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1、第三章导数及其应用(时间：120分钟总分值：150分)第一卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1物体运动的方程为st33，那么t3时的瞬时速度为()A9B6C3D0解析：由st33，得st2，s|t3329.应选A.答案：A2如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是()A1 B1 C2 D2解析：由图知A(1,3)，B(3,1)，那么kAB1.由导数的定义及几何意义知，函数yf(x)在A，B两点的平均变化率是1.应选B.答案：B3函数f(x)2ln x8x，那么 的值为()A10 B10 C20
2、 D20解析： 2 2f(1)，又f(x)8，f(1)10，2f(1)20，即 20.应选D.答案：D4(2022鄱阳一中检测)曲线f(x)2xex在点(0，f(0)处的切线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：f(x)2ex，kf(0)2e01，又f(0)1，f(x)在(0，f(0)处的切线方程是y1x，即xy10，应选D.答案：D5(2022罗源月考)假设函数f(x)ex(cos xa)在区间上单调递减，那么实数a的取值范围是()A(，) B(1，)C1，) D，)解析：f(x)ex(cos xa)ex(sin x)ex(cos xsin xa)，f(x)在上单调递减
3、，cos xsin xa0在上恒成立，即acos xsin x在上恒成立cos xsin xcos1，a，应选D.答案：D6函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，那么实数a的取值范围是()A(，)(，)B(，)C(，)D，解析：f(x)3x22ax1，f(x)在(，)上是单调函数，f(x)0或f(x)0恒成立，4a2120，a，应选D.答案：D7曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x3Cyx Dy1解析：y，kyx12，在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.答案：A8设函数yxsin xcos x的图象上点P(t，f(t)处的切线斜率为k，那么函
4、数kg(t)的大致图象为()解析：ysin xxcos xsin xxcos x，kg(t)tcos t，g(t)tcos(t)tcos tg(t)，g(t)是奇函数，排除A、C；当x时，g(t)0，排除D，应选B.答案：B9函数f (x)的导数为f(x)3x22x，且图象过点(1,2)，那么函数f(x)的极大值为()A0 B2 C1 D解析：函数f (x)的导数为f(x)3x22x，f(x)x3x2c.图象过点(1,2)，11c2，c2，f(x)x3x22，令f(x)3x22x0，可得x0或x；令f(x)3x22x0，可得0x，函数的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为 .当x0时，函数f
5、(x)取得极大值为f(0)2.应选B.答案：B10假设函数f(x)的导函数f(x)的图象如下图，那么以下说法正确的选项是()Ax1是f(x)的一个极值点Bx1和x3都是f(x)的极值点Cx2和x3都是f(x)的极值点Dx1，x2，x3都不是f(x)的极值点解析：由f(x)的图象可知，当xx1时，f(x)x1时，f(x)0，f(x)是增函数，x1是f(x)的一个极值点，应选A.答案：A11设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)解析：令g(x)
6、，那么g(x)为偶函数g(x)，由题意得，当x0时，g(x)0，g(x)为减函数，同理g(x)在x0时，由f(x)0，知g(x)0，0x1，当x0，知g(x)0，x0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，应选A.答案：A12(2022吉林舒兰月考)定义在(0，)上的单调递减函数f(x)，假设f(x)的导函数存在且满足x，那么以下不等式成立的是()A3f(2)2f(3) B3f(4)4f(3)C2f(3)3f(4) Df(2)2f(1)解析：令g(x)，那么g(x)，f(x)在(0，)上是单调递减函数，f(x)x，0，f(x)xf(x)0，g(x)在(0，)上是递增函数，g(2)g(3)，即，
7、即3f(2)0，即4b24(b2)0，b2或b1，b的取值范围是(，1)(2，)答案：(，1)(2，)16假设函数f(x)的定义域为R，那么实数m的取值范围是_解析：函数f(x)的定义域为R，那么exxm0无解，令g(x)exxm，g(x)ex1，当x0时，g(x)0时，g(x)0，g(x)在x0处有最小值，g(0)1m，当x时，exxm，当x时，exxm，假设g(x)0无解，只需1m0，m1.答案：(1，)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)(2022吉林五十五中月考)函数f(x)x2(x1)(1)求函数f(x)的单调区间；(2
8、)求f(x)在区间1,2上的最大值和最小值解：(1)f(x)x2(x1)x3x2，f(x)3x22x.由f(x)0，解得x；由f(x)0，解得0x0，解得x或x3，那么f(x)在，和(，3)上单调递增；令f(x)0，解得3x0，得m26m50，解得m5或00，求证：f(x)2.解：(1)假设a，那么f(x)ln xx，g(x)xf(x)xln xx2(x0)，g(x)ln x1x.令h(x)g(x)ln x1x，h(x)1，当0x0，h(x)单调递增，当x1时，h(x)0，当0x0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，f(x)maxfln1.要证f(x)2，只需证f(x)m
9、ax2，即证ln12，即证ln10，由(1)中h(x)ln x1x0恒成立，可知ln10，f(x)2成立20(12分)某工厂生产x件产品的本钱为C25 000200xx2(元)问：(1)要使平均本钱最低，应生产多少件产品？(2)假设产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均本钱为y，那么y200，y，令y0，得x1 000.当x1 000时，y1 000时，y0，此时单调递增，当x1 000时，y取得极小值，也是最小值因此，要使平均本钱最低，应生产1 000件产品(2)设利润为L(x)，那么L(x)500x25 000200x300x25 000，L(x)300.
10、令L(x)0，得x6 000.当x0，此时L(x)单调递增；当x6 000时，L(x)0，此时L(x)单调递减当x6 000时，L(x)取得极大值，也是最大值因此，要使利润最大，应生产6 000件产品21(12分)假设函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式，并求其在点(1，f(1)处的切线方程；(2)假设方程f(x)k有3个不同的根，求实数k的取值范围解：(1)f(x)3ax2b，由题意得解得故所求函数的解析式为f(x)x34x4，f(x)x24，f(1)3，f(1)，yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3(x1)，即9x3y100.(2)
11、由(1)可得f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数f(x)x34x4的图象大致如下图假设f(x)k有3个不同的根，那么直线yk与函数f(x)的图象有3个交点，所以k.即实数k的取值范围为.22(12分)(2022三明期末)函数f(x)ax2ln x(aR)(1)讨论f(x)的单调区间；(2)假设f(x)2x恒成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax，当a0时，f(x)0时，令f(x)0得x；令f(x)0得0x0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)因为f(x)2x，即ax2ln x2x.所以a.设g(x)，那么g(x)，显然h(x)2ln x2x2在(0，)上是减函数，且h(1)0，所以当x(0,1)时，g(x)0，g(x)是增函数；当x(1，)时，g(x)0，g(x)是减函数所以g(x)的最大值为g(1).所以a.故实数a的取值范围为.