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1、1 饮酒驾车模型摘要由代谢量与喝入的酒量成正比, 吸收量与胃中残留的酒量成正比原理, 得到满足初值条件的微分方程组：( )101()()(0)0kxxkxx为 常 数，() 22()(0)0ykk yy为 常 数运用非线性规划方法得到一组优化解; 从而构造了相应的指数函数模型: 12()k tk tym ee应用该模型能准确的解释题目中所述的现象, 较圆满的解答了所有问题, 并对其他未涉及的特殊情况和不同时间内人体血液中酒精含量的变化作出相应的预测. 本模型总体上优于多项式函数的拟合, 且便于操作 . 推广和应用 , 该模型比较广泛地应用到很多领域 , 诸如医药领域中药物的吸收和代谢, 酒精的
2、吸收和代谢 , 营养学中多种营养物质的吸收和代谢 , 生物学中的微量元素的吸收和代谢等. 关键词变化率微分方程指数型函数曲线拟合名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 一、问题的提出、复述：面对高科技飞速发展的今天，随着经济的空前发展，人民生活水平的不断提高，人均汽车拥有量也在直线上升，加上一些人的安全意识淡薄，自我约束能力差，从而引起了频繁的交通事故发生，因此，我国质量监督检验检疫局2004年 5 月 31 日提
3、出了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新的标准规定，当血液浓度 C：20 毫克/百毫升 C80 毫克/百毫升时，规定为饮酒驾车；当血液浓度C：C80毫克/百毫升时，规定为醉酒驾车. 对血液中的酒精含量的检验是监督驾驶人员的重要措施，通过对人饮酒后的研究,得出酒精在人体血液中随时间的变化情况，再结合国家对饮酒驾车检测新标准的规定. 众所周知，酒精对人的神经、小脑都有相应的损伤麻痹，检查员对车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验，是对司机及他人人身安全保障的进一步加强. 对于大李在两次喝完同样多的啤酒后，分别进行检测，在第一次饮酒经过6 小时后，检测时符合标准；在第二次饮酒后
4、为了保险起见，经过6 个多小时后，检查时却不符合驾车标准 .对于出现的此种情况应作如何解释呢？在喝了多瓶（如三瓶）啤酒后经过多长时间才能驾车呢？怎样估计血液中酒精含量在什么时间最高？若天天喝酒，是否还能驾车？为了安全起见，如何对驾驶人员提出忠告？二、假设与建模1. 酒精在血液中的分布是均匀的；2. 饮酒后血液中酒精的含量只与体重有关；3. 血液中酒精的含量与体重成反比, 即认为喝相同量的酒, 体重大者血液中酒精的浓度较小 , 血液中酒精的含量与喝入的酒量成正比；4. 所有啤酒的度数相同 , 所有白酒的度数相同；5. 当饮酒者短时间内喝完酒时, 忽略该时段内对酒精的吸收与代谢；6. 对于没有饮酒
5、者 , 假设其体内酒精浓度为常数0 , 饮酒后血液中的酒精含量的浓度随时间的无限延长 , 认为其浓度可以忽略不计；7. 每次喝入体内的酒精量为0 x；8. 酒精在胃中向血液中吸收速度为, 酒精在体内新陈代谢速度为；9. 喝完酒到时间 t 内吸收酒精的含量为x(t),喝完酒到时间 t 内血液中酒精的含量为( )y t；10. 假设饮酒者的体重为70kg. 三、建立模型微分方程模型的建立：为了考察一个人饮酒后血液中酒精浓度的变化情况，特设：从第一次饮酒时开始：每次喝入体内的酒精量为0 x. 酒精在其胃中吸收速度为( ) t. 酒精在体内的新陈代谢速度为( ) t. 喝完酒到时间 t 吸收酒精的的质
6、量为( )x t. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 人喝完洒到时刻 t 血液中酒精含量为( )y t. 吸收速度与胃中酒精的含量成正比；吸收的量的变化率为吸收速度；血液中含量的变化率为吸收速度与代谢速度之差；代谢速度与血液中的含量成正比. 则在某一时刻 t ：( ),( ),( ),( )ttx ty t满足下列初值微分方程 : ( )101()()(0)0kxxkxx为 常 数() 22()(0)0ykk
7、 yy为 常 数解方程 () 10()xkxx101dxk xk xdt先求出微分方程1dxk xdt的解：11k txc e设的解为11( )k txct e得11111( )( )k tk txk ectect111( )k tk xect011)(1xktcetk解之得：210111)(cekxktctk102( )k tx txc e由0)0(x，解得：02xc100( )k tx txx e111210k tk txk c ek x e又22()(0)0ykk yy为 常 数即，102ktdyk x ek ydt先求2dyk ydt的解. 23ln yk tc23k tyC e设的解
