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1、九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系章节测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知，在矩形中，于，设，且，则的长为（ ）ABCD2、在RtABC中，C=90，那么等于（ ）ABCD3、如
2、图，为测量小明家所住楼房的楼高，小明从楼底A出发先沿水平方向向左行走到达点C，再沿坡度的斜坡行走104米到达点D，在D处小明测得楼底点A处的俯角为，楼顶最高处B的仰角为，所在的直线垂直于地面，点A、B、C、D在同一平面内，则的高度约为（ ）米（参考数据：，）A104B106C108D1104、如图，将一块含30角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，点B在直线m上的正投影分别为点D，点E，若AB10，BE3，则AB在直线m上的正投影的长是（）A5B4C3+4D4+45、如图，在ABC中，C=90，ABC=30，D是AC的中点，则tanDBC的值是（ ）ABCD6、如图，将ABC放在每
3、个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则A的正切值是（）ABC2D7、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为8 m，那么这两棵树在坡面上的距离AB为（ ）A8mB mC8sina mD m8、如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinACB的值为（）A3BCD9、比较下图长方形内阴影部分面积的大小，甲（ ）乙ABCD无法确定10、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的正弦值是（ ）A2BCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，
4、则tanA的值为_2、某人沿着坡度为 12.4 的斜坡向上前进了 130m，那么他的高度上升了_m3、_4、如图，菱形ABCD中，ABC=120，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到A1D1A2按此规律，得到A2020D2020A2021，记ADA1的面积为S1，A1D1A2的面积为S2，A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021=_5、如图，等边的边长为2，点O是的中
5、心，绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：；四边形的面积始终等于；周长的最小值为3其中正确的结论是_（填序号）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：2、如图，在中，是边上的一个动点（不与点、重合），以点为顶点作，射线交于点，过点作交射线于，连接（1）求证：；（2）当时（如图2），求的长；（3）当时，直接写出的长3、如图，在平面直角坐标系中，点A(-m，m)(m0)在反比例函数(x0)的图象上，矩形ABCD与坐标轴的交点分别为H，E，F，G，ABy轴连接AE，AF，分别交坐标轴于点M，N，连接MN（1）猜想：EAF的度数是定值吗？若是，请求出度数；若不是，
6、请说明理由；（2）若M为OH的中点，求tanANM4、（1）计算： ；（2）先化简，再求值：，其中a满足5、如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）（参考数据，）-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据同角的余角相等求出ADE=ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得BAC=ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根据矩形的对边相等可得AD=BC【详解】解：DEAC，ADE+CAD=90，ACD+CAD=90，ACD=ADE=，矩形ABCD的对边ABCD，BAC=ACD，cos=，AC=4=，
7、由勾股定理得，BC=，四边形ABCD是矩形，AD=BC=故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键2、A【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做A的余切，记作cotA【详解】解：C=90，=，故选：A【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义3、A【分析】根据题意作交于E，延长AC，作交于F，由坡度的定义求出DF的长，得AE的长，再解直角三角形求出DE、BE的长，即可解决问题【详解】解：如图，作交于E，延长AC，作交于F，斜坡CD的坡度为i=1：2.4，CD=104米，DF=AE=40（米），C
8、F=96（米），,，（米），,，（米），（米）.故选：A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答此题的关键4、C【分析】根据30角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC=5，根据锐角三角函数可得BC的长，再根据勾股定理可得CE的长；通过证明ACDCBE，再根据相似三角形的性质可得CD的长，进而得出DE的长【详解】解：在RtABC中，ABC=30，AB=10，AC=AB=5，BC=ABcos30=10，在RtCBE中，CE=，CAD+ACD=90，BCE+ACD=90，CAD=BCE，RtACDRtCBE，CD=，DE=CD+BE=，即
9、AB在直线m上的正投影的长是，故选：C【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键5、D【分析】根据正切的定义以及，设，则，结合题意求得,进而即可求得【详解】解：在ABC中，C=90，ABC=30，设，则， D是AC的中点，故选D【点睛】本题考查了正切的定义，特殊角的三角函数值，掌握正切的定义是解题的关键6、D【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解【详解】解：连接BD，则BD，AD2，则tanA故选D【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角
10、形是本题的关键7、B【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB【详解】解：坡角为，相邻两树之间的水平距离为8米，两树在坡面上的距离（米）故选：B【点睛】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力8、D【分析】连接格点AD，构造直角三角形，先计算AC，再算ACB的正弦即可【详解】连接格点A、D，如图在RtADC中，AD3，CD1，CAsinACB故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键9、C【分析】如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，根
