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1、专题四 数列汇编2013年3月（杨浦区2013届高三一模 文科）16若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且， ()，则复数在复平面上对应的点位于 （ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限16；（闵行区2013届高三一模 文科）18数列满足，若数列的前项和为，则的值为 答 ( )（A） （B） （C） （D）（文）数列满足，若数列的前项和为，则的值为 答 ( ) （A） （B） （C） （D） 18D（虹口区2013届高三一模）18、数列满足，其中，设，则等于( ) 18、C；（奉贤区2013届高三一模）17、（理）已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（ ）A公差
2、； B在所有中，最大；C满足的的个数有11个； D； 17 理C （奉贤区2013届高三一模）17、（文）已知是等差数列的前n项和，且，则下列结论错误的是（ ）A和均为的最大值. B；C公差； D；文D （金山区2013届高三一模）10A、B、C三所学校共有高三学生1500人，且A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_人 1040 （浦东新区2013届高三一模 文科）17若，的方差为，则，的方差为（ ） （普陀区2013届高三一模 文科）6. 若等差数列的前项和为，则数列的通项公式
3、为 . 6.（）（杨浦区2013届高三一模 文科）8. 设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前 项的和_8. 2013； （浦东新区2013届高三一模 文科）14共有种排列，其中满足“对所有 都有”的不同排列有 54 种.（奉贤区2013届高三一模）14、（理）设函数，是公差为的等差数列，则 14理（杨浦区2013届高三一模 文科）18. 已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）. 对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”. 现有定义在上的如下函数：， ， ， ，则为“保比差数列函数”的所有序号为 （ ） 18. （嘉定区2013届高三一模 文科）4一组数据
4、，的平均数是，则这组数据的方差是_ 4（浦东新区2013届高三一模 文科）7等差数列中，则该数列的前项的和 .（黄浦区2013届高三一模 文科）4若数列的通项公式为，则 4； （静安区2013届高三一模 文科）11 （文）数列的前项和为（），对任意正整数，数列的项都满足等式，则= . 11（文）；（闵行区2013届高三一模 文科）14 （文）如下图，对大于或等于2的正整数的次幂进行如下方式的“分裂”(其中)：例如的“分裂”中最小的数是，最大的数是；若的“分裂”中最小的数是，则 . 14文 （嘉定区2013届高三一模 文科）5在等差数列中，从第项开始为正数，则公差的取值范围是_5 （静安区201
5、3届高三一模 文科）2等比数列（）中，若，则 . 264； （静安区2013届高三一模 文科）16（文）等差数列中，已知，且，则数列前项和（）中最小的是（ ）(A) 或 (B) (C) (D)（文）同理1516（文）C；（嘉定区2013届高三一模 文科）14在数列中，若存在一个确定的正整数，对任意满足，则称是周期数列，叫做它的周期已知数列满足，（），当数列的周期为时，则的前项的和_14（静安区2013届高三一模 文科）3 （文）求和：= .（）（文）（金山区2013届高三一模）14若实数a、b、c成等差数列，点P(1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则线段M
6、N长度的最小值是 14（虹口区2013届高三一模）9、在等比数列中，已知，则 9、； （青浦区2013届高三一模）8若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）（奉贤区2013届高三一模）6、设无穷等比数列的前n项和为Sn，首项是，若Sn，则公比的取值范围是 6（崇明县2013届高三一模）13、数列满足，则的前60项和等于. 13、1830 （虹口区2013届高三一模）12、等差数列的前项和为，若，则 12、10； （长宁区2013届高三一模）7、从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通
7、项公式为 7、 （宝山区2013届期末）11.若数列的通项公式是，则 =_.（崇明县2013届高三一模）9、数列的通项公式是，前项和为，则. 9、 （长宁区2013届高三一模）3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球，其中个白球、个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为 . （结果精确到） 3、 （宝山区2013届期末）15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（ C）（A） （B） （C） （D）（青浦区2013届高三一模）20(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列满足 （1）设证明：数列为等差数列，并求数
8、列的通项公式； （2）求数列的前项和解：（1），2分 为等差数列又，4分6分（2）设，则310分 14分 （金山区2013届高三一模）23（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列an满足，(其中0且1，nN*)，为数列an的前项和 (1) 若，求的值；(2) 求数列an的通项公式；(3) 当时，数列an中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由23解：(1) 令，得到，令，得到。2分由，计算得4分(2) 由题意，可得： ，所以有 ，又，5分得到：，故数列从第二项起是等比数列。7分又因为，所以n2时，8分所以数列an的通项10分(3) 因为
