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1、第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题综合训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘”，含量为每立方米0.4
2、毫贝克（这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫贝克），那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（ ）A64B71C82D1042、如图一是一个解环游戏，一条链子由14个铁圈连在一起，要使这14个铁圈环环都脱离，例如图二只需要解开一个圈即可环环都脱离要解开图一的链子至少要解开几个圈呢？（）A5个B6个C7个D8个3、如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（ ）
3、A19.4B19.5C19.6D19.74、，则（ ）AB0C32D645、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有张床位的旅馆，当每张床位每天收费元时，床位可全部租出若每张床位每天收费提高元，则相应的减少了张床位租出如果每张床位每天以元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）A14元B15元C16元D18元6、由邯郸到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸邢台石家庄保定北京，那么要为这次列车制作的火车票有（ ）A9种B20种C10种D72种7、鄞州区有两大美丽的公园，分别是鄞州公园和鄞州湿地公园，两大公园的占地面积约达800000平方米，若按比
4、例尺1：2000缩小后的面积大约相当于（）A一个篮球场的面积B一个乒乓球台的面积C数学课本封面的面积D宁波日报一个版面的面积8、已知，设则M，N，P，Q四数中最大的是（ ）AMBNCPDQ9、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin350.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9，cos650.4，tan652.1）（）A3.2米B3.9米C4.7米D5.4米10、笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归
5、大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，或C），再经过第二道门（或）才能出去问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？A12B6C5D2第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：回收餐具与剩菜、清洁桌面；清洁椅面与地面；摆放新餐具前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：步骤时间（分钟）桌别回收餐具与剩菜、清洁桌面清洁椅面与地面摆放新餐具大桌532小桌321现有三名餐厅工作人员分别负责回收餐具与剩菜、清洁桌面，清洁椅面与地面，摆
6、放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要_分钟2、360可以被_个不同的正整数整除（包括1和360本身）3、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为_m4、方程的两根满足，且，则实数a的取值范围是_5、甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：乙队率先到达终点；甲队比乙队多走了126米；在47.8秒时，两队所走路程相等；从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢所
7、有正确判断的序号是_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：yf（x），若x0时，f（x）x21；若x0时，f（x）x+1小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究（1）下列关于该函数图象的性质正确的是 ；（填序号）y随x的增大而增大；该函数图象关于y轴对称；当x0时，函数有最小值为1；该函数图象不经过第三象限（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；若关于x的方程2x+cf（x）有两个互不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 （3）若点（a，b）在函数yx3图象上，且f（a）2，则b的取值范围是 2、（阅读材料）我们知道，
8、图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形（理解应用）（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式（拓展升华）（2）利用（1）中的等式解决下列问题已知，求的值；已知，求的值3、我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆例如线段的最小覆盖圆就
9、是以线段为直径的圆（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某地有四个村庄，（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由4、如图所示，锐角内接，延长线上一点与线段上一点满足与相切，且，设，试用关于的式子表示5、某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具已知每
10、袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面设购买国旗图案贴纸袋（为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含的代数式表示（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠学校按（2）中的配套方案购买，共支付元，求关于的函数关系式现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？-参考答案-一、单选题1、C【分析】
