望的性质4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望4.1.3 4.1.3 数学期望的简单应用数学期望的简单
5、应用5设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布律为的分布律为, 2 , 1,)( kpxXPkk若无穷级数若无穷级数 1kkkpx绝对收敛，则称其和为随机变量绝对收敛，则称其和为随机变量X 的数学期望的数学期望 1kkkpxEX定义定义4.1.14.1.1记为记为6 设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为)(xf 若积分若积分 dxxxf)(绝对收敛绝对收敛, ,则称此积分的值为随机变量则称此积分的值为随机变量X 的数学期望的数学期望 dxxxfEX)(数学期望简称期望，又称均值数学期望简称期望，又称均值 数学期望反映了随机变量取值的平均值数学期望反映了随机变量取值的平
6、均值, ,它是它是一种加权平均一种加权平均记为记为注注: :7)(,量量的的数数学学期期望望存存在在以以下下设设所所遇遇到到的的随随机机变变是是常常数数是是随随机机变变量量，设设cbaYXcbEYaEXcbYaXE )()1(0, 0)2( EXX则则设设bEXabXa 则则设设,)3(EXEYXYEYX )(,)4(则则变变量量是是两两个个相相互互独独立立的的随随机机设设4.1.1 4.1.1 数学期望的性质数学期望的性质 niniiiiEXXEniX1121）（）相互独立，则有）相互独立，则有，（若若:推推广广8证明：证明：仅就仅就2 n证性质（证性质（4 4）, 2 , 12121212
7、1 jipbXaXPXXbbaaXijjii，），（而而记记其其分分布布为为，的的一一切切可可能能值值和和记记，和和，分分别别以以，是是离离散散型型随随机机变变量量不不妨妨假假设设由由独独立立性性假假设设知知)()(21jiijbXPaXPp 2121,21,212121)()()()()(,EXEXbXPbaXPabXPaXPbapbaXXEbaXXbXaXjjjiiijijijijiijjijiji ，故故时时有有因因为为当当9解解: nkknkknppkCEX0)1( nkknkppknknk1)1()!( ! nkknkppknknnp1)1()1(1)1()!()!1()!1( 10
8、)1(1)1(nkknkknppCnpnp 例例4.1.14.1.1 EXpnBX求求数数学学期期望望已已知知),(10EXPX求数学期望求数学期望已知已知),0(),( EX ekkkk0!例例4.1.24.1.2 EXbaUX，求求数数学学期期望望已已知知),( EX dxxxf)( 11)!1(kkke dxabxba 2ba 解解:解解:例例4.1.34.1.3 11的的数数学学期期望望不不存存在在随随机机变变量量说说明明密密度度为为即即其其概概率率服服从从柯柯西西分分布布若若随随机机变变量量XxxxfX.,111)(,2 dxxxdxxfx211)( 因因为为的的数数学学期期望望不不
9、存存在在故故不不绝绝对对收收敛敛即即Xdxxxf )(例例4.1.44.1.4 解解:12EXGX，求求数数学学期期望望已已知知),( EX 01)()(dxexxdxxxfx 0)()(1dxexx 得得令令xt dtett 01)1()(1 )()()()1( 例例4.1.54.1.5 解解:13常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pXPpXP 1)0()1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1()( npP( ), 2 , 1 , 0!)( kkekXPk 14分布分布期望期望概率密
10、度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布 其其它它,0,1)(bxaabxf2ba E( ) 其其它它,00,)(xexfx 1N( , 2)222)(21)( xexf 15引入随机变量引入随机变量 站站有有人人下下车车在在第第，站站没没有有人人下下车车在在第第iiXi1,010, 2 , 1 i则有则有 1021XXXX ),(,10,20独独立立互互并并设设各各旅旅客客是是否否下下车车相相的的在在各各车车站站下下车车是是等等可可能能设设每每位位旅旅客客求求表表示示停停车车次次数数以以下下车车就就不不停停车车客客如如到到达达一一个个车车站站没没有有旅旅个个车车站站可可以以下下车
