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1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第十二章 概率与统计 随机事件及其概率 理（含2014试题）理数1.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，11,5分）某校共有学生1000名，其中高一年级有380人，高二年级男生有180人，已知在全校学生中制抽取1名，抽到高二年级的女生的概率为0.19，现采取分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在高三年级抽取的人数是.答案 1.25解析 1.由题意，高二年级的女生的人数为，故高二年级的学生数为；故高三年级的学生数为. 故应在高三年级抽取的人数是.2. (2014江西,21,14分)随机将1,2,2n(nN*,n2)这2n个连续正整数分成
2、A,B两组,每组n个数.A组最小数为a1,最大数为a2;B组最小数为b1,最大数为b2.记=a2-a1,=b2-b1.(1)当n=3时,求的分布列和数学期望;(2)令C表示事件“与的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C);(3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件,判断P(C)和P()的大小关系,并说明理由.答案 2.查看解析解析 2.(1)当n=3时,的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组,不同的分组方法共有=20种,所以的分布列为2345PE=2+3+4+5=.(2)和恰好相等的所有可能取值为n-1,n,n+1,2n-2.又和恰好相等且等于n-1时,不同的分组方
3、法有2种;和恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种;和恰好相等且等于n+k(k=1,2,n-2)(n3)时,不同的分组方法有2种,所以当n=2时,P(C)=,(3)由(2)知当n=2时,P()=,因此P(C)P(),而当n3时,P(C)P().理由如下:用数学归纳法来证明:1当n=3时,式左边=4(2+)=4(2+2)=16,式右边=20,所以式成立.那么,当n=m+1时,即当n=m+1时式也成立.综合1,2得,对于n3的所有正整数,都有P(C)P()成立.3. (2014湖北,20,12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一
4、年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.()求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;()水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?答案 3.查看解析解析 3.
5、()依题意,p1=P(40X120)=0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=+4=0.947 7.()记水电站年总利润为Y(单位:万元).(1)安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.(2)安装2台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,两台发电机运行,此时Y=5 0002=10 000,因此P(Y=
6、10 000)=P(X80)=p2+p3=0.8;由此得Y的分布列如下:Y4 20010 000P0.20.8所以,E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840.(3)安装3台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40X120时,三台发电机运行,此时Y=5 0003=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 62
7、0.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.4. (2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6()设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;()若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.答案 4.查看解析解析 4.()设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5
8、,P(B)=0.4,利润=产量市场价格-成本,X所有可能的取值为50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000,30010-1 000=2 000,3006-1 000=800.P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2,所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2()设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互
9、独立,由()知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=30.820.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.5.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，17）某企业招聘工作人员，设置、三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独
10、立参加组测试，丙、丁两人各自独立参加组测试已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为戊参加组测试，组共有6道试题，戊会其中4题. 戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功.（）求戊竞聘成功的概率；（）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；（）记、组测试通过的总人数为，求的分布列和期望.答案 5.查看解析解析 5. (I) 设戊竞聘成功为A事件，则 3分（）设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数” 为B事件 6分（）可取0，1，2，3，401234P 12分6. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 19) 某河流上的一座水利
11、发电站，每年六月份的发电量（单位：万千瓦时）与该河流上游在六月份的降雨量（单位：毫米）有关. 据统计，当时，；每增加10，增加5. 已知近20年的值为：140,110, 160,70, 200,160, 140,160, 220,200, 110,160, 160,200, 140,110, 160,220,140, 160. （）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率 （） 求近20年降雨量的中位数和平均降雨量; （）假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2014年六月份该水力发电站的发
12、电量不低于520（万千瓦时）的概率.答案 6.查看解析解析 6. 解析 （）由题意，当降雨量为110时，其频率为，当降雨量为140时，其频率为，当降雨量为200时，其频率为 . (2分) （）把20个数从小到大排列后，中间两个数都是160，故中位数是160 .平均降雨量. （6分) （）由已知可设 ，因为，时，所以，所以， (9分)当时, .所以，发电量不低于520（万千瓦时）包含降雨量200和220两类，它们彼此互斥 ，所以，发电量低于520（万千瓦时）的概率 . (12分) 法二：（“发电量不低于520万千瓦时” ），即 ，故今年六月份该水利发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率为.
13、 (12分7.（2013北京, 16,13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图. 空气质量指数小于100表示空气质量优良, 空气质量指数大于200表示空气重度污染. 某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市, 并停留2天.() 求此人到达当日空气重度污染的概率;() 设X是此人停留期间空气质量优良的天数, 求X的分布列与数学期望;() 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? (结论不要求证明)答案 7.设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市” (i=1,2, , 13).根据题意, P(Ai) =, 且AiAj=(ij).() 设B为事件“此人到达当日空气重
14、度污染”, 则B=A5A8. 所以P(B) =P(A5A8) =P(A5) +P(A8) =.() 由题意可知, X的所有可能取值为0,1, 2, 且P(X=1) =P(A3A6A7A11)=P(A3) +P(A6) +P(A7) +P(A11) =,P(X=2) =P(A1A2A12A13)=P(A1) +P(A2) +P(A12) +P(A13) =,P(X=0) =1-P(X=1) -P(X=2) =.所以X的分布列为X012P故X的期望EX=0+1+2=.() 从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.7.8.(2013课标，19,12分)经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内,
15、 每售出1 t该产品获利润500元, 未售出的产品, 每1 t亏损300元. 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如下图所示. 经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品, 以X(单位: t, 100X150) 表示下一个销售季度内的市场需求量, T(单位: 元) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.() 将T表示为X的函数;() 根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;() 在直方图的需求量分组中, 以各组的区间中点值代表该组的各个值, 并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如: 若需求量X100,110), 则取X=105, 且
16、X=105的概率等于需求量落入100,110) 的频率), 求T的数学期望.答案 8.() 当X100,130) 时, T=500X-300(130-X) =800X-39 000,当X130,150时, T=500130=65 000.所以T=() 由() 知利润T不少于57 000元当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7, 所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.() 依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以ET=45 0000.1+53 0000.2+61 000
17、0.3+65 0000.4=59 400.8.9.(2013课标, 19,12分)一批产品需要进行质量检验, 检验方案是: 先从这批产品中任取4件作检验, 这4件产品中优质品的件数记为n. 如果n=3, 再从这批产品中任取4件作检验, 若都为优质品, 则这批产品通过检验; 如果n=4, 再从这批产品中任取1件作检验, 若为优质品, 则这批产品通过检验; 其他情况下, 这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%, 即取出的每件产品是优质品的概率都为, 且各件产品是否为优质品相互独立.() 求这批产品通过检验的概率;() 已知每件产品的检验费用为100元, 且抽取的每件产品都需要检验,
18、 对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位: 元), 求X的分布列及数学期望.答案 9.() 设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1, 第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2, 第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1, 第二次取出的1件产品是优质品为事件B2, 这批产品通过检验为事件A, 依题意有A=(A1B1) (A2B2), 且A1B1与A2B2互斥, 所以P(A) =P(A1B1) +P(A2B2)=P(A1) P(B1|A1) +P(A2) P(B2|A2) =+=.() X可能的取值为400,500, 800, 并且P(X=400) =1-=, P(X=500) =, P(X=800) =.所以X的分布列为X400500800PEX=400+500+800=506.25.9.8