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1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第十二章 概率与统计 古典概型与几何概型 理（含2014试题）理数1. (2014湖北,7,5分)由不等式组确定的平面区域记为1,不等式组确定的平面区域记为2,在1中随机取一点,则该点恰好在2内的概率为()A.B.C.D.答案 1.D解析 1.区域1为直角AOB及其内部,其面积SAOB=22=2.区域2是直线x+y=1和x+y=-2夹成的条形区域.由题意得所求的概率P=.故选D.2. (2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.B.C.D.答案 2.C解析 2.根据题
2、意,2个点的距离小于该正方形边长的有4对,故所求概率P=1-=,故选C.3.(2014浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3,n3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为i(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1p2,E(1)E(2)B.p1E(2)C.p1p2,E(1)E(2)D.p1p2,E(1)0,即有p1p2.此时,2的取值为1,2,3.P(2=1)=,P(2=2)=,P(2=3)=,则E(2)=1+2+3=3p2=,则有E(1)
3、p2,E(1)E(2),故选A.4.(2014课表全国，5，5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.答案 4.D解析 4.由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况,而4位同学都选周六有1种情况,4位同学都选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P=,故选D.5. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，9) 向边长分别为的三角形区域内随机投一点，则该点与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）AB. C. D. 答案 5. A解析 5.
4、设ABC的三边AB=5，BC=6，AC=. 根据余弦定理可得，又因为B（0，），所以. 所以ABC的面积为. 而在ABC的内部且离点A距离小于等于1的点构成的区域的面积为，同理可得在ABC的内部且离点B、C距离小于等于1的点构成的区域的面积分别为，所以在ABC内部，且与三角形三个顶点距离都大于1的平面区域的面积为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.6. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），3) 利用计算机产生01之间的均匀随机数, 则使关于的一元二次方程无实根的概率为( )答案 6. C解析 6. 由，故，选C .7. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，8) 假设在
5、5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会收到干扰，则手机收到干扰的概率为（ ） A. B. C. D. 答案 7. C解析 7. 设两条短信进入手机的时间分别为、，则，作平面区域，如图，由几何概型知，手机受到干扰的概率为.8. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 11) 在区间0,2上随机取两个数, 则02的概率是（ ）A. B. C. D. 答案 8.C解析 8.：如图，.9. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，10) 在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项
6、都互不相邻的概率为（ ）A. B. C. D. 答案 9. D解析 9. 因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，其通项公式为，当时，项为有理项，展开式的9项全排列为种，所有的有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项插入形成的7个空中，有，所以有理项互不相邻的概率为.10.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，6）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，18的18名火炬手. 若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）AB CD 答案 10. D解析 10. 从18个选手中任选3人的选法有种选法，由数字1，2，3，18构成的以3为公差的等
7、差数列其等差中项只能是4、5、. 、15，每个等差中项对应1个等差数列，所以以3为公差的等差数列共有：12个，所以所求概率为.11.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，9）将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为（ ） A B C D答案 11. A解析 11. 它落地时向上的点数恰好依次成等差数列的情况有公差为0：有6种情况；公差为1的有42=8个；公差为2的有：22=4个，而满足这三次抛掷向上的点数之和为12的有：（3,4, 5）、（5,4, 3）、（4,4, 4）、（2,4, 6）、（6,4, 2）共5个
8、，根据古典概型的概率计算可得所求概率为.12. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，7) 设点（）是区域内的随机点，函数在区间）上是增函数的概率为 （ ）A. B. C. D. 答案 12. C解析 12. 表示的区域的面积为. 函数在区间）上是增函数，则，所以概率. 选C.13.(2014湖北武汉高三2月调研测试，8) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EHA1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G设AB2AA12a在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE
