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1、高中数学联赛培训讲义宁波滨海学校 高建彪全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。 第一讲 集合、函数、方程例1.集合x|1log10，1xN的真子集个数为 。(96年全国高中联赛)【分析】先求出所给集合的元素个数，那么真子集的个数为21【解】【小结】运用对数运算法则和解不等式，掌握集合、真子集、换底、同底法、分数性质。练习.已知集合Ay|2y1，b1，且lg(ab)lgalgb，则lg(a1)lg(b1)的值 。 (98年) A.等于lg2 B.等于1 C.等于0 D.不是与a、b无关的常数设
2、f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：f(10x)f(10x),f（20x）f(20x)，则f(x)是 。 (92年) A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数 C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数例3.设x与y为实数，满足(x1)1997(x1)1，(y1)1997(y1)1，则xy 。 （97年全国高中联赛）【分析】构造函数f(t)t1997t，将两等式变成函数值，再利用函数性质。【解】【小结】巧妙地构造函数，利用函数的奇偶性、单调性；简单的函数方程。练习已知方程|x2n|k （nN）在区间(2n1，2n1)上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
3、。 (95年) A. k0 B. 0k C. k D.以上都不正确用x表示不大于实数x的最大整数。方程lgxlgx20的实根个数是 。 (95年)设函数yf(x)对一切实数x都满足f(3x)f(3x)，且方程f(x)0恰有6个不同的根，则这6个实根的和为 。 （91年）第二讲 三角变换、三角不等式例1.设x(,0)，以下三数acos(sinx)、bsin(cosx)、ccos(x1)的大小关系是 (96年全国高中联赛) A. cba B. acb C. cab D. bca【分析】先判别符号，再比较同符号的几个。【解】【小结】比大小，可以先与0、1比较，先后利用函数单调性、比较法等。也可特值法
4、。练习.已知0b1，0a，则下列三数x(sin)、y(cos)、z(sin)的从小到大排列为 。 （94年）.设(,)，则(cos)、 (sin)、 (cos)从小到大的排列为 。 （90年）.四个数logcos1、logtg1、logsin1、logtg1从小到大的排列为 。 （95年）例2. 在ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若ca等于AC边上的高h,则sincos的值等于 。 (9年全国高中联赛)【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，通过三角变换解决问题。【解】【小结】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角变换。练习. cos10cos50sin40sin80
5、 。 （91年）.在ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，已知三内角成等差数列，且ca等于AC边上的高h,则sin的值等于 。 （91年）. 在ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c (b1)，且、都是方程logxlog(4x4)的根，则ABC 。 （92年） A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形例3.设xyz，且xyz，求cosxsinycosz的最大值和最小值。(97年)【解】【小结】积化和差；放缩法。练习.已知00都成立的充要条件是 。 (94年)A. a与b同时为0，且c
6、0 B. c C. c.已知x、y,，aR，且，则cos(x2y) 。（提示：构造函数法） （94年）第三讲 数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列a首项a1536,公比q。用表示它的前n项之积，则（nN）最大是 。 A. B. C. D. (96年全国高中联赛)【分析】先求出的表达式，再讨论该式的最大值问题。【解】【小结】等比数列的通项公式、函数最值问题、分类讨论法。练习.设xy，且两数列x，a，a，a，y和b，x，b，b，y，b均为等差数列，那么 。 （88年）. 设x,y,z是实数，3x、4y、5z成等比数列，且、成等差数列，则的值是 。 （92年）.设等差数列a满足3a5a，且a0，
7、S为前n项之和。则S (nN)中最大的是 。 A. S B. S C. S D. S (95年)例2.已知数列a满足3aa4 (n1)，且a9，其前n项之和为S，则满足不等式|Sn6|的最小整数n是 。 （94年全国高中联赛）【分析】先求S【解】【小结】构造法。数列前n项和公式。练习.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项的和为97,则这样的数列共有 。 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 (97年).对于每个自然数n，抛物线y(nn)x(2n1)x1与x轴交于A、B两点，以|AB|表示该两点间距离，则|AB|AB|AB| 。 (92年).一个正数，若其小数部分、
8、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。(89年)例3.设正数列a，a，a，a， 满足2a （n2），且aa1，求a/ a的值。【分析】将已知的代数式进行变形，构造一个新的数列使问题简化。【解】【小结】构造法。练习.将正奇数集合1,3,5,由小到大按第n组有(2n1)个奇数进行分组：第一组1、第二组3,5,7、第三组9,11,13,15,17、。则1991位于第 组中。 （91年）. 已知数列x满足xxx (n2)，xa，xb，记Sxxx。则下列结论正确的是 。 （97年） A. xa， S2ba B. xb， S2ba C. xb， Sba B. xa， Sba .已知集合Mx,xy,lg(
9、xy)，N0,|x|,y，并且MN，那么(x)（x）（x）（x）的值等于 。 （87年）第三讲 数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列a (96年全国高中联赛)【分析】【解】【小结】练习.例2.【分析】【解】【小结】练习. . 例3.【解】【小结】练习.第三讲 数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列a (96年全国高中联赛)【分析】【解】【小结】练习.例2.【分析】【解】【小结】练习. . 例3.【解】【小结】练习.2001年全国高中数学联合竞赛试题第一试(2001年10月14日 8:009:40)一、选择题(每小题6分，满分36分)1. 已知a为给定的实数，那么集合Mx|x23xa220
10、，xR的子集的个数为( )A.1B.2C.4D.不确定2. 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2 长方体中，必存在到各棱离相等的点；命题1 长方体中，必存在到各面离相等的点；以上三个命题中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个3. 在四个函数ysin|x|，ycos|x|，y|ctgx|，ylg|sinx|中以为周期、在(0，)上单调递增的偶函数是( )A.ysin|x|B.ycos|x|C.y|ctgx|D.ylg|sinx|4. 如果满足ABC60，AC12，BCk的ABC恰有一个，那么k的取值范围是( )A.k8B.0k12C.k12 D. 0k12或k85. 若
11、(1xx2)1000的展开式为a0a1xa2x2a2000x2000，则a0a3a6a9a1998的值为( )A.3333B.3666C.3999D.320016. 已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，二4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )A.2枝玫瑰花价格高B.3枝康乃馨价格高C.价格相同D.不确定二、填空题(每小题9分，满分54分)7. 椭圆的短轴长等于_.8. 若复数z1，z2满足|z1|2，|z2|3，3z12z2i，则z1z2_.9. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是_.1
12、0. 不等式的解集为_.ABCDEF11. 函数yx的值域为_.12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一块种种植一种植物，相邻的两块种植不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案.三、解答题(每小题20分，满分60分)13. 设an为等差数列，bn为等比数列，且b1a12， b2a22， b3a32(a1a2)，又 (b1b2bn)1，试求an的首项与公差.14. 设曲线C1：1(a为正常数)与C2：y22(xm)在x轴上方仅有一个公共点P(1)求实数m的取值范围(用a表示)(2)O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a时，试求OAP的面积的最大值(用a表示)15. 用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6(a1a2a3a4a5a6)的电阻组装成一个如图的组件，组装中应该如何选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小?证明你的结论.