9、 所以11分假设数列an中存在三项am、ak、ap成等差数列，不防设mkp2，因为当n2时，数列an单调递增，所以2ak=am+ap即：2()4k2 = 4m2 + 4p2，化简得：24k - p = 4mp+1即22k2p+1=22m2p+1，若此式成立，必有：2m2p=0且2k2p+1=1，故有：m=p=k，和题设矛盾14分假设存在成等差数列的三项中包含a1时，不妨设m=1，kp2且akap，所以2ap = a1+ak ，2()4p2 = + ()4k2，所以24p2= 2+4k2，即22p4 = 22k5 1因为k p 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立16分因此，数列an中存在a1、
10、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列18分（浦东新区2013届高三一模 文科）22（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”（1）设，判断、是否为“摆动数列”，并说明理由；（2）设数列为“摆动数列”，求证：对任意正整数，总有成立；（3）设数列的前项和为，且，试问：数列是否为“摆动数列”，若是，求出的取值范围；若不是，说明理由.解：（1）假设数列是“摆动数列”，即存在常数，总有对任意成立，不妨取时，则，取时，则，显然常数不存在，所以数列不是“摆动数列”；2分而数列是“摆动数列”，.由，
11、于是对任意成立，所以数列是“摆动数列”.4分（2）由数列为“摆动数列”，即存在常数，使对任意正整数，总有成立.即有成立.则，6分所以，7分同理，8分所以.9分因此对任意的，都有成立.10分（3）当时，当时，综上，12分即存在，使对任意正整数，总有成立，所以数列是“摆动数列”；14分当为奇数时递减，所以，只要即可，当为偶数时递增，只要即可.15分综上.所以数列是“摆动数列”，的取值范围是.16分（长宁区2013届高三一模）23（本题满分18分） （理） 已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且（1）若k=1，求数列的通项公式；（2）若m=2，问
12、是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，求（文）设，等差数列中，记=，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式和；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.23、（理）解：（1）因为所以其值域为 2分于是 4分又6分（2）因为所以8分法一：假设存在常数，使得数列，10分得符合。12分法二：假设存在常数k0，使得数列满足当k=1不符合。7分当，9分则当 12分（3）因为所以的值域为 13分于是则 14分因此是以为公比的等比数列，又则有 16分 进而有18分（文）解：（1）设数
13、列的公差为，由,.解得，=3 ， 2分 4分， Sn=. 6分（2） 8分 10分（3）由(2)知， ，成等比数列. 12分 即 当时，7，=1，不合题意；当时，=16，符合题意；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；15分当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1mn,使得成等比数列. 17分综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列. 18分 另解： （3）由(2)知， ， 成等比数列. ， 12分取倒数再化简得 当时，=16，符合题意； 14分， 而， 所以，此时不存在正整数m、n , 且1mn,使得成等比数列. 17分 综上，
14、存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列. 18分（虹口区2013届高三一模）22、（本题满分16分）数列的前项和记为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）求和；（3）设有项的数列是连续的正整数数列，并且满足：问数列最多有几项？并求这些项的和22、（16分）解：（1）由得，相减得，即又，得，数列是以1为首项2为公比的等比数列，5分（2）由（1）知10分（3）由已知得又是连续的正整数数列，上式化为又，消得，由于，时，的最大值为9.此时数列的所有项的和为16分（崇明县2013届高三一模）21、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分） 已知数列，记, , ，并且对于任意，恒有成
15、立（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式；（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列21、解：（1） ，所以为等差数列。 （2）（必要性）若数列是公比为q的等比数列，则，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。（充分性）：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是得即 由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列。 综上，数列是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。（宝山区2013届期末）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满
16、分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知定义域为R的二次函数的最小值为0，且有，直线被的图像截得的弦长为，数列满足， （1）求函数的解析式；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的最值及相应的 23 解：（1）设，则直线与图像的两个交点为（1，0）， 2分 ， 4分 （2） 5分 6分 数列是首项为1，公比为的等比数列8分 10分 （3）令， 则12分，的值分别为，经比较距最近， 当时，有最小值是，15分当时，有最大值是0 18分（奉贤区2013届高三一模）22、（文）等比数列满足，数列满足（1）求的通项公式；（5分）（2）数列满足，为数列的前项和求；（5分）（3）是否存在正整数，使得
