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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数复习主要学问点一、函数的概念与表示1、 映射（1）映射：设 A 、B 是两个集合,假如根据某种映射法就 f,对于集合 A 中的任一个元素,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,就这样的对应（包括集合 A、B 以及 A 到 B的对应法就 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f：AB；留意点：（ 1）对映射定义的懂得； （2）判定一个对应是映射的方法；一对多不是映射,多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 定义域对应法就值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中,相同的是（）,gx 2lgxB、A、fxlgx
2、2fxlgx1,gxlgx1 lgx1 x1x2vD、 f（x）=x,fx C、f u1u,gv11u1vM其中能表示从集合2、Mx|0x2 ,Ny|0y3 给出以下四个图形,到集合N的函数关系的有（）、 2 个 D、3个y A、 0 个 B、 1 个 Cy y y 3 2 1 2 x 2 1 2 x 2 1 2 x 2 1 2 x 1 1 1 1 O O O O 二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必需大于零；名师归纳总结 （4）指数函数和对数函数的底数必需大于零且不等于1；第
3、1 页,共 12 页6.（05 江苏卷）函数ylog0.54x23 x 的定义域为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 求函数定义域的两个难点问题（1）已知 f x 的定义域是 -2,5,求f2x+3 的定义域；（2）已知 f 2 x 的定义域是 -1,3,求f 的定义域例 2 设f x flg2x,就fx 2f2的定义域为 _ 2xx变式练习：2x 4x2,求fx的定义域；三、函数的值域1 求函数值域的方法直接法：从自变量x 的范畴动身,推出y=fx的取值范畴,适合于简洁的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式
4、；判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范畴；适合分母为二次且xR 的分式；分别常数：适合分子分母皆为一次式（单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数x 有范畴限制时要画图） ；几何意义法：由数形结合,转化距离等求值域；主要是含肯定值函数1（直接法）y11x22x32f x 2y242 xx2x2x3（换元法）4. （ 法）3xyx24名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. yx21x216. 分 离 常 数 法 yxx1y3x1 2 1xx4 1,32x7
5、. 单调性 y3 2 xx8. yx11x1,yx1x1 结合分子 / 分母有理化的数学方法 9 图象法 y32xx2 1x210对号函数 y2x8x4x11. 几何意义 yx2x1四 函数的奇偶性1定义 :设 y=fx ,xA,假如对于任意x A,都有fx f x ,就称 y=fx 为偶函数；名师归纳总结 假如对于任意x A,都有fx f x ,就称 y=fx 为奇第 3 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数；2.性质 ：y=fx 的图象关于y 轴对称 ,y=fx 是奇函数y=fx 的图象关于y=fx 是偶函数原点对称 , 如函数
6、fx 的定义域关于原点对称,就 f0=0 奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇两函数的定义域 D1 ,D2,D1D2要关于原点对称 3奇偶性的判定看定义域是否关于原点对称看 fx与 f-x的关系x,0时 ,1 已 知 函 数f x 是 定 义 在,上 的 偶 函 数 . 当fxxx4,就当x,0时,fx. 2 已知定义域为R 的函数f x 2x 2b是奇函数；x1a（）求a b 的值；R ,不等式f t22 f2 t2k0恒成立,求 k 的取值范（）如对任意的t围；3 已知fx在（ 1,1）上有定义,且满意x ,y1,1 有fxfyfxy,1xy名师归纳总结 证明：fx在（ 1,1
7、）上为奇函数；第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 如 奇 函 数fxxR 满 足f21,fx2fxf2, 就f5 _ 五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设yfgx是定义在 M 上的函数,如fx 与 gx的单调性相反,就yfgx在 Mx0上是减函数；如fx 与 gx的单调性相同,就yfgx在 M 上是增函数；1 判定函数fx x3xR 的单调性；2 例 函数fx对任意的m,nR,都有fmn fm fn1,并且当时,fx1,2_ 求证：f x 在 R 上是增函数；如f3 4,解不等式f a2a5 3 函数ylog.016x
