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1、图形的操作与变换类型之一折叠与翻折问题(2015铜仁)如图，在矩形ABCD中，BC6，CD3，将BCD沿对角线BD翻折，使点C落在C处，BC交AD于点E，则线段DE的长为()A. 3B.C5 D. 【思路点拨】求DE的长可以转换为求BE的长，在RtABE中，利用勾股定理可以求得【解答】CBDDBE，CBDADB，DBEADB.DEBE.由矩形的性质得ABCD3，ADBC6.设DE的长为x，则AE6x.在RtABE中，AB2AE2BE2，即32(6x)2x2.解得x，故选择B.图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件另外折叠和翻折还是
2、轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质1(2015安顺)如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC3，则折痕CE的长为()A2B.C.D62(2014黔东南)如图，在矩形ABCD中，AB8，BC16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为()A6 B12 C2 D43(2015无锡)如图，RtABC中，ACB90，AC3，BC4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段BF的长为()A. B. C. D.4(2015泸州)如
3、图，在ABC中，ABAC，BC24，tanC2，如果将ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为()A13 B. C. D12 5(2015黔西南)在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为(0，2)，PM的延长线与x轴交于点N(n，0)，如图3，当m时，n的值为()A42 B24 C D.6(2014黔东南模拟)如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将BMN沿MN翻折，得FMN，若MFAD，FN
4、DC，则B_7如图，在RtABC中，ABC90，AB3，AC5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为_类型之二图形旋转问题(2014黔南)两个长为2 cm，宽为1 cm的长方形，摆放在直线l上(如图1)，CE2 cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度(1)当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：AEDGCD(如图2)；(2)当45时(如图3)，求证：四边形MHND为正方形【思路点拨】(1)由全等三角形的判定定理SAS证得：AEDGCD(如图2)；(2)通过判定四边形MHND四个角是90，且邻边DNN
5、H来判定四边形MHND是正方形【解答】(1)如图2，由题意知，ADGD，EDCD，ADCGDE90，ADCCDEGDECDE，即ADEGDC.在AED与GCD中，AEDGCD(SAS)(2)如图3，45，NCENEC45.CNNE，CNE90.DNH90.DH90，四边形MHND是矩形CNNE，DNNH.矩形MHND是正方形图形的旋转是全等变换，它只改变图形的位置而不改变图形的大小，它为三角形的全等或相似提供大量的边相等或角相等的条件1(2015黔东南)如图，在ABO中，ABOB，OB，AB1.将ABO绕O点旋转90后得到A1B1O，则点A1的坐标为()A(1，) B(1，)或(1，)C(1，
6、) D(1，)或(，1)2(2015遵义)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB，则四边形AB1ED的内切圆半径为()A. B. C. D.3(2015济宁)将一副三角尺(在RtACB中，ACB90，B60；在RtEDF中，EDF90，E45)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将EDF绕点D顺时针方向旋转角(060)，DE交AC于点M，DF交BC于点N，则的值为()A. B. C. D.4(2015青岛)如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为(1，1)、(1，1)，把正方形AB
7、CD绕原点O逆时针旋转45得到正方形ABCD，则正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分形成的正八边形的边长为_5(2013六盘水)把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90，此时，点O运动到了点O1处(即点B处)，点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为_，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为_6(2015汕尾)在RtABC中，A90，ACAB4，D，E分别是边AB，AC的中点若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰
8、RtAD1E1，设旋转角为(0180)，记直线BD1与CE1的交点为P.(1)如图1，当90时，线段BD1的长等于_；(直接填写结果)(2)如图2，当135时，求证：BD1CE1，且BD1CE1；(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值(直接写出结果)(3)1(四边形AD1PE1为正方形时，距离最大，此时PD12，PB22)类型之三利用轴对称求最短距离(2013六盘水)(1)观察发现如图1，若点A、B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使APBP的值最小，作法如下：作点B关于直线m的对称点B，连接AB，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB的长度即为APBP的最小值如图2，在等边三角形ABC中
9、，AB2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BPPE的值最小，作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连线CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BPPE的最小值为_(2)实践运用如图3，已知O的直径CD为2，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BPAP的值最小，则BPAP的最小值为_(3)拓展延伸如图4，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M、点N，使PMPN的值最小，保留作图痕迹，不写作法【思路点拨】(1)利用作法得到CE的长为BPPE的最小值；由AB2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CEAB，BCEBCA30，BE1
10、，再根据含30的直角三角形三边的关系得CE的长度(2)过B点作弦BECD，连接AE交CD于P点，连接OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BPAP的最小值(3)分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于M、交BC于N.【解答】(1)CE的长为BPPE的最小值在等边三角形ABC中，AB2，点E是AB的中点，CEAB，BCEBCA30，BE1，CEBE.(2)如图5，过B作弦BECD，连接AE交CD于P点，连接OB、OE、OA、PB，BECD.CD平分BE，即点E与点B关于CD对称的度数为60，点B是的中点，BOC3
11、0，AOC60.EOC30.AOE603090.OAOE1，AEOA.AE的长度就是BPAP的最小值(3)如图6.求两条线段之和的最小值，常常想到利用轴对称将两条线段的和转化为求两点之间的距离1(2014安顺)如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，点B为劣弧AN的中点点P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为()A. B1 C2 D22(2014黔东南)在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线yx上的动点，A(1，0)，B(2，0)是x轴上的两点，则PAPB的最小值为_3(2013黔南)如图所示，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形
12、ABE，P为对角线AC上的一点，则PDPE的最小值为_4(2014贵阳)如图，将一副直角三角板拼放在一起得到四边形ABCD，其中BAC45，ACD30，点E为CD边上的中点，连接AE，将ADE沿AE所在直线翻折得到ADE，DE交AC于F点若AB6 cm.(1)AE的长为_cm；(2)试在线段AC上确定一点P，使得DPEP的值最小，并求出这个最小值；求点D到BC的距离参考答案类型之一 折叠与翻折问题1A2.D3.B4.A5.A6.957.类型之二图形旋转问题1B2.B3.C4.225.6. (1)2(2)证明：当135时，由旋转可知D1AB E1AC 135.又ABAC，AD1AE1，D1AB
13、E1AC.BD1CE1且D1BA E1CA.设直线BD1与AC交于点F，有BFACFP，CPFFAB90.BD1CE1.(3)1(四边形AD1PE1为正方形时，距离最大，此时PD12，PB22)类型之三利用轴对称求最短距离1A2.3.24(1)4(2)在RtADC中，ACD30，ADC60.E为CD边上的中点，DEAE.ADE为等边三角形将ADE沿AE所在直线翻折得ADE，ADE为等边三角形，AED60.EACDACEAD30，EFA90，即AC所在的直线垂直平分线段ED.点E，D关于直线AC对称连接DD交AC于点P，此时DPEP值为最小，且DPEPDD.ADE是等边三角形，ADAE4，DD2AD2612，即DPEP最小值为12 cm.(3)连接CD，BD，过点D作DGBC于点G.AC垂直平分线段ED，AEAD，CECD.AEEC，ADCD4.在ABD和CBD中，ABDCBD(SSS)DBG45，DGGB.设DG长为x cm，则CG长为(6x)cm，在RtGDC中，x2(6x)2(4)2，解得x13，x23(不合题意，舍去)点D到BC边的距离为(3)cm.7