9、-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EFa时，则P的最小值为答案 13. D解析 13. 根据几何概型，= ，其中“” 当且仅当时成立. 故选D.14.(2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 5) 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离小于，则周末去踢球，否则去图书馆. 则小波周末去图书馆的概率是（ ）A. B. C. D. 答案 14. B解析 14. 圆的面积为，点到圆心的距离小于的面积为，所以点到圆心的距离大于的面积为，由几何概型小波周末去图书馆的概率为.15. (2014河北衡水中学高三上学期第五次
10、调研考试, 8) 已知菱形的边长为4，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）A. B. C. D. 答案 15.D解析 15.如右图，阴影部分M即为点到菱形四个顶点的距离大于1的点的集合，空白部分是半径为的圆，所以.16. (2014兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是( ) 对于命题，则，均有是直线与直线互相垂直的充要条件 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5) ，则回归直线方程为1.23x0.08若实数，则满足的概率为 曲线与所围成图形的面积是A. 2B. 3 C. 4D. 5答案 16. A解析 16. 对，因为
11、命题，则，均有，故错误；对，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故错误；对，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故正确；对，有几何概型知，所求概率为，故错误；对，曲线与所围成图形的面积是，正确.故正确的是 ，共2个.17. (2014湖北黄冈高三期末考试) 福彩3D是由3个09的自然数组成投注号码的彩票，耀摇奖时使用3台摇奖器，各自独立、等可能的随机摇出一个彩球，组成一个3位数，构成中奖号码，下图是近期的中奖号码（如197,244, 460等），那么在下期摇奖时个位上出现3的可能性为（ ）答案 17. A解析 17. 古典概型. 依题意，个位上的数字由10种情
12、况，个位上的数去3 只有一种情况，故所求的概率，即个位上出现3的可能性是10%.18. (2014广东,11,5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为_.答案 18.解析 18.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数有种选法.要使抽取的七个数的中位数是6,则6,7,8,9必须取,再从0,1,2,3,4,5中任取3个,有种选法,故概率为=.19. (2014福建,14,4分)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为_.答案 19.解析 19.y=ex与y=ln x互为反函数
13、,故直线y=x两侧的阴影部分面积相等,只需计算其中一部分即可.如图,S1=exdx=ex=e1-e0=e-1.S总阴影=2S阴影=2(e1-S1)=2e-(e-1)=2,故所求概率为P=.20. (2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是_.答案 20.解析 20.从10件产品中任取4件有种取法,取出的4件产品中恰有1件次品有种取法,则所求的概率P=.21.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是_.答案 21.解析 21.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,有(
14、1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况.满足条件的有(2,3),(1,6),共2种情况.故P=.22.(2014辽宁,14,5分)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是_.答案 22.解析 22.由对称性可知S阴影=S正方形ABCD-4x2dx=22-4=,所以所求概率为=.23.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，13）（原创）小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他
15、们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是 （用数字作答）。答案 23.13答案 解析 23. 设小钟和小薛分别在8点后x、y分钟后到达华岩寺正大门，则，等待时间|xy|15，根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为.24. (2014福州高中毕业班质量检测, 12) 如图所示, 在边长为1的正方形中任取一点, 则点恰好取自阴影部分的概率为 . 答案 24.解析 24. 依题意，阴影部分面积，故所求的概率为.25. (2014广东广州高三调研测试，11) 如图，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域. 在
16、内随机取一点，则该点落在中的概率为_. 答案 25.解析 25. 由已知及图像可得；阴影部分面积为，所以概率为.26.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，14）如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 答案 26. 解析 26. 设被污损的数字为x(). 甲的平均分为，乙的平均分为，解得，所以x可以取3、4、5、6、7、8、9共7个数值，所以所求概率为.27.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，11）记集合和集合表示的平面区域分别为和，若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为 .答案 27.
