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1、2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（时间：2008年4月20日上午8：0010：00）一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m，n，x，y满足，其中a，b为常数，那么mx+ny 的最大值为 A. B. C. D. 120.512. 设为指数函数. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，四点中，函数与其反函数的图像的公共点只可能是点 A. P B. Q C. M D. N3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么的值为 答： A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那
2、么 A. 与都是锐角三角形B. 是锐角三角形，是钝角三角形C. 是钝角三角形，是锐角三角形D. 与都是钝角三角形5. 设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“，且”的平面， A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则_. 7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是_(结果要求写成既约分数）.8. 已知点O在内部，.的面积之比为_.9. 与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为_.10. 在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 =_.
3、三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数在时有最大值1，并且时，的取值范围为. 试求m，n的值.12. A、B为双曲线上的两个动点，满足。 （）求证：为定值； （）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上.13. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平面N内. 已知，且， 都是锐角. 求二面角的平面角的余弦值（用，的三角函数值表示）.14. 能否将下列数组中的数填入33的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明. （）2
4、,4,6,8,12,18,24,36,48；（）2,4,6,8,12,18,24,36,72.2008年江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1.答：B 解 由柯西不等式；或三角换元即可得到，当，时，. 选B.2.答：D解 取，把坐标代入检验，而，公共点只可能是 点N. 选D.3.答：A解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的，则. 选A.4. 答：B 解 两个三角形的内角不能有直角；的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若是锐角三角形，则不妨设cos=sin=cos， cos=sin=cos，cos=sin=cos.则
5、，即 ，矛盾. 选B.5.答： D解 任作a的平面，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作的垂线. b与垂线确定的平面垂直于. 选D.二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 解 ，的值可取.当x=，则无解； 当x=，则，x=；当x=0，则无解； 当x=1，则，. 所以.7. 解 考虑对立事件，.8. 解 由图，与的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.9. 解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为，或.10. 解 切割化弦，已知等式即， 亦即，即=1，即. 所以，故.三、解答题（本题满分70分，各
6、小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 解 由题 ， 5分 ，即，上单调减， 且. 10分 ，n是方程的两个解，方程即=0， 解方程，得解为1，.，. 15分12. 证 （）设点A的坐标为，B的坐标为，则，A在双曲线上，则.所以. 5分 由得，所以，. 同理，所以. 10分 （）由三角形面积公式，得，所以 ，即. 即. 于是，. 即P在以O为圆心、为半径的定圆上. 15分13.解 在平面M中，过A作DA的垂线，交射线DB于B点；在平面N中，过A作DA的垂线，交射线DC于C点.设DA=1，则，5分 并且就是二面角平面角. 10分在中，利用余弦定理，可得等式，所以，36224812186724=，15分故得到. 20分14. 解（）不能. 5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是24681218243648=21+2+1+3+2+1+3+2+43=21938不是立方数，故不能.（）可以. 15分如右表表中每行、每列及对角线的积都是2623. 20分