11、车旅旅客客有有位位旅旅客客从从机机场场开开出出一一民民航航送送客客车车载载有有EXX例例4.1.64.1.6 解解:16109,站站不不下下车车的的概概率率为为任任一一旅旅客客在在第第由由题题意意i20)109(20站站下下车车的的概概率率为为位位旅旅客客都都不不在在第第因因此此i20)109(1 站站有有人人下下车车的的概概率率为为第第i即即2020)109(1)1(,)109()0( iiXPXP20)109(1) 1(1) 0(0 iiiXPXPEX故故 1011021)(iiEXXXXEEX784.8)109(11020 （次）（次） 17其其规规律律为为独独立立且且两两者者到到站站的
12、的时时间间相相互互的的但但到到站站的的时时刻刻是是随随机机都都恰恰有有一一辆辆客客车车到到站站某某车车站站每每天天按按规规定定,00:1000:9,00:900:8,到到站站时时刻刻概概率率50:930:910:950:830:810:8626361望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站：一一旅旅客客,008)1(望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站：一一旅旅客客,208)2(例例4.1.74.1.7 18（以以分分计计）设设旅旅客客的的候候车车时时间间为为 X的的分分布布列列为为X)1(Xkp503010626361)(33.33分分 EX的的分分布布列
13、列为为X)2(Xkp90705030106162616361616263 解解:19上上表表中中，例例如如6361)()()()70( BPAPABPXP，到到站站：第第一一班班车车在在为为事事件件其其中中108A，到到站站：第第二二班班车车在在为为事事件件309B)(22.2736290363703615062306310分分 EX20例例4.1.84.1.8 设设X 服从参数为服从参数为p(0p1)的的BernoulliBernoulli分布分布, ,XXXX 21,令令,21pEXEXEX 则则,221pEXEX 故故分布分布，是是由于由于,10XXX 2所以所以,)(221EXEXXX
14、E 21221)(EXEXppXXE 下面这个例子说明性质下面这个例子说明性质(4)(4)在没有独立假设的在没有独立假设的条件下一般不成立条件下一般不成立21则则若若对对离离散散型型随随机机变变量量,)(,)1(kkpxXPX 存存在在，的的连连续续函函数数设设有有随随机机变变量量)()(xgEXgYX )(XgE kkkpxg)(则则若若有有密密度度函函数数对对连连续续型型随随机机变变量量, )(,)2(xfX )(XgEdxxfxg )()(4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理22)(, ),(,是是连连续续函函数数的的函函数数是是随随机机变变量量设
15、设gYXgZYXZ 的的分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量）（),(1YX, 2 , 1,),( jipyYxXPijji ijjipyxgYXgEEZ),(),(则则有有，的的概概率率密密度度为为若若二二维维连连续续型型随随机机变变量量）（),(),(2yxfYX dxdyyxfyxgYXgEEZ),(),(),(则有则有23的的概概率率密密度度为为设设二二维维随随机机变变量量),(YX的数学期望的数学期望试求试求 XY dxdyyxxyfXYE),()( 1010)(dxdyyxxy31 其他其他,010,10,),(yxyxyxf例例4.1.94.1.9 解解:24
16、X 1 3P 3/4 1/4Y 0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8 1/881)33(0)23(0)13(81)03(0)31(83)21(83)11(0)01()( XYE49 X1 0 3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/8Y 0 1 2 3的的联联合合分分布布列列为为已已知知),(YX)(,XYEEYEX求求解解:2323 EYEX例例4.1.104.1.10 254.1.3 4.1.3 数学期望的简单应用数学期望的简单应用例例4.1.114.1.11 市场上对某种产品每年的需求量为市场上对某种产品每年的需求量为X 吨吨 ， X U 2000,4000 , 每出售一吨可赚每出