11、据两个大三角形的面积相等，即甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，即可求得甲的面积等于乙的面积【详解】解：如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，根据长方形的对边相等，则长方形对角线分成的两个三角形面积等相等，所以甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，则甲的面积等于乙的面积故选：C【点睛】此题考查了三角形的面积，等底等高的两个三角形的面积相等是解答此题的关键10、C【分析】根据网格的特点，勾股定理求得的长，进而根据勾股定理逆定理判定是直角三角
12、形，进而根据正弦的定义求解即可【详解】解：是直角三角形，且是斜边故选C【点睛】本题考查了网格中勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，正弦的定义，证明是直角三角形是解题的关键二、填空题1、【分析】利用网格构造直角三角形，再找到对应的直角边长，最后根据三角函数的意义求解即可【详解】解：如图，过点B作BDAC的延长线于点D，在中，BD=5，AD=6，故答案为：【点睛】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键2、50【分析】设高度上升了h，则水平前进了2.4h，然后根据勾股定理解答即可【详解】设高度上升了h，则水平前进了2.4h，由勾股定理得： ，解得
13、：故答案为：50【点睛】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h的方程成为解答本题的关键3、5【分析】原式分别根据绝对值，有理数的乘方，二次根式以及特殊角三角函数值化简各项后，再进行加减运算即可得到答案【详解】解：=5【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则及特殊角三角函数值是解答本题的关键4、#【分析】由题意得，则有为等边三角形，同理可得. 都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得，.由此规律可得，即可求解【详解】解：四边形是菱形，为等边三角形，同理可得. 都为等边三角形，过点B作BECD于点E，如图所示：，同理可得：，；由此规律可得：，；故
14、答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定及三角函数，解题的关键是熟练掌握以上知识点5、【分析】如图：连接OB、OC，利用等边三角形的性质得ABO=OBC=OCB=30，再证明BOD=COE，可证BODCOE，即BD=CE、OD=OE，则可对进行判断；利用 得到四边形ODBE的面积 ，则可对进行判断；再作OHDE，则DH=EH，计算出SDOE利用SDOE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对进行判断；由于BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+OE，根据垂线段最短，当OEBC时，OE最小，BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对进行判断【详解】解：连接OB、OC
15、，如图，等边ABC=ACB=60,点O是ABC的中心，OB=OC，OB、OC分别平分ABC和ACB，ABO=OBC=OCB=30BOC=120，即BOE+COE=120，而DOE=120，即BOE+BOD=120，BOD=COE,在BOD和COE中 BODCOE,BD=CE，OD=OE，所以正确；四边形ODBE的面积 =，故正确；如图：作OHDE，则DH=EH，DOE=120,ODE=_OEH=30, ，HE 即SDOE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值， 所以错误；BD=CE,BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=2+DE=2+OE当OEBC时，OE最小
16、，BDE的周长最小，此时 BDE周长的最小值=2+1=3,所以止确故填【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键三、解答题1、0【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行混合运算即可【详解】解：原式【点睛】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值并正确的进行实数的混合运算是解题的关键2、（1）见解析；（2）【分析】（1）先由，得到， 再由三角形外角的性质可得，由此即可证明；（2）先解直角三角形ABM得到，再由三线合一定理得到，然后证明，得到，求得，再由平行线分线段成
17、比例得到 ，即可求解；（3）过点F作FHBC于点H，过点A作AMBC于点M，ANFH于点N，则NHAAMHANH90，则四边形AMHN为矩形，得到MAN90，MHAN，然后证明AFNADM，得到，由，可求出ANAM，即可得到CHCMMHCMAN由此求解即可【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）如图中，过点A作于，在中，AB=AC，AMBC， ， ， 即， ， ，；（3）过点F作FHBC于点H，过点A作AMBC于点M，ANFH于点N，则NHAAMHANH90，四边形AMHN为矩形MAN90，MHAN，由（2）得BMCMBC8，ANFH，AMBC，ANF90AMDDAF90MAN，MAD+NA
18、D=NAF+NAD，即NAFMAD，AFNADM，ANAM，CHCMMHCMAN又FHDC，FD=FC，CD2CH7，BDBCCD1679【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的性质与判定等等，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题3、（1）是定值，EAF=45；（2）3【分析】（1）连接AO，由点的坐标可得四边形AHOG为正方形，然后利用勾股定理得出，根据点C所在的反比例函数解析式可得：，利用等量代换得出：，根据相似三角形的判定和性质可得：，结合图形，由各角之间的数量关系即可得出结果；（2）OH的延长线上取点P，使得，
19、连接AP，用正方形半角模型得，设正方形AHOG的边长为2a，即可得出各边长，然后利用勾股定理得出，根据正切函数的性质求解即可【详解】解：（1）证明：如图，连接AO，点，四边形AHOG为正方形，根据点C所在的反比例函数解析式可得：，又，为定值；（2）解：如图，在OH的延长线上取点P，使得，连接AP，利用正方形半角模型即：将AGN旋转到APH位置，得，设正方形AHOG的边长为2a，则，设，则，由勾股定理得，即：，得，【点睛】题目主要考查反比例函数图象与图形的结合问题，包括正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，正切函数等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键4、（
20、1）0，（2），【分析】（1）先求特殊角三角函数值，再根据二次根式运算法则计算即可；（2）先运用分式运算法则进行化简，再解方程代入求值即可【详解】解：（1）=0（2）=解方程得，当时，分式无意义，把代入，原式=【点睛】本题考查了特殊角三角函数值和二次根式运算，分式化简求值，解题关键是熟练运用相关法则进行计算，熟记三角函数值5、建筑物BC的高约为24.2米【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用正切三角函数解直角三角形即可得【详解】解：由题意得：，是等腰直角三角形，设，则，在中，即，解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，建筑物BC的高约为24.2米，答：建筑物BC的高约为24.2米【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键