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1、一、知识点汇总（一）三角形部分1. 三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形 ABC 用符号表示为ABC.三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用 c 表示, 顶点 B 所对的边 AC 可用 b 表示,顶点 A 所对的边 BC 可用 a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）ABC 是三角形 ABC 的符号标记，单独的没有意义2、（1）三角形按边分类：底边和腰不相等的等腰三角形
2、等腰三角形三角形等边三角形不等边三角形（2）三角形按角分类：直角三角形三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形3、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。注意： （1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边4、和三角形有关的线段：（1）三角形的中线A三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法：1、AD 是ABC 的 BC 上的中线.2、BD=DC=0.5BC.3、AD 是DABC 的中线；注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；BDC2 1三角形三条中线交于三角形内部一点；A中线把三角形分成
3、两个面积相等的三角形（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。 BDC表示法：1、AD 是ABC 的BAC 的平分线.2、1=2=0.5BAC.3、AD 平分BAC，交 BC 于 D注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形三条角平分线交于三角形内部一点；A（3）三角形的高三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,表示法：1、AD 是ABC 的 BC 上的高。 2、ADBC 于 D。3、ADB=ADC=90。4、AD 是ABC 的高。BDC注意：三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线
4、段，垂线是直线。锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两 条高在三角形外；三角形三条高所在直线交于一点（而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。）4、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于 180 推论：直角三角形的两个锐角互余。5、三角形内角外角的关系：(1)三角形三个内角的和等于 180;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.6、三角形的外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角
5、，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:ACD、BCE 都是ABC 的外角，且ACD=BCE， 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.7. 三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和 A（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；M1 2（2）作 CMAB 由于 B、C、D 共线 BCDA=1，B=2.即 ACD=1+2=A+B. 那么ACDA.ACDB。8、（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形的内
6、角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）180多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 多边形的外角和：多边形的内角和为 360。多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 多边形对角线的条数：（1）从 n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。n(n - 3)（2）n 边形共有条对角线。2（2）正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。9、三角
7、形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性。（3）多边形没有稳定性。二、题型解析1. 三角形内角和定理的应用例 1. 如图已知 DABC 中， BAC = 90 ，ADBC 于 D，E 是 AD 上一点。求证： BED C证明：由 ADBC 于 D，可得CADABC 又ABD = ABE + EBD则 ABD EBD可证 CAD EBD即 BED C说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于 180间接求得。例 2. 锐角三角形 ABC 中，C2B，则B 的范围是（）A. 10o B
8、 20o B. 20o B 30oC. 30o B 45oD. 45o B 60o分析： 因为V ABC 为锐角三角形，所以0o B 90o又C2B，0o 2B 90o0o B 90o3B 90o ,即B 30o30o B AC ，AM 是 BC 边的中线。求证： AM 1 ( AB - AC)2证明：延长 AM 到 D，使 MDAM，连接 BD在 DCMA 和 DBMD 中， AM = DM，AMC = DMB，CM = BM DCMA DBMD BD = AC 在 DABD 中， AB - BD AB - AC ，然后通过倍长中线的方法，相当于将 DAMC 绕点旋转 180构成旋转型的全等
9、三角形，把 AC、AB、2AM AB - AC 1 (AB - AC )解：三角形的一个外角等于 160 另两个外角的和等于 200转化到同一三角形中， 利用三角形三边不等关系， 达到解决问题的目的。很自然有1 ( AB - AC) AM 1因为12，所以BAC2 又因为2 是 DBCD 的外角，所以2B，问题得证。答：BACBCD 平分ACE，12 BAC1，BAC22B，BACB4，证明：省略又 ABAC DABN DCADQ 1 + BAE = 2 + BAE = 905. 证明一：过点 C 作 CFAC 交 AD 的延长线于 F 1 = 2又BACACF90 ACAB证明二：过点 A
10、作 AN 平分BAC 交 BM 于 NQ 2 + BAE = 3 + BAE = 90又 AN 平分BAC 1 = C = 45 2 = 3A1 2 MB3 N EDC AN = CD又 NAM = C = 45AMCM DNAM DDCM AMB = CMD说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线 段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。（二）一元一次不等式一、知识点汇总考点 1、一元一次不等式的定义及其解法1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。2.解一元一次不等式的步骤：（