8、2x2的单调增区间是名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 高考真题 已知f x 3 a1 x4 , a x1是 , 上的减函数, 那么 a 的取logax x1值范畴是（）0,1（C）1 1 , 7 3（ D）1 7,1（A） 0,1（ B）3六函数的周期性：1（定义 ）如fxfTfxT0ffx是周期函数, T 是它的一个周期；说明： nT 也是x的周期b,就 x 是周期函数,ba是它的一个周期（ 推广 ）如fxafx对比记忆2如f xaf xa 说明：f axf ax 说明：fxafx；fxaf1；fxaf1；就
9、fx周期是 2axx1 已知定义在R 上的奇函数fx满意 fx+2 =fx,就,f6的值为A 1 B 0 C 1 D2 2 定义在 R 上的偶函数f x ,满意f2xf2x ,在区间 -2,0上单调递减,设af 1.5,bf2,cf5,就a b c 的大小次序为 _ 3 已知 f x是定义在实数集上的函数,且fx21fx,如f1 23 ,就1fx f 2005= . 4 已知fx是-,上的奇函数,f2xfx,当 0x1 时, fx=x ,就 f7.5=_ 名师归纳总结 例 11 设f x 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满意f2x fx,第 6 页,共 12 页- - - - -
10、- -精选学习资料 - - - - - - - - - 当x0 ,2 时fx 2xx2求证：fx是周期函数；当x2 ,4 时,求fx的解析式；运算：七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解 2 换 3 写定义域；1,1,就3、关于反函数的性质（ 1）y=fx 和 y=f-1x 的图象关于直线y=x 对称；（ 2）y=fx 和 y=f-1x 具有相同的单调性；（ 3）已知 y=fx ,求 f-1a,可利用 fx=a,从中求出x,即是 f-1a；（ 4）f-1fx=x; （ 5）如点a,b在 y=fx 的图象上,就b,a在
11、y=f-1x 的图象上；（ 6）y=fx 的图象与其反函数y=f-1x的图象的交点肯定在直线y=x 上 ; 1 设函数yf x 的反函数为yf1 x ,且yf2x1的图像过点2yf1 x 的图像必过（A）1 2,1（B）1 1, 2（C） 1,0（D） 0,1八二次函数 涉及二次函数问题必画图分析 名师归纳总结 b1二次函数fx=ax2+bx+ca 0的图象是一条抛物线,对称轴x2b,顶点坐标第 7 页,共 12 页a,4acab22a4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程2 axbxc0 a0 的根为二次函数fx
12、=ax2+bx+ca 0y0的x的取值；一元二次不等式ax2bxc0 0 的解集 a0 情形一元二次不等式解集二次函数Y=ax2+bx+c a0 =b2-4ac ax2+bx+c0 ax2+bx+c0 a0 0 xxx 1 或xx 2xx 1xx 2图象 =0 xx0x与解 0 , a 1互为反函数名师归纳总结 名称Y=a指数函数对数函数第 9 页,共 12 页一般形x a0 且 a 1 y=log ax a0 , a 1 式定义域-,+ 0,+ 值域0,+ -,+ - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 过定点（, 1）指数函数 y=a x 与对数函数（1
13、,）y=log ax a0 , a 1图象关于 y=x 对称图象单调性a 1,在-,+ 上为增函数a1,在0,+ 上为增函数 a1, 在-,+ 上为减函数 a1 . y0. y0. 2. 比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,第一要分清底数相同仍是指数相同, 假如底数相同,可利用指数函数的单调性；象关系（对数式比较大小同理）记住以下特别值为底数的函数图象：指数相同, 可以利用指数函数的底数与图3、 争论指数,对数函数问题,尽量化为同底,并留意对数问题中的定义域限制 4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复 合问题,争论复合函数的单调性是解决问题的重要
14、途径；1、（1）ylgxlg53 x 的定义域为 _；1（2）y2x3的值域为 _；_,值域为_（3）ylgx2x 的递增区间为_1x10,就x_恒成立；求 a的取值范畴；2、（1）log2423、要使函数y12x4xa在x1,上y04.如 a2x+1 2ax1 0（ a0 且 a 1）,求 y=2a 2x32ax+4 的值域 . 十函数的图象变换名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）1、平移变换：（左 + 右- ,上 + 下- ）即yfxh0,右移;h0,左移yfxhfxfxyfxk0,下移;k0,上移yfx
15、）k对称变换：（对称谁,谁不变,对称原点都要变）yfxx轴yfxyfxy轴yfxyyfx原点yfxyyfxyxyf1xyfxy轴右边不变,左边为右边部分的对称图yfx保留x轴上方图,将x轴下方图上翻1fx的图象过点 0,1 ,就 f4-x的反函数的图象过点（A.3,0 B.0,3 C.4,1 D.1,4 2作出以下函数的简图：（1）y=|logx 2|；（2）y=|2x-1|；（3）y=2|x|；十函数的其他性质1函数的单调性通常也可以以以下形式表达：名师归纳总结 f x 1f x 20单调递增第 11 页,共 12 页x 1x 2f x 1f x 20单调递减x 1x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：f x fx0奇函数偶函数f x fx03函数的凸凹性：名师归纳总结 fx 12x2f x 12f x 2凹函数（图象“ 下凹”,如：指数函数）第 12 页,共 12 页fx 12x2f x 12f x 2凸函数（图象“ 上凸”,如：对数函数）- - - - - - -