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1、第一章量子力学的诞生1.1 设质量为m的粒子在谐振子势2221)(xmxV中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。提示：利用)(2,2,1,xVEmpnnhxdp)(xV解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为ax1其中a由下式决定：2221)(amxVEax。a0 ax由此得2/2mEa，2ax即为粒子运动的转折点。有量子化条件hnamamdxxamdxxmEmdxpaaaa222222222)21(22得mnmnha223代入 2 ，解出,3,2,1,nnEn4积分公式：cauauauduuaarcsin22222221.2 设粒子限制在长、宽、高分别为cba,的箱内运动，试用量子
2、化条件求粒子能量的可能取值。解： 除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,轴方向，把粒子沿zyx,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有,3,2,1,xxxnhndxp即hnapxx2a2：一来一回为一个周期ahnpxx2/, 同理可得，bhnpyy2/, chnpzz2/, ,3,2,1,zyxnnn粒子能量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页222222222222)(21cnbna
3、nmpppmEzyxzyxnnnzyx,3,2,1,zyxnnn1.3 设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示： 利用,2,1,20nnhdpp是平面转子的角动量。转子的能量IpE2/2。解： 平面转子的转角角位移记为。它的角动量.Ip广义动量 ，p是运动惯量。按量子化条件,3,2,1,220mmhpdxpmhp，因而平面转子的能量ImIpEm2/2/222，,3,2, 1m1.4 有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值. (解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是: rmvc
4、Bev2(1) 又利用量子化条件,令p电荷角动量q转角nhmrvmrvdpdq220(2) 即nhmrv(3) 由(1)(2)求得电荷动能=mcnBemv2212再求运动电荷在磁场 中的磁势能, 按电磁学通电导体在 磁场中的势能=cBrevcc*2场强线圈面积电流场强磁矩,v是电荷的旋转频率, rvv2,代入前式得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页运动电荷的磁势能=mcnBe2(符号是正的 ) 点电荷的总能量=动能 +磁势能 =E=mcnBe2( 3 ,2, 1n) 1.5，1.6 未找到答案1.71试用 Ferma
5、t 最小光程原理导出光的折射定律2211sinsinnn2光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子， 则其运动遵守最小作用量原理0pdl认为mvp则0pdl这将导得下述折射定律1331sinsinnn这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2cEvp仍就成立， E 是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E 仍不变，仍有0pdl，你怎样解决矛盾？解甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A 到定点B 的路径是两段直线：光程QBAQInn21设 A，B 到界面距离是a,b(都是常量 )有2211secsecbaInn又 AB 沿界面的投影c 也是常数，因而1
6、，2存在约束条件：cbtgatg212求(1)的变分 ,而将1,2看作能独立变化的,有以下极值条件0secsec22221111dtgbtgaIndn(3) 再求 2的变分0secsec222112cdbad精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页(3)与(4)消去1d和2d得2211sinsinnn(5) 乙法 见同一图 ,取x为变分参数 ,取 0 为原点，则有: )(222221xcbxaInn求此式变分 ,令之为零 ,有：0)()(222221xcbxxcxaxxInn这个式子从图中几何关系得知,就是 (5). (2
7、)按前述论点光假设看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度vG光程原理作0dlvG,依前题相速vvGpc2,而cncvvpG2,n是折射率 ,n是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度vp,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理. 0ndl前一非难是将光子的传播速度v看作相速度vp的误解 . 1.8 对高速运动的粒子(静质量m)的能量和动量由下式给出: 2221cvmcE(1) 2221cvmvp(2) 试根据哈密顿量2242pccmEH(3) 及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速. (解)根据 (3)式来组成哈氏正则方程式组:p
8、qiiH,此题中vqi,ppi,因而224222242pccmpcpccmpv(4) 从前式解出p(用v表示 )即得到 (2).又假设将 (2)代入 (3),就可得到 (1)式. 其次求粒子速度v和它的物质波的群速度vG间的关系.运用德氏的假设: kp于 (3) 式右方 , 又用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页E于(3)式左方 ,遍除h: )(22242kkccm按照波包理论，波包群速度vG是角频率丢波数的一阶导数：22242kccmkvG=22422222422pccmpckccmkc最后一式按照4式等于粒子速度
9、v，因而vvG。又按一般的波动理论，波的相速度vG是由下式规定kvp是频率利用 5式得知cckcmvp222426故相速度物质波的应当超过光速。最后找出vG和vp的关系，将1 2相除，再运用德氏波假设：vGcvckpE22，vvGpc2 7补充：1.1 设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，axaxxxV0, 0,0,)(试用 de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页解： 据驻波条件，有),3,2,1(2nnana/21又据 de Broglie 关系/hp2而能量,
10、 3,2,12422/2/2222222222nmanamnhmmpE31 试用量子化条件,求谐振子的能量谐振子势能2221)(xmxV (解)(甲法 )可以用 Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:nhpdq在量子化条件中,令xmp为振子动量 ,xq为振子坐标 ,设总能量E 则22222xmmPE)2(222xmEmp代入公式得 : nhdxxmEm)2(222量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA的四倍 ,要决定振幅a,注意在A或 B 点动能为0,2221amE,(1)改写为 : nhdxxamaa222(2) 积分得 :nham2遍乘21得nhE2精选学习资料
11、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页乙法 也是利用量子化条件,大积分变量用时间t而不用位移x,按题意振动角频率为,直接写出位移x,用t的项表示 : taxqsin求微分 :tdtadxdqcos(4) 求积分 :tmaxmpcos(5) 将(4)(5)代量子化条件: nhtdtmapdqT0222cosT 是振动周期 ,T=2,求出积分 ,得nham2nnhE23 ,2, 1n正整数# 2 用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为.,cba(解)三维问题 ,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动 ,每一分运
12、动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如ppxx),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件: ppnqpxaxxxxadxhd220(1) ppnqpybyyyybdyhd220(2) ppnqpzczzzzcdzhd220(3) pppzyx,都是常数 ,总动量平方222zyxpppp总能量是 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页)(2122222zyxpppmmpE=)2()2()2(21222chbhahmnnnzyx
13、=)()()(82222cbamhnnnzyx但3, 2, 1,nnnzyx正整数 . # 3 平面转子的转动惯量为,求能量允许值. (解)解释题意 :平面转子是个转动体,它的位置由一坐标例如转角决定 ,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量,但是角速度 ,能量是221E利用量子化条件,将p理解成为角动量,q理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有nhdpdq220(1) (1) 说明是量子化的(2)nnh2(3, 2, 1n .) (2) (3) 代入能量公式 ,得能量量子化公式:2)(2212222nnE(3) # 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页