11、根据这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，设经过n次半衰期，由0.4毫贝克到0.0004毫贝克以下，可列出不等式求出n，进而求出天数【详解】解：设经过n次半衰期，2n，n10108=80故能达到目标的最少天数是82天故选：C【点睛】本题理解题意的能力，先求出经过几次半衰期，然后求出天数，即可找到答案2、C【解析】【分析】通过观察图形，找到铁圈的方法：解开1、3、5、13个环即可.【详解】只要解开1、3、5、13个环即可环环都脱离，7所以只要解开7个环即可环环都脱离故选：C【点睛】本题考查了找规律，解题的关键是能够看出解开奇数个环即可环环脱离.3、C【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐
12、的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可【详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的， 观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，故答案为C【点睛】本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键4、C【分析】将x=1代
13、入可知a12+a11+a10+a1x+a0的值，将x=-1代入可求得a12-a11+a10-a9+-a1x+a0的值，然后将两式相加可求得a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0的值，最后将x=0代入可求得a0的值【详解】解：将x=1代入得：a12+a11+a10+a1x+a0=64，将x=-1代入得：a12-a11+a10-a9+-a1x+a0=0，+得：2（a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0）=64a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0=32将x=0代入得：a0=64a12+a10+a8+a6+a4+a2=32-64=-32故选：C【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，
14、特殊值法的应用是解题的关键5、C【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入=每张床的费用每天出租的床位”可求出y与x之间的函数关系式，运用公式求最值即可【详解】设每张床位提高x个2元，每天收入为y元根据题意得：y=（10+2x）（10010x）=20x2+100x+1000当x=2.5时，可使y有最大值又x为整数，则x=2时，y=1120；x=3时，y=1120；则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=10+32=16（元）故选C【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，利用二次函数对称性得出是解题的关键6、A【详解】共需制作的车票数为：4+3
15、+2+1，=210，=10（种）故选A7、D【分析】求按比例尺缩小后面积，再根据实际判断.【详解】依题意得，缩小后面积是：800000平方米20002=0.2平方米，大约是宁波日报一个版面的面积.故选D【点睛】本题考核知识点：比例尺. 解题关键点：理解比例尺的意义.8、D【分析】根据题意，再利用作差法比较与即可.【详解】解：，恒成立，最大，即Q最大，故选：D.【点睛】本题考查了代数式的大小比较，解题的关键是掌握作差法.9、C【分析】过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DFx，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案【详解】解：过点O作OEAC于点F，
16、延长BD交OE于点F，设DFx，tan65，OFxtan65，BF3+x，tan35，OF（3+x）tan35，2.1x0.7（3+x），x1.5，OF1.52.13.15，OE3.15+1.54.65，故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键10、B【分析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解【详解】解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出
17、第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE故选：B【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径二、填空题1、12【分析】设工作人员1负责回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责清洁椅面与地面，工作人员3负责摆放新餐具，当工作人员1清理大桌子的同时，工作人员2清理2张小桌子，5分钟后，当工作人员1清理2张小桌子的同时，工作人员2开始清理1张大桌子，第8分钟，工作人员3开始在大桌上摆放新餐具，进而即可求解【详解】解：设工作人员1负责回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责清洁椅面与地面，工作人员3负责摆放新餐
18、具，具体流程如下图：将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，故答案是：12【点睛】本题主要考查事件的统筹安排，尽可能让回收餐具与剩菜、清洁桌面，清洁椅面与地面，在同一时段中同时进行，节约时间是解题关键2、24【分析】先将360分解质因数，从而可得结果【详解】解：360=，（3+1）（2+1）（1+1）=24，360可以被24个不同的正整数整除，故答案为：24【点睛】本题考查了整除，解题的关键是能够将360分解质因数3、14【分析】利用同时同地物的高与影长成正比列式计算即可【详解】解：设旗杆高度为xm由題意得， 解得：x=14故答案为14【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握同时同地物高与影长成正
