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1、第21讲转化与化归思想1. 设a、bR，a2b21，则ab的最小值是_答案：解析：利用可得到，也可以用圆的性质来处理2. 设函数f(x)(xR)为奇函数，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，则f(5)_答案：3. 以点(2，1)为圆心且与直线xy6相切的圆的方程是_答案：(x2)2(y1)24. 函数f(x)cos2x2sinxcosx的最小正周期为_答案：5. 等差数列an的前n项和为Sn，等差数列bn的前n项和为Tn，且，则_答案：解析：.6. 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆1上，则_答案：解析：点A、C是椭圆的两个焦点，.7. 设a、
2、b、c0且a(abc)bc42，则2abc的最小值是_答案：22解析：由a(abc)bc42，得(ab)(ac)42.2abc(ab)(ac)2222.8. 已知函数f(x)是偶函数，直线yt与函数yf(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A、B、C、D.若ABBC，则实数t的值为_答案：9. 已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若有f(a)g(b)，则b的取值范围为_答案：2b2解析：f(a)ea11，g(b)b24b31，故1g(b)1，解得2b2.10. 已知x、y为正数，则的最大值为_答案：11. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinB(tanAtan
3、C)tanAtanC.(1) 求证：a、b、c成等比数列；(2) 若a1，c2，求ABC的面积S.(1) 证明：由已知得sinB(sinAcosCcosAsinC)sinAsinC，则sinBsin(AC)sinAsinC，则sin2BsinAsinC，再由正弦定理可得b2ac， a、b、c成等比数列(2) 解：若a1，c2，则b2ac2， cosB，sinB， ABC的面积SacsinB12.12. 设a0，f(x)x1ln2x2alnx(x0)(1) 令F(x)xf(x)，讨论F(x)在(0，)内的单调性并求极值；(2) 求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1.(1) 解：根据求导法则
4、，有f(x)1，x0，故F(x)xf(x)x2lnx2a，x0，于是F(x)1，x0.列表如下：x(0，2)2(2，)F(x)0F(x)极小值F(2)故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，)内是增函数，所以，在x2处取得极小值F(2)22ln22a，无极大值(2) 证明：由a0知F(x)的极小值F(2)22ln22a0.于是由上表知，对一切x(0，)，恒有F(x)xf(x)0.从而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0，)内单调增加所以当x1时，f(x)f(1)0，即x1ln2x2alnx0，故当x1时，恒有xln2x2alnx1.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0
5、)过点(1，1)(1) 若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；(2) 若椭圆上两动点P、Q，满足OPOQ. 已知命题：“直线PQ恒与定圆C相切”是真命题，试直接写出圆C的方程；(不需要解答过程) 设中的圆C交y轴的负半轴于M点，二次函数yx2m的图象过点M.点A、B在该图象上，当A、O、B三点共线时，求MAB的面积S的最小值解：(1) 由e，所以abc11.设椭圆方程为1，将(1，1)代入得1，所以b2，a23，椭圆方程为1.(2) x2y21. 由题意，二次函数为yx21.设直线AB的方程为ykx.由消去y得，x2kx10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2k，x1x21.所以SOM
6、|x2x1|.当k0时，MAB的面积S的最小值为1.滚动练习(七)1. 已知集合A3，m2，B1，3，2m1若AB，则实数m_答案：1解析：m22m1m1.2. 双曲线x21的渐近线方程为_答案：y2x3. 若复数z1mi(i为虚数单位，mR)，z22i，则复数z的虚部为_答案：1解析：由z22i，得(1m2)2mi2i， m1. 4. 若an为等差数列，Sn是其前n项的和，且S11，则tana6_答案：解析：S111111a6，a6，tana6.5. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线xy5上的概率为_答案：解析：这是一道典型的古典概率题，P.6. 执行
7、右边的程序框图，若P15，则输出的n_答案：57. 函数f(x)x2lnx的单调递增区间为_. 答案：(2，)解析：函数f(x)x2lnx的定义域为(0，)，f(x)10，解得x2，故函数单调递增区间为(2，)8. 已知函数f(x)则ff()_答案：解析：flog22，ff(2)32.9. 设向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中0.若|2ab|a2b|，则_答案：解析：|a|b|1，由|2ab|a2b|，得(2ab)2(a2b)2， ab0，即coscossinsin0，亦即cos()0.又0， .10. 已知实数x、y，满足xy1，且x2y0，则的最小值为_答案：411. 已
8、知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若PF110，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，则该椭圆的离心率的取值范围是_答案：解析：PF22c，(1，2)，c，椭圆的离心率e1.12. 设函数f(x)满足f(x)f(3x)，且当x1，3)时，f(x)lnx.若在区间1，9)内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得t，则实数t的取值范围为_答案：解析：当x3，9)时，f(x)flnxlnxln3.设直线ytx与曲线f(x)lnxln3相切于(x0，f(x0)，则tf(x0)，解得x0
9、3e，于是t1.另一方面，x3，9)时，图象的最右端点为(9，ln3)，于是t2.作出示意图可知，t介于t1与t2之间故答案为.13. 在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且tanAtanB(1tanAtanB)(1) 若c2a2b2ab，求A、B、C的大小；(2) 已知向量m(sinA，cosA)，n(cosB，sinB)，求|3m2n|的取值范围解：由已知，得， tan(AB). 0A，0B， AB， AB.(1) 由已知，得cosC， C.由解得A，B. A，B，C.(2) (3m2n)29m24n212mn1312(sinAcosBcosAsinB)13
10、12sin(AB)1312sin. ABC为锐角三角形，AB， CAB，ABb0)(其中a2b2c2)的左、右顶点分别为D、B，圆M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧求椭圆离心率的取值范围；若A、B、M、O、C、D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由解：(1) 设圆M的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)则由题设，得解得圆M的方程为x2y2cxc20，圆M的标准方程为y2c2.(2) 圆M与x轴的两个交点A(c，0)、C，又B(b，0)，D(b，0)，由题设即 解得，即e. 椭圆离心率的取值范围为. 由(1)，得M.由题设，得cbbcc， bc，D. 直线MF1的方程为1，直线DF2的方程为1.由以上两式，得直线MF1与直线DF2的交点Q(c，3c)，易知kOQ为定值， 直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线yx上- 8 -