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1、规律与猜想 学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来.规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度，利用不同方法探索并发现数学规律，同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，真正考查了学生的数学思考能力.类型之一 数式的变化规律例1 (2014安徽)观察下列关于自然数的等式：32-412=552-422=972-432=13根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92-4( )2=( )；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.【思路
2、点拨】(1)从等式的结构看，等于号的左边第一项的底数依次增大2，第二项的底数依次增大1，等于号的右边依次增大4.依次规律就可写出第四个等式；(2)先根据分析的规律用含n的等式表示出第n个等式，然后将等号的一边经过整理与另一边相同.【解答】(1)4，17.(2)(2n+1)2-4n2=4n+1.验证：左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边，等式成立.方法归纳：探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律.1.(2014东营)将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行，第一列，与有序数对(2，1)对应；数5与(1
3、，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2 014对应的有序数对为 .2.(2014菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n行(n是整数，且n3)从左至右数第n-2个数是 (用含n的代数式表示).3.(2014滨州)计算下列各式的值：；.观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得= .4.(2014巴中)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n为非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的
4、系数.例如，(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出(a-b)4的展开式为 .5.(2014黄石)观察下列等式：第一个等式：a1=-第二个等式：a2=-第三个等式：a3=-第四个等式：a4=1-按上述规律，回答以下问题：用含n的代数式表示第n个等式：an= = ；式子a1+a2+a3+a20= . 6.(2014烟台)将一组数，3,2,，3，按下面的方法进行排列：若2的位置记为(1，4)，2的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有
5、理数的位置记为( ) A.(5，2) B.(5，3) C.(6，2) D.(6，5)类型之二 图形的变化规律例2 (2014金华)一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接.(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若有餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？【思路点拨】由拼图可知，每多拼一张餐桌，可坐的人数就增多4人，依次规律可探究出餐桌的个数与可坐人数之间的关系.从而就可解决问题.【解答】(1)根据图中的规律我们可以发现，每多拼接一张餐桌，可坐的人数就增多4人.即：拼接x张餐桌可以就餐的人数为：6+4(x-1)=4x+2(人).所以，
6、拼4张可以坐44+2=18(人)，拼8张可以坐48+2=34(人).(2)由题意可知4x+2=90.解得x=22.答：这样的餐桌需要拼接22张.方法归纳：当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证.1.(2014重庆A卷)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为( ) A.20 B.27 C.35
7、 D.402.（2014武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第5个图中共有点的个数是( ) A.31 B.46 C.51 D.663.(2014重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( ) A.22 B.24 C.26 D.284.(2014宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，,An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( ) A.n B.n-1
8、 C.()n-1 D.n5.(2014鄂州)如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且ACBD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是( )四边形A4B4C4D4是菱形；四边形A3B3C3D3是矩形；四边形A7B7C7D7周长为；四边形AnBnCnDn面积为. A. B. C. D.6.(2014内江)如图，已知A1、A2、An、An1是x轴上的点，且OA1A1A2A2A3AnAn11，分别过点A1、A2、An、An1作x轴的垂线交直线y2x
9、于点B1、B2、Bn、Bn1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、AnBn1、BnAn1，依次相交于点P1、P2、P3、Pn，A1B1P1、A2B2P2、AnBnPn的面积依次为S1、S2、Sn，则Sn为( ) A. B. C. D.7.(2014内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是 .8.（2014娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，第4个图案由13个组成，则第n（n为正整数）个图案由 个组成.9.(2014盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每
10、个正方形都有一个顶点落在函数yx的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，Sn，则Sn的值为 .(用含n的代数式表示，n为正整数)类型之三 点的坐标的变化规律例3 (2014泰安)如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，若点A(,0),B(0,4),则点B2 014的横坐标为 .【思路点拨】
11、先根据勾股定理求出AB的长度，再根据第4个图形与第1个图形的位置相同，可知每三个三角形为一个循环依次循环，然后求出每个循环组中B点坐标的变化规律即可.【解答】由题意可得：AO=，BO=4，AB=，OA+AB1+B1C2=+4=6+4=10，B2的横坐标为10，B4的横坐标为210=20，点B2 014的横坐标为：10=10 070.故答案为：10 070.方法归纳：由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律.1.如图，在一单位为1的方格纸上，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，都是斜边在x轴上、斜边长分别为
12、2，4，6，的等腰直角三角形.若A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 014的坐标为 .2.(2013湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用A1、A2、A3、A4、表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 ，A22的坐标是 .3.(2014孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，分别在直线y=x+1和x轴上，则
13、点B6的坐标是 .4.(2014德州)如图，抛物线yx2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，An，.将抛物线yx2沿直线l：yx向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：抛物线的顶点M1，M2，M3，Mn，都在直线l：yx上；抛物线依次经过点A1，A2，A3，An，.则顶点M2 014的坐标为 .参考答案类型之一 数式的变化规律1.(45，12) 2. 3.102 014提示：=10=101，=100=102，=1 000=103，=10 000=104，=102 014.故答案为102 014.4.a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b45.；-；
14、-6.C类型之二 图形的变化规律1.B 2.B3.C提示：每一次操作三角形个数增加6个.4.B提示：每两个之间重叠部分的面积都等于正方形面积的，正方形的面积为4，所以重叠部分的面积为1，n个正方形有(n-1)个重叠部分，故重叠部分的面积之和为(n-1).5.A6.D提示：AnBn当底，利用函数y2x即可求得，利用黑白三角形相似如A1B1P1B2A2P1等求得Pn到AnBn的距离，从而得AnBnPn的面积.7.正方形8.3n+19.24n-5提示：根据A点的坐标为(8,4)即可得出正方形的边长依次为20、21、22、23、，第n个正方形的边长为2n-1计算,第n个阴影部分是在第2n-1和2n个正
15、方形中，与求S2的方法一样，第n个阴影部分的面积是第2n-1个正方形面积的一半，Sn=（22n-1-1）2=24n-5.类型之三 点的坐标的变化规律1.(1,-1 007)2.(0，-1) (-8，-8)提示：由于223=71，而A1的坐标为(-1，-1)；A4的坐标为(-2，-2)；A7的坐标为(-3，-3)；A22的坐标为(-8，-8).3.(63，32)提示：A1(0,1)，B1(1，1);A2(1，2)B2(3，2),A3(3，4),B3(7，4);依次类推An(2n-1,2n-1),所以B6(63，32).4.(4 027，4 027)提示：M1(a1，a1)是抛物线y1=(x-a1)2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=(x-a1)2+a1相交于A1，得x2=(x-a1)2+a1，即2a1x=a21+a1，x=(a1+1).x为整数点，a1=1，M1(1，1)；同理M2(3，3)，M3(5，5)，M2 014(2 0142-1，20142-1)，即M2014(4 027，4 027).7