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1、大题每日一题规范练星期一(数列)2021年_月_日【题目1】 在Sn2bn1，4bnbn1(n2)，bnbn12(n2)这三个条件中任选一个，补充至横线上，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，请说明理由.已知数列an为等比数列，a1，a3a1a2，数列bn的首项b11，其前n项和为Sn，_，是否存在kN*，使得对任意nN*，anbnakbk恒成立？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解设等比数列an的公比为q(q0).因为a1，a3a1a2，所以q.故an.选择条件：不存在满足条件的k.理由如下：Sn2bn1，则Sn12bn11(n2)，两式相减并整理，得2(n2).因为b
2、11，所以bn是以1为首项，2为公比的等比数列，所以bn2n1.所以anbn2n1.由指数函数的性质知，数列anbn单调递增，没有最大值.所以不存在kN*，使得对任意nN*，anbnakbk恒成立.选择条件：存在满足条件的k.理由如下：由4bnbn1(n2)，b11，知数列bn是以1为首项，为公比的等比数列，所以bn.所以anbn(4).因为anbn(4)44，当且仅当n1时取得最大值，所以存在k1，使得对任意nN*，anbnakbk恒成立.选择条件：存在满足条件的k.理由如下：由bnbn12(n2)，知数列bn是以2为公差的等差数列.因为b11，所以bn2n1.设cnanbn(2n1)，则c
3、n1cn(2n1)(2n1).当n2时，cn1cn；当n3时，cn1cn.所以c1c2c4c5.所以存在k3，使得对任意nN*，anbnakbk恒成立.星期二(三角)2021年_月_日【题目2】 如图，在四边形ABCD中，ADB45，BAD105，AD，BC2，AC3.(1)求边AB的长及cosABC的值；(2)若记ABC，求sin的值.解(1)在ABD中，ABD180(45105)30，由正弦定理得AB.在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC；3232222cosABC，cosABC.(2)由(1)知cos ，sin ，sin 22sin cos ，cos 22cos21，si
4、nsin 2cos cos 2sin .星期三(立体几何)2021年_月_日【题目3】 如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD为矩形，AB2，BCSCSD2，BCSD.(1)求证：SC平面SAD.(2)设，求平面SEC与平面SBC所成的二面角的正弦值.(1)证明BCSD，BCCD，SDCDD，BC平面SDC，又ADBC，AD平面SDC，又SC平面SDC，所以SCAD.又在SDC中，SCSD2，DCAB2，故SC2SD2DC2，SCSD，又ADSDD，SC平面SAD.(2)解取CD的中点O，AB的中点G，连接OS，OG，SCSD2，SOCD，OGCD，由(1)知AD平面SCD，AD平面ABC
5、D，平面SCD平面ABCD，且平面SCD平面ABCDCD，SO平面SCD，SO平面ABCD，又OG平面ABCD，SOOG，故OG，OC，OS两两互相垂直，以点O为坐标原点，的方向分别为y轴，z轴，x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则S(0，0，)，C(0，0)，A(2，0)，B(2，0).设E(2，y，0)，y(y)，y，即E.(0，)，(2，0，0)，设平面SEC的法向量为n(x，y，z)，平面SBC的法向量为m(a，b，c)，则即不妨取n(2，3，3)，即不妨取m(0，1，1).设平面SEC与平面SBC所成二面角的平面角的大小为(0)，则cosm，n，所以sin .即所求二面角的
6、正弦值为.星期四(解析几何)2021年_月_日【题目4】 圆O的方程为x2y29，P为圆上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为D，点Q在PD上，且.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)过点F(，0)的直线与曲线C交于A，B两点，点M的坐标为(3，0)，MAB的面积为S，求S的最大值，及S取得最大值时直线AB的方程.解(1)设P(x0，y0)，则D(x0，0)，设Q(x，y)，则(0，y0)，(xx0，y).因为，所以把点P(x0，y0)代入圆的方程x2y29，得1.所以点Q的轨迹C的方程为1.(2)由题意易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为xty，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(
7、4t29)y28ty160，所以y1y2，y1y2.S(3)|y1y2|12(3)12(3).当且仅当t时取等号，所以MAB的面积S的最大值为，当S取得最大值时，直线AB的方程为2xy20或2xy20.星期五(概率与统计)2021年_月_日【题目5】 随着科技的发展，网购已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在某市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查，并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，得到如下所示的统计表.经常网购偶尔网购或不网购合计男性50100女性70100合计(1)完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为
8、该市市民的网购情况与性别有关.(2)现从所抽取的100位女性市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；将频率视为概率，从该市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差.附：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)完成列联表如下所示.经常网购偶尔网购或不网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表，得
9、K28.3336.635，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该市市民的网购情况与性别有关.(2)由题意知所抽取的10位女性市民中，经常网购的有107(人)，偶尔网购或不网购的有103(人)，选取的3人中至少有2人经常网购的概率p.由22列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为0.6，将频率视为概率，从该市所有参与调查的市民中任意抽取一人，抽到经常网购的市民的概率为0.6，由题意知XB(10，0.6).随机变量X的数学期望E(X)100.66，方差D(X)100.60.42.4.星期六(函数与导数)2021年_月_日【题目6】 已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；
10、(2)证明：当x1时，f(x)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1).(1)解f(x)x1，x(0，).由f(x)0得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明令F(x)f(x)(x1)，x(0，).则F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1满足题意.当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)1满足题意.当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则G(x)x1k.由G(x)0得，x2(1k)x10.解得x11.当x(1，x2)时，G(x)0.故G(x)在1，x2)内单调递增.从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)，综上，k的取值范围是(，1).