19、比例是解答本题的关键4、（，1）（1+，+）【分析】根据方程根的个数与判别式之间的关系证明0恒成立，由题意判断出另一个根的范围，再由f（1）0求出a的范围，利用f（0）0进一步确定两个根的关系，再由韦达定理求出a范围，再取交集【详解】解：|x2|x1（1x2），x1（1x2）0，又0x11，x21，设f（x）（a2+1）x22ax3，方程有两根，4a2+12（a2+1）0恒成立，则f（1）a22a20，解得a1+或a1；f（0）3，x20x11，则|x2|x1（1x2）可化简为：x1+x2x1x2，利用韦达定理得，解得a实数a的取值范围是：（，1）（1+，+），故答案为：（，1）（1+，+）【
20、点睛】本题考查了一元二次方程的解法，对于含有参数的方程，借助于判别式的符号以及韦达定理、根的范围对应的函数值的符号，进行求解5、【分析】根据函数图象所给的信息，逐一判断【详解】由函数图象可知，甲走完全程需要82.3秒，乙走完全程需要90.2秒，甲队率先到达终点，故错误；由函数图象可知，甲、乙两队都走了300米，路程相同，故错误；由函数图象可知，在47.8秒时，两队所走路程相等，均为174米，故正确；由函数图象可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度慢，故正确正确判断的有：故答案为：【点睛】本题考查了函数图象的读图能力要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结
21、合实际意义得到正确的结论三、解答题1、（1）；（2）见解析；（3）或【分析】（1）画出图象，根据函数的性质即可判断（2）根据题意列表、描点、连线即可将看成是一次函数，此函数与轴的交点是，因此要与图像有两个交点，则需要分情况讨论当时，满足两个交点的要求；当时，与图像没有两个交点；当时，可以有两个交点，此种情况要代入，根据根的判别式求出的范围即可（3）因为，所以根据分段函数的图像，求解取值在到2之间的自变量的范围，分情况讨论即可再根据点在函数图象上，则，即，代入到的取值范围中求解即可【详解】解：（1）画出图象，根据图象可知，当时，随的增大而增大，故错误；该函数图象关于轴不对称，故错误；当时，函数有
22、最小值为，正确；该函数图象不经过第三象限，正确；故答案为：（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象，关于的方程有两个互不相等的实数根，可以看成是和有两个交点是一次函数，与轴的交点为，当时，满足两个交点的条件若将向下平移与图像有两个交点，则方程为，即，故答案为：或（3），当时，解出当时，解出或点在函数图象上，或故答案为：或【点睛】此题考查的是分段函数，用数形结合的思想是解此题的关键2、（1）；（2）13；4044【分析】（1）方法一是直接求出阴影部分面积，方法二是间接求出阴影部分面积，即为边的正方形面积减去两个为宽、为长的矩形面积，即；（2）将，代入上题所得的等量关系式求值；可以将看作，将看作，代
23、入（1）题的等量关系式求值即可【详解】（1）（2）由题意得：，把，代入上式得：由题意得：【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景及应用此题为阅读材料型，也是近几年经常考查的题型，熟练掌握完全平方公式并根据条件特点灵活应用是解决此题的关键3、（1）见解析；（2）见解析；（3）的外接圆圆心处【分析】（1）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆；（2）利用（1）的结论解决第（2）问（3）中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）根据是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为的外接圆，
24、所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求【详解】（1）如图所示：（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆（3）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）理由如下：由，故是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为的外接圆，设此外接圆为O，直线与O交于点，则故点在O内，从而O也是四边形的最小覆盖圆所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求【点睛】本题结合三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直
25、角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆4、【分析】将圆O的半径记为r，连接OB，OC，根据圆幂定理得到PCPB=PO2-r2，证明OQCQPO，得到QO2=QCQP，所以可得，根据可得结果.【详解】解：将圆O的半径记为r，连接OB，OC，由圆幂定理得：PCPB=PA2=PO2-r2，QCQB=(r+QO)(r-QO)=r2-QO2，由条件知：OCQ=90-BOC=90-BAC=POQ，所以OQCPQO，得：QO2=QCQP，根据得，再结合，可知，注意到，从而.【点睛】本题考查了圆幂定理和相似三角形的判定和性质，有一定难度，解题的关键是根据题意得到.5、（
26、1）每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；（2）购买小红旗袋恰好配套；（3）需要购买国旗图案贴纸和小红旗各48，60袋，总费用元【分析】（1）设每袋国旗图案贴纸为元，则有，解得，检验后即可求解；（2）设购买袋小红旗恰好与袋贴纸配套，则有，解得；（3）如果没有折扣，国旗贴纸需要：张，小红旗需要：面，则袋，袋，总费用元.【详解】（1）设每袋国旗图案贴纸为元，则有，解得，经检验是方程的解，每袋小红旗为元；答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；（2）设购买袋小红旗恰好与袋贴纸配套，则有，解得，答：购买小红旗袋恰好配套；（3）如果没有折扣，则，依题意得，解得，当时，则，即，国旗贴纸需要：张，小红旗需要：面，则袋，袋，总费用元【点睛】本题考查分式方程，一次函数的应用，能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键.