17、售一吨可赚3 3万元万元, ,售不出去，售不出去，则每吨需仓库保管费则每吨需仓库保管费1 1万元万元, ,问应该生产这种商品多少问应该生产这种商品多少吨吨, ,才能使平均利润最大？才能使平均利润最大？解解: 其它其它, 0,40002000,20001)(xxfX设每年生产设每年生产y 吨的利润为吨的利润为Y, , 2000 y 4000 XyXyXXyyXgY, 1)(3,3)(26)140004(20001 ydydEY0令令 020004)(22 dyYEd故故 y = 3500 时，时，EY 最大，最大， EY = 8250万元万元)108140002(2000162 yy 40002
18、00020001320001)4(yydxydxyx dxxfxgEYX)()( xyyxxyyxg,4,3)(27例例4.1.124.1.12 某保险公司规定某保险公司规定, ,如果在如果在1 1年内顾客的投保年内顾客的投保事件事件A 发生发生, ,该公司就赔偿顾客该公司就赔偿顾客a( (元元),),若若1 1年内事件年内事件A发生的概率为发生的概率为p, ,为使公司收益的期望值等于为使公司收益的期望值等于a 的的10%,10%,问该公司应该要求顾客交多少保险费问该公司应该要求顾客交多少保险费? ?解解: 设顾客应交的保险费为设顾客应交的保险费为x( (元元),),公司收益为公司收益为Y(
19、(元元),),这里这里x 是普通变量是普通变量,Y 的取值与事件的取值与事件A 是否发生有关是否发生有关由题意有由题意有 发生发生事件事件不发生不发生事件事件AaxAxY,28所以所以)()()(axYPaxxYxPEY paxpx)()1( 由题意由题意10)()1(apaxpx 所以所以)101( pax且已知且已知pAPaxYP )()(pAPxYP 1)()(29例例4.1.134.1.13 为普查某种疾病为普查某种疾病, n 个人需验血个人需验血, 可采用两种可采用两种方法验血：方法验血：(1) 分别化验每个人的血分别化验每个人的血, 共需化验共需化验 n 次；次；(2) 将将 k
20、个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性性, 则此则此 k 个人的血只需化验一次；若为阳性个人的血只需化验一次；若为阳性, 则则对对 k 个人的血逐个化验，找出有病者个人的血逐个化验，找出有病者, 这时这时 k 个人个人的血需化验的血需化验 k + 1 次次.设某地区化验呈阳性的概率为设某地区化验呈阳性的概率为 p p，且每个人是否为，且每个人是否为阳性是相互独立的阳性是相互独立的. .试说明选择哪一种方法可以减少试说明选择哪一种方法可以减少化验次数化验次数30 为简单计，设为简单计，设 n 是是 k 的倍数，设共分成的倍数，设共分成 n / k 组组第第
21、 i 组需化验的次数为组需化验的次数为X i kp 1 kp 11Xi P 1 k + 1 11)1(1kkipkpEX kpkk 1)1(解解:31 kniiEXEX1 kpkkkn 1)1( kpnk1)1(1,01)1( kpk若若则则EX n例如，例如，100001100101999. 0110000,10,001. 0,1000010 EXkpn32课堂练习课堂练习）（，则则如如果果的的关关系系为为和和设设随随机机变变量量 EYEXXYYX2,22)1(10)(8)(6)(4)(DCBAB 其其他他,010 ,20),31(41),(2yxyxyxf)(,)(,)(,XYEXYEYX
22、EEYEX 求求 ( 2) 设二维连续随机变量设二维连续随机变量 的概率密度为的概率密度为),(YX33解解: dxdyyxxfEX),( 20102)31(41dyyxdxx34 dxdyyxyfEY),( 20102)31(41dyyyxdx85 dxdyyxfyxYXE),()()( dxdyyxyfdxdyyxxf),(),(24478534 EYEX 34 dxdyyxfxyXYE),()()( 20102)31(2121dyyyxdxx658534 dxdyyxfxyXYE),( 20102)31(2121dyyydx85 354.2 4.2 中位数、众数和分位点中位数、众数和分位