17、成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由（6分）22、解：（1）解：，所以公比 2分计算出 3分 4分 5分（2） 6分于是 8分= 10分（3）假设否存在正整数，使得成等比数列，则， 12分可得， 由分子为正，解得， 由，得，此时， 当且仅当，时，成等比数列。 16分说明：只有结论，时，成等比数列。若学生没有说明理由，则只能得 13分（黄浦区2013届高三一模 文科）20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列（1）若，且，求的值；（2）若，求的取值范围20（本题满
18、分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分解：（1）A、B、C成等差数列，又， 2分 由得， 4分又由余弦定理得， 6分由、得， 8分（2） 11分由（1）得， 由且，可得故，所以，即的取值范围为 14分（嘉定区2013届高三一模 文科）22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）写出一个正整数，使得是数列的项；（3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数和（），使得，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由22（本题满
19、分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）（1）设数列的首项为，公差为，由已知，有 ，（2分）解得，（3分）所以的通项公式为（）（4分）（2）当时，所以（1分）由，得，两式相减，得，故，（2分）所以，是首项为，公比为的等比数列，所以（3分），（4分）要使是中的项，只要即可，可取（6分）（只要写出一个的值就给分，写出，也给分）（3）由（1）知，（1分）要使，成等差数列，必须，即，（2分）化简得（3分）因为与都是正整数，所以只能取，（4分）当时，；当时，；当时，（5分） 综上可知，存在符合条件的正整数和，所有符合条件的有序整数对为：，（6分）（静安区2013届高三一模 文科）（文）（本题
20、满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知数列的递推公式为（1）令，求证：数列为等比数列；（2）求数列的前 n项和.（2）当MN在矩形区域滑动时，所以有；8分当MN在三角形区域滑动时，S=.因而，当（米）时，S得到最大值，最大值S=（平方米）. ， S有最大值，最大值为平方米. 12分（文）解：（1），又，所以（），所以，数列是以1为首项3为公比的等比数列6分（2），8分所以数列的前 n项和= 14分（闵行区2013届高三一模 文科）23.（文）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分设数列的各项均为正数，前项和为，已知
21、(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在请说明理由；(3)证明：对任意，都有解： 23. 解（文）(1)，当时，两式相减得， 2分，又，是以为首项，为公差的等差数列2分 1分(2) 由(1)知， 2分假设正整数满足条件， 则 ， 解得； 3分(3) 2分于是 2分 3分 1分（松江区2013届高三一模 文科）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知递增的等差数列的首项，且、成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列对任意，都有成立，求的值（3）在数列中，且满足，求下表中前行所有数的和.
22、 23解：（1）是递增的等差数列，设公差为 1分、成等比数列， 2分由 及得 3分 4分（2）， 对都成立当时，得 5分当时，由，及得，得 7分 8分 10分(3) 又 13分 14分第行各数之和16分表中前行所有数的和 18分（杨浦区2013届高三一模 文科）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 设数列满足且（）,前项和为已知点, ,都在直线上(其中常数且,， ),又 （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求实数，的值； （3）如果存在、，使得点和点都在直线上问 是否存在正整数，当时，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理
23、由23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.（1）因为点都在直线上，所以，得， 2分其中 3分因为常数，且，所以为非零常数所以数列是等比数列 4分（2）由，得， 7分所以，得 8分由在直线上，得， 9分令得 10分（3）由知恒成立等价于因为存在、，使得点和点都在直线上由与做差得： 12分易证是等差数列，设其公差为，则有，因为，所以，又由，而得得 即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数， 16分使，, 即 解得 因为，所以，即存在自然数，其最小值为，使得当 时，恒成立 18分（其它解法可参考给分）（闸北区2013届高
24、三一模 文科）18（文）（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列如：若 则是公差为的准等差数列（1）求上述准等差数列的第项、第项以及前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和为，若，求的取值范围18（文）解：（1）， （2分） （4分）（2） -得 所以，为公差为2的准等差数列 （2分）当为奇数时，； （2分）当为偶数时， （2分） （3）解一：在中，有32各奇数项，31各偶数项，所以， （4分）， （2分）解二：当为偶数时， 将上面各式相加，得 （4分）， （2分）24