17、解析 27. 平面区域的面积为，平面区域是由点O(0，0) 、A(2，0) 、B(0，2) 构成的三角形内部及其边界，其面积为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.28.(2014湖北八市高三下学期3月联考，13) 欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿己知铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为。lcm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴整体落在铜钱内）， 则油滴整体（油滴是直径为02cm的球）正好落入孔中的概率是 （不作近似计算）答案 28. 解析 28. 随机向铜钱上滴一滴油，且油滴整体落在铜钱内，则油滴在以圆面圆心为圆心，半径
18、为的圆内，即，若油滴整体正好落入孔中，则油滴在与正方形孔距离为正方形内，即，所求概率是.29.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 4) 在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是 答案 29. 解析 29. 由题意，设边上的高为，则，的概率.30. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，15) 设O为不等边的外接圆，内角，所对边的长分别为, , ，是所在平面内的一点，且满足（与不重合）， 为所在平面外一点，. 有下列命题：若，则点在平面上的射影恰在直线上；若，则； 若，则； 若，则在内部的概率为（、分别表示与圆的面积）.其中不正确的命题有 （写出所有不正确命题的序号）答案 30
19、. 解析 30. , ,，即是的平分线，在平面上的射影是的外心，是不等边三角形，点在平面上的射影恰在直线上不正确，故错误；，为弧的中点，是在平面上的射影，故正确；由于，则点在圆内，则为直径，若，则为的角平分线，且经过点，与是不等边三角形矛盾，故不正确；若，是的平分线，在内部的概率应该为长度的测度，故不正确.故不正确的为 .31. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，14) 已知，则的概率为 . 答案 31. 解析 31. 由，则，由几何概型公式，所求的概率.32.(2014广州高三调研测试, 11) 如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域在内随机取一点，则该
20、点落在中的概率为 答案 32. 解析 32. 依题意，正方形的面积，阴影部分的面积，故所求的概率为.33. (2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.()求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;()X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数.)答案 33.查看解析解析 33.()由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P=.()X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故X
21、的分布列为X123P从而E(X)=1+2+3=.34. (2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.()若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;()商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算
22、且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.答案 34.查看解析解析 34.()设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意,得P(X=60)=,即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)=,即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=200.5+600.5=40(元).()根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最
23、大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)=20+60+100=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2+(60-60)2+(100-
24、60)2=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)=40+60+80=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2+(60-60)2+(80-60)2=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.注:第()问,给出方案1或方案2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给3分;进一步比较方差,说明应选择方案2,再给2分.35.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，18）一个口袋中装有大小形状完全相同的个乒乓球，其中1个乒乓球上标有
25、数字1，2个乒乓球上标有数字2，其余个乒乓球上均标有数字3（）， 若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是.（1）求的值；（2）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之积，求的分布列和数学期望答案 35.查看解析解析 35. (1) 由题设，即，解得 4分(2) 取值为2，3,4, 6,9.的分布列为：23469=12分36.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，17）某企业招聘工作人员，设置、三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加组测试，丙、丁两人各自独立参加组测试已知甲、乙两人各
26、自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为戊参加组测试，组共有6道试题，戊会其中4题. 戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功.（）求戊竞聘成功的概率；（）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；（）记、组测试通过的总人数为，求的分布列和期望.答案 36.查看解析解析 36. (I) 设戊竞聘成功为A事件，则 3分（）设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数” 为B事件 6分（）可取0，1，2，3，401234P 12分37.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，18）前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜” ，某市成为本年度城市
27、最“幸福城”. 随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制” 随机调查“阳光” 社区人们的幸福度. 现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶) ：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”. 求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福” 的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多) 任选3人，记表示抽到“极幸福” 的人数，求的分布列及数学期望答案 37.查看解析解析 37.（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；2分（2）
28、设表示所取3人中有个人是“极幸福” ，至多有1人是“极幸福” 记为事件，则 ； 6分（3）的可能取值为0，1，2，3. ；. . 10分所以的分布列为：. . . 12分另解：的可能取值为0，1，2，3. 则，.所以=38. （本题满分12分）某英语学习小组共12名同学进行英语听力测试，随机抽取6名同学的测试成绩（单位：分），用茎叶图记录如下，其中茎为十位数，叶为个位数. （1）根据茎叶图计算样本均值；（2） 成绩高于样本均值的同学为优秀，根据茎叶图估计该小组12名同学中有几名优秀同学；（3）从该小组12名同学中任取2人，求仅有1人是来自随机抽取6人中优秀同学的概率.答案 38.查看解析解析 38.（1）由题意可知, 样本均值 . (3分)（2）样本中成绩高于样本均值的同学共有2名,可以估计该小组12名同学中优秀同学的人数为: . (7分)（3）从该小组12名同学中, 任取2人有种方法,而恰有1名优秀同学有所求的概率为: . (12分)20