23、点36, )(xFX 的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量则满足条件则满足条件21)()( mFmXP的的中中位位数数或或分分布布函函数数称称为为的的数数)(xFXm定义定义4.2.14.2.1pXPpXPppp 1)(,)(,10 如如果果设设定义定义4.2.24.2.2分分位位点点（上上侧侧分分位位点点）的的是是随随机机变变量量称称pXp 分分位位点点的的下下侧侧是是随随机机变变量量称称同同理理如如果果满满足足pXpXPpXPppp 1)(,)(37的的众众数数为为的的数数值值称称满满足足为为其其概概率率密密度度是是连连续续型型随随机机变变量量若若XmxfmfxfXx0
24、0)(sup)(,)(,)1( 的的众众数数为为的的数数值值，称称满满足足为为其其概概率率分分布布是是离离散散型型随随机机变变量量若若XmpmXPkpxXPXkxkk00max)()2 , 1(,)(,)2( 定义定义4.2.34.2.338的的中中位位数数求求正正态态分分布布),(2 N 数数都都是是由由对对称称性性知知中中位位数数、众众 的的中中位位数数求求，是是其其中中每每一一个个值值的的概概率率都都并并且且取取，的的取取值值集集合合为为设设随随机机变变量量XX21,10例例4.2.14.2.1 例例4.2.24.2.2 解解:解解:)21, 1( BX 1,1102100)(xxxxF
25、，39有有对对于于任任何何,10 a21)0()( XPaXP21)1()( XPaXP的的中中位位数数中中任任何何一一个个实实数数都都是是区区间间由由定定义义知知X)1 , 0(404.3 4.3 方差方差4.3.1 4.3.1 方差的定义方差的定义4.3.2 4.3.2 方差的性质方差的性质41引例引例 检验两批灯泡的质量检验两批灯泡的质量, ,从中分别随机抽样从中分别随机抽样5 5只只, ,测得使用寿命测得使用寿命( (单位单位: :小时小时) )如下如下: : A: 2000 1500 1000 500 1000 A: 2000 1500 1000 500 1000 B: 1500 1
26、500 1000 1000 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 试比较这两批灯泡质量的好坏试比较这两批灯泡质量的好坏计算得计算得: :平均寿命分别为平均寿命分别为:A:1200 B:1200:A:1200 B:1200 观察得观察得:A:A中使用寿命偏离较大中使用寿命偏离较大,B,B中使用寿命偏离较小中使用寿命偏离较小所以所以,B,B产品质量较好产品质量较好42(X - EX)2 随机变量随机变量X 的取值偏离平均值的情况的取值偏离平均值的情况 , 是是X的函数的函数, 也是随机变量也是随机变量 E(X - EX)2 随机变量随机变量X的取值偏离平均值的平均的取值
27、偏离平均值的平均偏离程度偏离程度 数数定义：定义：即即记记为为的的方方差差为为则则称称存存在在若若是是一一个个随随机机变变量量设设,)(,)(,22DXXEXXEEXXEX 2)(EXXEDX 方差方差DX)(标准差标准差均方差均方差注注:4.3.1 4.3.1 方差的定义方差的定义43, 2 , 1,)( kpxXPkk若若 X 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为 kkkpEXxDX2若若 X 为连续型随机变量，概率密度为为连续型随机变量，概率密度为f (x) dxxfEXxDX)(2 常用的计算方差的公式：常用的计算方差的公式：22)(EXEXDX 注注:44为常数）
28、为常数）CDC(0)1( DXCCXD2)()2( DYDXYXDYX )(,)3(则则变变量量是是两两个个相相互互独独立立的的随随机机设设1)(, )(10)4( CXPEXCCXDX即即这这里里取取常常数数以以概概率率的的充充要要条条件件是是)()()()5(22为为任任意意常常数数aaEXaXEDX 4.3.2 4.3.2 方差的性质方差的性质45设设 X P ( ), 求方差求方差 DX 0!kkkekEX 11)!1(kkke EXXXEEX )1(2!)1()1(0kekkXXEkk 2222)!2( kkke 22EX 22)(EXEXDX例例4.3.14.3.1 解解:46设设
