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1、第一章 绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 是的绝对误差,是的误差,为的绝对误差限（或误差限） 为 的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为： 即：绝对误差有量纲,而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位,且该位直到的第一位非零数字共有n位,则称近似值有n位有效数字,或说精确到该位。例：设x=3。1415926那么，则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。科学计数法：记有n位有效数字，精确到。由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有
2、效数字令1. x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和2. xy近似值为3. xy近似值为4.1避免两相近数相减2避免用绝对值很小的数作除数3避免大数吃小数4尽量减少计算工作量第二章 非线性方程求根1。逐步搜索法设f （a） 0， f （b) 0,有根区间为 (a， b），从x0=a出发, 按某个预定步长(例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f（xk）=f(a+kh)的符号，若f（xk)0(而f(xk1)0)，则有根区间缩小为xk-1，xk （若f（xk)=0，xk即为所求根)， 然后从xk1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|xkx
3、k1|E为止，此时取x（xk+xk-1）/2作为近似根.2。二分法设f(x)的有根区间为a，b= a0，b0， f（a）0， f（b)0.将a0,b0对分，中点x0= (a0+b0)/2），计算f（x0)。3.比例法一般地，设 ak，bk为有根区间,过(ak， f(ak)）、 （bk， f(bk）)作直线，与x轴交于一点xk，则：1。试位法每次迭代比二分法多算一次乘法,而且不保证收敛。2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根,而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式),使该点列收敛到方程的根.这正是迭代法的基本思想。 事先估计:事后估计局部收敛性判定定理： 局部收敛性定理对迭代函数的要求
4、较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近Steffensen迭代格式:Newton法：Newton下山法:是下山因子弦割法:抛物线法：令其中:则： 设迭代 xk+1 = g(xk) 收敛到g（x） 的不动点（根) x* 设 ek = xk - x*若则称该迭代为p （不小于1）阶收敛，其中 C (不为0）称为渐进误差常数第三章 解线性方程组直接法列主元LU分解法：计算主元选主元 对于Ax=b，三角分解A=LU，Doolittle分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；Crout分解：L为下三角矩阵，U为单位上矩阵.可分解为：若利用紧凑格式可化为： Cholesky平方根法：系数
5、矩阵A必须对称正定 改进Cholesky分解法:其中： 追赶法:Ax=d（A=LU），可化为Ly=d，Ux=y 向量范数：矩阵范数：谱半径：收敛条件：谱半径小于1条件数:第四章 解线性方程组的迭代法Jacobi迭代: 基于Jacobi迭代的GaussSeidel迭代：迭代收敛：谱半径小于1，范数小于1能推出收敛但不能反推 逐次超松弛迭代(SOR）： 当=1时，就是基于Jacobi迭代的GaussSeidel迭代（加权平均)。第五章 插值法 Lagrange插值法:构造插值函数： 则： 若记: 则可改为: 则插值余项: 逐次线性插值法Aitken （埃特金法）: Newton插值法： N（x）=
6、a0+a1(x-x0)+a2（xx0）(xx1)+an(xx0）（x-x1）（x-xn）并满足N（x）=f（x） 差商的函数值表示： 差商与导数的关系: 则： 等距节点Newton插值公式： Newton向前插值： 余项： Newton向后插值： 余项： Hermite插值： 插值余项： 待定系数： 三次样条插值:(三弯矩构造法） 记 对于附加弯矩约束条件: 对于附加转角边界条件： 对于附加周期性边界条件: 上式保证了s(x)在相邻两点的连续性第六章 函数逼近与曲线拟合 主要求法方程第七章 数值积分与数值微分 求积公式具有m次代数精度的充要条件： 插值型求积公式 Newton-Cotes（等分
7、) 梯形求积公式（n=1），具有1次代数收敛精度 误差公式： 抛物型求积公式（Simpson求积公式，n=2），具有3次代数收敛精度 误差公式 Newton求积公式(Simpon3/8法则） 具有3次代数收敛精度 Cotes求积公式（n=4），具有5次收敛精度 误差公式 节点数为奇数时，代数精度为n；为偶数时,代数精度为n+1。代数精度都是奇数。 复化梯形求积公式： 截断误差： 复化Simpson公式： 截断误差： 复化Cotes求积： 截断误差: 若一个复化积分公式的误差满足 且C 0,则称该公式是 p 阶收敛的. 复化求积公式(需要2n+1个求积节点） Romberg求积算法： 复化梯形求
8、积公式： 复化Cotes求积公式： Gauss型求积公式： 内积公式： 截断误差： 高斯求积公式代数精度为2n+1 GaussLegendre求积公式（注意区间（-1，1）,变换可得)：形如：求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出，亦可由下式求得： 截断误差： GaussChebyshev求积公式：形如： 求积系数：(必为正) 截断误差: GaussLaguerre求积公式：形如: 求积系数： 截断误差： GaussHermite求积公式：形如： 求积系数： 截断误差： 三点数值微分公式: 泰勒级数展开：第八章 常微分方程求解 Euler法：为一阶法（f（x,y）为y的导数） 梯形方法（改进Euler法): 四级四阶经典Runge-Kutta公式