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1、第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角学习目标1.了解三角形的内角,会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180.2.了解辅助线的作用,能准确、规范地利用辅助线进行证明.3.规范推理过程,能够独立完成简单的证明过程.学习过程一、自主学习问题1:如图,在ABC中,A+B+C等于多少度?问题2:这个结论你是如何得出的?问题3:利用这些方法得出的结论准确吗?二、深化探究探究1:观察三角形的构成,探索三角形的概念问题1:如何用剪拼的方法验证ABC的内角和等于180?问题2:在图、图中,直线l有什么特点,它存在吗?图 或 图问题3:这种原图形中不存在,我们为了解题需要而
2、自己加上的线被称之为辅助线.利用图,你能想出证明“三角形内角和等于180”的方法吗?问题4:利用图证明三角形内角和定理“三角形内角和等于180”.问题5:你能利用图证明“三角形内角和等于180”吗?探究2:利用所学知识解决基础问题问题1:如图,C岛在A岛的北偏东50方向,B岛在A岛的北偏东80方向,C岛在B岛的北偏西40方向,从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度?问题2:对于上面的问题,你还能想出其他的解法吗?三、练习巩固练习1:说出下列各图中x的值.练习2:下列各组角中哪三个角是同一个三角形的内角?(1)70,60,30,80;(2)110,20,50,40;(3)52,32,58,90;
3、(4)36,108,36,72.练习3:如图,从A处观测C处时仰角CAD=30,从B处观测C处时仰角CBD=45,从C处观测A,B两处时视角ACB是多少度?四、深化提高练习1:思考:(1)一个三角形最多有几个直角,为什么?(2)一个三角形最多有几个钝角,为什么?(3)一个三角形至少有几个锐角,为什么?练习2:已知等腰三角形的两个底角相等,则:(1)如果顶角为80,那么它的一个底角等于多少度?(2)如果它的一个角为80,那么它的一个底角等于多少度?练习3:如图,已知1=15,2=30,A=50,求BDC的度数.参考答案一、自主学习问题1:A+B+C=180.问题2:将三角形的每个内角剪下,拼成一
4、个平角,或者用量角器进行测量.问题3:不准确(或准确).二、深化探究探究1:问题1:将ABC的三个内角分别剪下,再拼成一个平角.如图、图.图 或 图问题2:直线lBC,直线l不存在,是我们自己画上的.问题3:利用平行的性质和平角的定义可以证明.问题4:已知:ABC.求证:A+B+C=180.证明:如图,过点A作直线l,使lBC.lBC,2=4(两直线平行,内错角相等).同理,3=5.1,4,5组成平角,1+4+5=180(平角定义).1+2+3=180(等量代换),即BAC+B+C=180.问题5:已知:ABC.求证:A+B+C=180.证明:如图,延长BC,过点C作直线l,使lAB.lAB,
5、1=4(两直线平行,内错角相等),2=5(两直线平行,同位角相等).3,4,5组成平角,3+4+5=180(平角定义).3+1+2=180(等量代换),即A+B+BCA=180.探究2:问题1:解:CAB=BAD-CAD=80-50=30.ADBE,BAD+ABE=180(两直线平行,同旁内角互补).ABE=180-BAD=180-80=100,ABC=ABE-EBC=100-40=60.在ABC中,ACB=180-ABC-CAB=180-60-30=90.答:从C岛看A,B两岛的视角ACB是90.问题2:解:过点C作CFAD.CFAD,ACF=DAC=50(两直线平行,内错角相等).CFBE
6、,BCF=CBE=40(两直线平行,内错角相等).ACB=ACF+BCF=50+40=90.答:从C岛看A,B两岛的视角ACB是90.三、练习巩固练习1:解:图中的x值分别是70,60,30,50.练习2:解:由三角形内角和等于180可以知道,各组中同一个三角形的内角分别如下:(1)70,30,80;(2)110,20,50;(3)32,58,90;(4)36,36,72.练习3:解:由三角形内角和等于180可以知道,在ACD中,ACD=60,在BCD中,BCD=45.所以ACB=ACD-BCD=60-45=15.四、深化提高练习1:解:(1)一个三角形最多有一个直角.如果一个三角形有两个角是
7、直角,那么三角形的内角和大于180.这个结果与三角形内角和等于180矛盾,所以一个三角形最多有一个直角.(2)一个三角形最多有一个钝角.如果一个三角形有两个角是钝角,那么三角形的内角和大于180.这个结果与三角形内角和等于180矛盾,所以一个三角形最多有一个钝角.(3)一个三角形至少有两个锐角.如果一个三角形只有一个角是锐角,那么三角形的另外两个角的和一定大于90且小于180.将大于90且小于180的角分成两个角的话,必定有一个角小于90,所以一个三角形至少有两个锐角.练习2:解:(1)50;(2)如果80角是等腰三角形的顶角,那么底角是50,如果80角是等腰三角形的底角,那么底角就是80.练习3:解:由三角形内角和等于180可知,ABC+ACB=130,而1+2=45,所以DBC+DCB=130-45=95,所以BDC=105.