29、 X B( n , p)，求方差，求方差DX 仿照上例求仿照上例求DX 引入随机变量引入随机变量nXXX,21 发生发生次试验事件次试验事件第第发生发生次试验事件次试验事件第第AiAiXi, 0, 1nXXX,21相互独立，相互独立，ni, 2 , 1 )1(ppDXi niiXX1故故)1(1pnpDXDXnii 例例4.3.24.3.2 解法解法1:解法解法2:47DX22)(EXEX 22)2(1badxabxba 12)(2ab 设设 X U( a , b)，求方差，求方差 DX 例例4.3.34.3.3 解解:设设 X N ( , 2), 求方差求方差 DX dxexDXx222)(
30、221)( dtetttx222221 令令2 例例4.3.44.3.4 解解:48 DX22)(EXEX 2102)()( dxexxx222)()2( 222)()()1( 2 DXGX求方差求方差设设, ),( 例例4.3.54.3.5 解解:49常见随机变量的方差常见随机变量的方差分布分布方差方差概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pXPpXP 1)0()1(p(1-p)B(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1()( np(1-p)P( ), 2 , 1 , 0!)( kkekXPk 50分布分布方差方差概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的
31、均匀分布均匀分布 其它其它, 0,1)(bxaabxf12)(2ab E( ) 其其它它, 00,)(xexfx 21 N( , 2)222)(21)( xexf2 51达达到到最最小小值值时时，当当)(xfEXx 证明证明设设,)()(2RxxXExf )2()()(222xxXXExXExf )()2(22xExXEEX 222xxEXEX 022)( xEXxf02)( xf又又EXx 解得解得达达到到最最小小值值时时，当当所所以以)(xfEXx DXEXXEEXf 2)()(最最小小值值为为例例4.3.64.3.6 证证:52 已知已知X ,Y 相互独立，且都服从相互独立，且都服从 N
32、 (0,0.5), )5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(NYNX1)(, 0)( YXDYXE故故) 1 , 0( NYX dzezYXEz2221|)(| 222202 dze zz例例4.3.74.3.7 解解:求求 E( | X Y | )53课堂练习课堂练习)(,43,)1(等等于于则则该该分分布布的的参参数数：为为其其方方差差与与数数学学期期望望之之比比量量一一个个二二项项分分布布的的随随机机变变p不不能能确确定定)(75.0)(5.0)(25.0)(DCBA)(,12, )10()2(YXYNX则则，设设随随机机变变量量 )2,1()()1 ,1()()1 ,0()()4
33、,1()(NDNCNBNAAA544.4 4.4 协方差及相关系数协方差及相关系数4.4.1 4.4.1 协方差及相关系数的定义协方差及相关系数的定义4.4.1 4.4.1 协方差及相关系数的性质协方差及相关系数的性质55问题问题 对于二维随机变量对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布已知联合分布边缘分布边缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系可能还有某种联系. 问题是用一个什么样问题是用一个什么样的数去反映这种联系的数去反映这种联系. )(EYYEXXE 数数反映了
34、随机变量反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系之间的某种关系56定义定义 )(),(EYYEXXEYXCov DYDXYXCovXY),( 称为随机变量称为随机变量X ,Y 的的 相关系数相关系数 的的与与称称为为随随机机变变量量量量YXEYYEXXE)( 而而即即记记为为协协方方差差,),(.YXCov4.4.1 4.4.1 协方差及相关系数的定义协方差及相关系数的定义由定义可得由定义可得),(2)(YXCovDYDXYXD EXEYXYEYXCov )(),( 注注:57协方差的性质：协方差的性质：),(),()1(XYCovYXCov 为常数为常数baXYCovabbYaXCov,),(
