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1、第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.2三角形的外角学习目标1.了解三角形外角的概念.2.探索并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.3.运用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解决简单问题.学习过程一、自主学习问题1:如图,已知BDCE,A=45,C=65,求1和2的度数.问题2:在问题1中,2被称为三角形的外角,根据2的构成,你能说明什么叫三角形的外角吗?二、深化探究探究1:根据定义探索三角形外角的个数问题1:根据定义,画出三角形的外角.你能画出多少个?问题2:这几个角有什么关系?(位置关系和数量关系)探究2:手脑并用探索三角形外角的性质及外角和问题1:如图,
2、在ABC中,ABC=65,ACB=40,求BAC的度数及三角形的外角1,2,3的度数.问题2:观察你的结论,你能发现三角形的三个内角与它的外角有什么关系吗?三个外角又有什么关系?问题3:试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.问题4:试证明三角形的外角和等于360.三、练习巩固练习1:说出下列各图中1和2的度数.(1)(2)练习2:如图,BDC是的外角,BDC=+,EFC是的外角,EFC=+,BFC是的外角,BFC=+,BFC.练习3:如图,CE是ABC的外角ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E,证明BACB.练习4:如图,点D是ABC内的一点,连接BD和CD,证明BDCA.
3、四、深化提高练习1:如图,在ABC中,ABC与ACB的平分线交于点P.试证明P=90+12A.练习2:如图,在上题中,如果CP是ABC外角ACD的平分线,那么P与A有什么关系?试证明你的结论.练习3:如图,在上题中,如果BP,CP分别是CBD与BCE的平分线,那么P与A有什么关系?试证明你的结论.参考答案一、自主学习问题1:由BDCE可知,1=C=65,由三角形内角和等于180可知,2的邻补角等于70,所以2=110.问题2:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.二、深化探究探究1:问题1:如图,可以画出6个外角.问题2:1和2是对顶角,3和4是对顶角,5和6是对顶角,所以有
4、1=2,3=4,5=6.探究2:问题1:BAC=75,1=105,2=115,3=140.问题2:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;三角形的外角和等于360.问题3:已知:在ABC中,1是三角形的一个外角.求证:1=A+B.证明:ACB+A+B=180,(三角形的内角和等于180)ACB=180-A-B.1与ACB是邻补角,1+ACB=180.1=180-ACB=180-(180-A-B)=A+B.问题4:已知:在ABC中,1,2,3都是三角形的外角.求证:1+2+3=360.证明:1,2,3都是三角形的外角,1=ABC+ACB.(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)同理
5、,2=BAC+ACB,3=BAC+ABC.1+2+3=ABC+ACB+BAC+ACB+BAC+ABC=2(BAC+ABC+ACB).BAC+ABC+ACB=180,(三角形的内角和等于180)1+2+3=2180=360.三、练习巩固练习1:(1)1=40,2=140;(2)1=80,2=40.练习2:ACDAACDBCFBCFFBCBDF(CEF)BDF(CEF)DBF(ECF)BDF(CEF)练习3:证明:CE是ACD的平分线,ACE=DCE.(角平分线定义)DCE是BCE的外角,DCEB.(三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角)ACEB.(等量代换)BAC是ACE的外角,BACA
6、CE.(三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角)BACB.练习4:证明:延长BD交AC于点E.BEC是ABE的外角,BDC是CDE的外角,BECA,BDCBEC.(三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角)BDCA.四、深化提高练习1:证明:BP,CP分别是ABC与ACB的平分线,PBC=12ABC,PCB=12ACB.(角平分线定义)A+ABC+ACB=180,P+PBC+PCB=180,(三角形的内角和等于180)ABC+ACB=180-A,P=180-(PBC+PCB).P=180-12(ABC+ACB)=180-12(180-A)=90+12A.(等量代换)练习2:解:P=1
7、2A.理由:BP,CP分别是ABC与ACD的平分线,PBC=12ABC,PCD=12ACD.(角平分线定义)PCD是PBC的外角,ACD是ABC的外角,PCD=P+PBC,ACD=A+ABC.(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)P=PCD-PBC,ABC=ACD-A.P=12ACD-12ABC=12(ACD-ABC)=12ACD-(ACD-A)=12A.(等量代换)练习3:解:P=90-12A.理由:BP,CP分别是CBD与BCE的平分线,PBC=12CBD,PCB=12BCE.(角平分线定义)CBD与BCE都是ABC的外角,CBD=A+ACB,BCE=A+ABC,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)A+ABC+ACB=180,P+PBC+PCB=180,(三角形的内角和等于180)P=180-(PBC+PCB),ABC+ACB=180-A.P=180-12(CBD+BCE)=180-12(A+ACB)+(A+ABC)=180-122A+(ACB+ABC)=180-122A+(180-A)=180-12(180+A)=90-12A.(等量代换)