11、1）去分母（根据不等式性质 2 或 3）（2）去括号（根据整式运算法则）（3）移项（根据不等式性质 1）（4）合并同类项（根据合并同类项法则）（5）系数化为 1（根据不等式性质 2 或 3）提示：1.不等式的解集一般是一个取值范围，但有时候需要求不等式的某些特殊解，如整数 解，非负整数解，最大整数解等，解答这些问题的关键是明确解的特征2.解不等式中的移项与解方程中的移项相同，要注意改变所移项的符号，但不等号方向不变；3.系数化为 1 时，特别注意不等号方向是否需要改变；4.解不等式时，有些步骤可能用不到，根据不等式的形式灵活选择解题步骤。 考点 2、一元一次不等式的应用步骤：审：审题，分析题中
12、已知什么，求什么； 设：设出适当的未知数；找：找出题中的不等关系，抓住题中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“至 多”“至少”“不超过”等；解：解出所列的不等式；答：检验所得结果是否符合问题的实际意义，写出答案。提示：1.审题是解决问题的基础，根据不等式关系列出不等式是解题关键；2.在设未知数时，不可出现“至少”“至多”“不超过”等范围的字眼，因为未知数就是一 个分界点，不是范围。二、习题分析例 1下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A2x -1 0 ；B1 5例 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（）1A.5+48B.2x1C.2x5D.x3x - 53x0例 3.解不等式 2 -
13、x -，并把它的解集在数轴上表示出来。4例 4.某城市平均每天产生垃圾 700 吨，由甲，乙两个垃圾处理厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾 55 吨，需费用 550 元，乙厂每小时可处理垃圾 45 吨，需费用 495 元。（1）甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要几小时完成？（2）如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过 7370 元，则甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？例 5、求不等式42 -x -（5 2x + 4） 0的正整数解。例题答案：1、解： 一元一次不等式必须是含有一个未知数，未知数的次数是 1。B 是不等式，C 是二元的，D 的未知数次数是 2.故选 A。2、解： ，A 选
14、项没有未知数，B 选项不是不等式，C 选项正确，D 选项不等式的左边不是整式，是分式，未知数的次数不是 1。故选 C。3、解：去分母，得 4（2-x）-(3x-5) 去括号，得 8-4x-3x+5 移项，得-4x+3x5-8 合并同类项，得-x-3不等式的解集在数轴上表示为：略4、解：（1）700（45+55）= 7答：两厂同时处理，每天需要 7 小时。（2）设甲厂每天处理垃圾 x 吨，则乙厂每天处理垃圾（700-x）吨，根据题意，得x 550+55700 - x45495 7370解得： x 330,33055 = 6答：甲厂每天处理垃圾至少需要 6 小时。注：设未知数时要将“最多”“不少于
15、”等这些不确定的词语去掉，求出的不等式的解集就是应用题的解，应用题的要根据实际情况取舍。5、解：去分母，得 84-x-10(x+4) 0 去括号，得84 - x -10x - 40 0移项，得- x -10x 40 - 84 合并同类项，得-11x - 44系数化为 1，得 x 4 ，不大于 4 的正整数有 1，2，3，4，所以，不等式的正整数解为 1，2，3，4.【解析】求不等式的特殊解时，需先求出不等式的解集，再在解集中找出符合条件的特殊解。1、在数轴上从左至右的三个数为 a，1a，a，则 a 的取值范围是（）A、a12B、a0C、a01D、a22、不等式组x +1 0，的解集在数轴上表示
16、为（2x + 3 1， x 4 ， x -1，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是 2 的不等式组是（）A、与B、与C、与D、与5、方程组 4x + 3m = 28x - 3 y = m的解 x、y 满足 xy，则 m 的取值范围是（）A. m 910B. m 109C. m 1910D. m 10196、不等式组x - 3 0的解集是 x +1 0三、练习题：2x - 0.57、不等式组 -3x- 2.5x - 2 的解集是 . x 2m - 1无解，则 m 的取值范围是 9、若不等式组 x - 2b 3 的解集为1x1，那么（a1）（b1）的值等于 .10、若不等式组 x + a - 5
17、 0 无解，则 a 的取值范围是 .11、解不等式组 1+ 3x把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解 2x -1.212、求同时满足不等式 6x23x4 和2x +11 - 2x3-2 1的整数 x 的值.13、若关于 x、y 的二元一次方程组x - y = m - 5中，x 的值为负数，y 的值为正数，求 m 的取值范围.x + y = 3m + 314、一人 10 点 10 分离家去赶 11 点整的火车，已知他家离车站 10 千米，他离家后先以 3千米/小时的速度走了 5 分钟，然后乘公共汽车去车站，问公共汽车每小时至少走多少千米才能不误当次火车？练习题答案：x - 3 (2x -1
18、) 4211、D 2、C 3、A 4、D5、D 6、1x3 7、4x48、m29、6 10、a111、2，1，0，1 12、不等式组的解集是 2 x 0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b 0 直线经过第一、二、三象限b 0k 0k 0 直线经过第一、三、四象限b 0k 0 直线经过第二、三、四象限b 0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b 0k
19、0b 0b 0b0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大k0 时，向上平移；当 b0 时，直线经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；（从左向右上升）k0 时，将直线y=kx 的图象向上平移 b 个单位；b0 时，将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位.6、直线 y = k1 x + b1 （ k1 0 ）与 y = k2 x + b2 （ k2 0 ）的位置关系（1）两直线平行 k1 = k2 且b1 b2（3）两直线重合 k1 = k2 且b1 = b2（2）两直线相交 k1 k2（4）两直线垂直 k1k2 = -17
20、、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.二、练习题：1当-1x2 时，函数 y=ax+6 满足 y10，则常数 a 的取值范围是（）（A）-4a0（B）0a2（C）-4a2 且 a0（D）-4a0， k gb = - | q | kb0，k gb 0k 0一次函数 y=kx+b 中，y 随 x 的增大而减小 k 0 一次函数的图像一定经过一、二、四象限，选 A5y=x-6提示：设所求一次函数的解析式为 y=kx+b直线 y=kx+b 与 y=x+1 平行，k=1，y=x+b将 P（8，2）代入，得 2=8+b，b=-6，所求解析式为 y=x-62x = 9 , y =x,6解方程组3得893两函数的交点坐标为（，），在第一象限384 y = -2x + 3,7y=2x+7 或 y=-2x+38 y =,