35、),()2( ),(),(),()3(2121YXCovYXCovYXXCov 4.4.2 4.4.2 协方差及相关系数的性质协方差及相关系数的性质58相相关关系系数数的的性性质质：1|)1( XY 则则若若,)2(baXY 1010XYXYaa ，时时，时时1)(1)3( baXYPXY 0,)4( XYYX 则则相相互互独独立立若若注注: :程程度度之之间间的的线线性性关关系系的的密密切切的的大大小小反反映映了了YXXY, 之之间间无无线线性性关关系系时时YXXY,0 之之间间具具有有线线性性关关系系时时YXXY,1 59不相关不相关与与YX0 XY 0),( YXCovEXEYXYE )
36、(注注: :显然显然相关相关YXXY,0 YXXY,0 不相关不相关YXXY,0 正相关正相关YXXY,0 负相关负相关),1(完完全全正正相相关关YXXY ),1(完全负相关完全负相关YXXY 独独立立YX,独独立立不不相相关关不不一一定定有有YXYX,不不相相关关独独立立则则服服从从二二维维正正态态分分布布若若YXYXYX,),(60 1 0 p qX P 1 0 p qY P 求求 Cov (X ,Y ), XY 已知已知 X ,Y 的联合分布为的联合分布为XY 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解解: 1 0 p qX Y P 例例4.4.14.4.161pqDYp
37、qDXpEYpEX ,pXYE )(1),()(),( DYDXYXCovpqEXEYXYEYXCovXY 62由由是是否否相相互互独独立立？说说明明理理与与问问）（是是否否相相关关？与与并并问问的的协协方方差差和和相相关关系系数数，与与求求和和方方差差的的期期望望求求的的概概率率密密度度函函数数为为设设XXXXXXDXEXXxexfXx3)2()1(),(,21)( dxexEXx 21)1(0 例例4.4.24.4.2解解:22)(EXEXDX 0212 dxexxdxexx 022122 63XEEXXXEXXCov )(),()2(021 dxexxx0 XDDXXXCovXX),(
38、0 不不相相关关与与所所以以XX独独立立性性由由其其定定义义来来判判断断)3(),()(, 0aXaXa 事事件件对对于于任任意意的的常常数数因因此此有有且且, 1)(, 0)( aXPaXP)(),(aXPaXaXP )()()(aXPaXPaXP )()(),(aXPaXPaXaXP 所所以以不不独独立立与与故故XX64的的联联合合密密度度函函数数求求相相互互独独立立时时，当当是是否否相相关关？是是否否独独立立？，问问的的相相关关系系数数与与求求又又正正态态分分布布都都服服从从是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量和和设设),(,)3()2()1(,), 0(,2 bYaXbYaXNYX
39、 ), 0(, ), 0()1(22 NYNX2, 0 DYDXEYEX)(bYaXEE bEYaEX 0 )(bYaXEE bEYaEX 0 例例4.4.34.4.3解解:65也也相相互互独独立立所所以以相相互互独独立立已已知知bYaXYX,故故有有)(bYaXDD DYbDXa22 222)( ba )(bYaXDD DYbDXa22 222)( ba )()(2222YbXaEE 2222EYbEXa 222)( ba DDCov),( 所以所以 DDEEE )(2222baba 660)2( 时时，当当ba不相关不相关 ,0 时，时，当当ba相关相关 ,的的线线性性组组合合为为独独立立
40、都都服服从从正正态态分分布布且且相相互互由由于于YXYX, )(0(,222 baN ，都都服服从从正正态态分分布布所所以以不不相相关关与与独独立立是是等等价价的的在在正正态态分分布布中中,时时当当所以所以ba 独立独立 ,时时当当ba 不独立不独立 ,67)2 , 0(,)3(2222 aNba正态分布正态分布都服从都服从即即相互独立时相互独立时当当 22222221)( aseasf 22222221)( ateatf 222242241),( atseatsf 所所以以68课堂练习课堂练习）则则（满满足足与与设设随随机机变变量量,)(, 0, 0EXEYXYEDYDXYX 不不独独立立与与相相互互独独立立与与相相关关与与不不相相关关与与YXDYXCYXBYXA)()()()(A