8、为 : 23( )k tCt ey=则22323( )( )k tk tCt ek Ct ey =名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 232( )k tCt ek y=代入得12232( )k tk tek yCt ek y10k x21()3kktCe10(t)=kx21()3421kktCeckk10k x(t)=12412k tk tyec ekk10k xy(0) 表示时间为 0 时的值 , 显然 y(
9、0)=0. 421ckk10k x1221()k tk tyeekk10k x设21mkk10k x12()k tk tym ee由所给的以喝两瓶啤酒的量为标准的参考数据yi,ti, （见表 1）时间ti（小时）0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量yi30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间ti（小时）6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 酒精含量yi38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4 表 1 代入方程 , 通过解方程组的方法 , 分别求出 mi,k1i,k2i的
10、可能值 , 运用非线性规划的方法，求出 k1i,k2i,mi的一组优化值 , 得k1i=0.1998, k2=1.998, m=119 于是微分方程的解为 : 0.19981.998* ( )119 ()ttytee由方程式可知 ,y(t)的值与喝入酒的量x0成正比 , 所以喝一瓶啤酒的方程形式为: 0.19981.998119( )()2tty tee其函数图象如下：05101502040f1t ( )t图 1 拟合曲线与参考数据点的对比图：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
11、- 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 051015050100实测数据经验曲线图 2 若此人第一次饮酒后，经过时间间隔t0再进行下一次饮酒 . 设第 k 次饮酒后血液中酒精含量yk(t),第 k 次饮完酒后总血液中酒精的含量为zyk(t).则有下列关系 : zy1(t)= y1(t) 21201200( )( )()( )()()zytzytyttytytttt3230120300( )( )(2)( )()(2)(2)zytzytyttytyttytttt一般地100( )( )(1)(1)nnnzytzytytnttnt若记上式为 : 001( )(1)(1
12、)nniizytytittnt显然当0(1)tnt时上式成立 . 若00(2)(1)ittit, 则表示第 i 次尚未饮酒 , 其含量应以第 i-1次饮酒的时间计算. 以下推导第 n 次饮完酒后血液中酒精的总含量的递推公式01( )(1)nniizytytit000.1998(1)1.998 (1)1119()2ntittitiee000.1998(1)1.998 (1)0.19981.9981119()2nititttieeee000.1998(1)1.998 (1)0.19981.9981111911922nnititttiieeee00000.19981.9980.19981.9980.
13、19981.99811911()211ntnttttteeeeee由此, 可以得出到从第一次饮完酒到时刻t 的整个过中 , 血液中酒精含量*( )nzyt的分段函数关糸为 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 10200300*1000( )0( )2( )23( )( )(2)(1)( )(1)nnnzytttzyttttzyttttzytzytnttntzytntt四、问题的解决1、对第一个问题的解释：大
14、李中午 12 点喝了一瓶酒，到下午6 点检查时经过了6 个小时，将 t=6 代入方程：0.19981.998119( )()2tty tee0.199861.9986119(6)()17.9202yee根据新标准规定，大李的喝完一瓶酒6 小时后符合驾车标准 . 假设大李喝第二瓶酒时在7:00 以后喝的 , 到凌晨 2 点检查时 , 与第二次喝酒的时间间隔为 7 小时, 与第一次喝酒的时间间隔为14 小时, 代入方程21201200( )( )()( )()()zytzy tyttytytttt21212(14)(14)(7)(14)(7)zyzyyyy01020300204060图 3 212
15、12(14)(14)(7)(14)(7)21.420zyzyyyy根据新的标准规定大李此时为饮酒驾车违反了新的规定. 2、对第二个问题的回答 : 假设三瓶啤酒或半斤低度白酒的酒精含量相同. 三瓶啤酒是短时间内喝完的, 认为他喝酒时间为 0, 代入方程0.19981.998119( )3()2tty tee名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 051015050100150f3t ( )g t( )t图 4 ( )
16、 当 y(t) 80 时, 即 0.4 t 4.6 时, 属醉酒驾车 ; ( ) 当 20y(t)80时, 即 4.6t11 时, 属饮酒驾车 ; ( ) 当 y(t)20时, 即 11t 时, 属正常 . 假设酒是在较长时间 (2 小时) 内喝完的 , 设三瓶酒在k 次等量饮完 , 则时间间隔为2k小时, 将 t0=2k,n=k 代入方程得00000.19981.9980.19981.9980.19981.99811911( )3()211ntntttntteezyteeee0.19981.9980.19981.998220.19981.998119113()211ttkkeeeeee我们认
17、为当 k时, 即为均匀连续饮酒 , 其血液中的酒精含量为 : 0.19981.9980.19981.998220.19981.9980.39963.9960.19981.99811911( )lim( )lim 3()211119113()(2)20.39963.996ttkkkkktteezy tzyteekeeeeeet其图象如下 : 051015050100150f4t( )gt( )t图 5 ( ) 当 y(t) 80 时, 即 1.35t 5 时, 属醉酒驾车 ; ( ) 当 20y(t)80时, 即 0.36t 1.35,5t 12 时, 属饮酒驾车 ; ( ) 当 y(t)20时
18、, 即 1212.25 时可以驾车 . 分两次喝，其情形与两瓶两次喝完相似. 分四次喝完，每次一瓶，间隔6 小时，其血液中的酒精含量方程为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 11241231234( )6( )(6)612( )( )(6)(12)1218( )(6)(12)(18)18yttytyttzytytytyttytytytytt其图象如图：0102030020406080gg4 t( )g t (
19、 )t图 7可见，每天只有从 (5.46,6.02)中的 33 分钟的开车时间，在第25 小时时的含量为20.863, 即从第二天起，则再没有任何开车机会. （4）五瓶及五瓶以上的讨论与此基本相同. 由以上讨论，我们的结论是：若天天喝四瓶酒，并分四次喝完，则只在第一天有33分钟的开车时间，而从第二天起，则再没有任何开车机会. 若一次喝完，虽然可以驾车，但相应的驾车时间会随喝入酒量的增大而减少. 5、对第五个问题的解答 : 广大司机朋友们，为了你我的安全，为了家人的幸福，为了维护交通的畅通，驾车前最好不要喝酒，若你真正想喝一点酒，酒后又想驾车，如何才能使你既安全又不被交警检测时被定为饮酒驾车（或
20、酒醉驾车）呢？根据研究，对你提出以下忠告：（以喝啤酒为例，每天以24 小时计）1、一天只喝一次，在你喝了一瓶酒后，请在6 小时之后再开车；在你短时间喝完2瓶啤酒，请在 10 小时之后开车；若你短时间喝了3 瓶啤酒，请在 11个小时后开车；若你较长时间喝了 3 瓶啤酒，请在 12 小时之后开车 . 2、若你一天喝两次酒， 每次一瓶，其按中间间隔 6 小时，你应在 14小时之后驾车；若你一天喝两次酒，每次两瓶，其中间间隔仍按6 小时计，你应在19.5个小时后驾车 . 3、若你一天喝三次酒，每次一瓶，其按中间间隔6 小时，你应在 22.5 小时后驾车；若你一天喝三次酒，其按中间间隔8 小时，你全天只
21、能驾车5.3 小时. 4、若你一天喝四次酒，每次喝一瓶，按中间间隔6 小时，第一天只有0.56 小时驾车,而以后每天你将没有驾车时间.若再比 4 次多，你将再也没有驾车机会. 五. 模型的评价与改进模型与方法已获得应用，通过多次间断，连续的在相同间隔下饮酒的计算所得结果与参考数据 2 所给数据相吻合 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 在建模时曾作了忽略人体内本身所含有的酒精含量（c0.3/毫 克百 毫
22、升）的假设，在模型计算中的出的数值比实际检测出的数值偏低，要是计算数值更接近实际检测出的数值，在建模过程中，我们应该将这个因素考虑进去. 此外，在建模中未考虑到外界条件、饮食、个人心情的变化对人体内血液中酒精吸收速度的影响，使得我们在作拟合图象时出现了一些允许的误差，并对这些误差作出估计（见图 2）. 经计算，拟合函数在各测定点的函数值，与参考数据组的绝对平均误差为-0.204 ，相对平均误差为 1%. 参考文献及使用工具： 叶其孝大学生数学建模竞赛辅导教材 ；湖南湖南教育出版社1997年版 郝黎仁Mathcad2001及概率统计应用北京中国水利水电出版社2002年版本篇论文在数值计算、图象处理等方面大量使用了Mathcad2001、几何画板等数学计算和编辑软件。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -