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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学基础综合练习题解答一填空题1函数yx4的定义域为x1 且x2；2lnx1x40x42解：x10x1x1 且xlnx10x11；2函数ylnx1的定义域是1x24x2解：x1200x2121x24x3；x3函数yx2的定义域是x2且xx3解：x20x2x30x36；4设f x2x22,就fxx24x解：设x2t ,就xt2且原式f x22 x即f t t222t24 t2亦即f x x24x244如函数f x 1x ,x0在x40处连续,就 k =e4；k,x0x0函数fx 在x=0连续,就lim x 0fxf0e441lim x 0fx
2、lim 1 x 0xxlim x 01xxf0kke4x ；5曲线yex在x0处的切线方程为y1曲线 yfx 在点x 0,y 0处的切线方程为yy 0yx 0x1 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：yx0exx01,x 00 时,y 00 e16.函数yy1x0y1x ,1,；lnx3的连续区间为3, 1 ,x1初等函数在其定义区间连续；y ln x 3 x 3 0x 3 且 x 1 3, 1 , 1,x 1 x 1 07曲线 y ln x 在点 1,0 处的切线方程为 y x 1；解：y x 1 l
3、n x x 1 1x 1 1,xy 0 1 x 1 y x 18. 设函数 y f ln 2 x 可导,就 dy 1f ln 2 x dx；x解：dy y dx f ln 2 dx f ln 2 ln 2 x dxf ln 2 12 x dx2 xf ln 2 12 x dx1 f ln 2 x dx2 x x9. （判定单调性、凹凸性）曲线 y 1 x 32 x 23 x 在区间 2,3 内是 单调递减且凹 ；3解：y x 24 x 3 x 3 x 1 , 当 2 x 3 时,y 0 曲线下降y 2 x 4 y 0 曲线是凹的2 210设 f x x 1,就 f f x 4 x 1；2 2
4、2解：f x 1 2 x ,f f f 2 x 2 x 1 4 x 1,1 311x 1 cos x dx 0 ；1解：3x 是奇函数； 1 和 cosx 是偶函数,由于偶 +偶=偶,就 1 cos x 是偶函数,由于奇 偶奇,所以 3x 1 cosx 是奇函数,1,1 是对称区间奇函数在对称区间上的积分为零121 1 x x12 xdx2；32 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：1 1 x x1x 2dx1 1x2x1x2dx1x dx 21x1x dx 211x1x2是奇函数（奇偶奇）,故1x1x
5、 dx 20；1 2Fx21C1而2 x 是偶函数,故12 x dx212 x dx2x3121030313设F f x ,就fln 3 x dxxFln3xC ；解：1ln 3x1dxln 3 xdxdln 3xxx1fln 3 x dxfln 3 x dln 3xFln 3xCx14已知F f x ,就xf x21 dx1Fx21C ；2解：xf x21 dx1f2 x12xdx1fx21d x212215设F x 为f x 的原函数,那么fsinxcosxdxFsinxC ；x分析：F x 为f x 的原函数f u duF uC , cosxdxdsin解：fsinx cosxdxfsi
6、nx dsinxFsinxCsinx cosx16设f x 的一个原函数是sin x , 就f sin x ；解 ：f x 的 一 个 原 函 数 为F x f F f sin x17F x 0tcos2 t dt,那么F xcos2x ；2xcos2 xx解：x af t dtfxF xtcos2 t dt018d02 tt e dt_2 x ex_；xdx解：d02 tt e dtdx2 t etdt2 x exdxxdx0e119设F x xesintdt,就F2e1；0解：FxxesintdtesinxF2esin03 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共
7、13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 20d0cos2 t dt=2 cos x ；2 t dtcosx2dxx解：d0cos2 t dtdx 0cosdxxdx二挑选题1 以下函数中（ B ）的图像关于坐标原点对称；axA lnx Bxcosx Cxsinx D规律：（ 1） 1奇偶函数定义：fxfx,fx是奇函数;fxfx,fx是偶函数 ；21 ,ln1x,ln1x（2）常见的偶函数：2 x,x4,.,x3,cos , x x 常数1常见的奇函数：x x3,x5,.,x3,sinx,lnxx21x1x常见的非奇非偶函数：ax,x e ax,ex,lnx；（3）奇偶函数运
8、算性质：奇 奇 =奇；奇 偶 =非；偶 偶 =偶；奇 奇 =偶；奇 偶 =奇；偶 偶 =偶；（4）奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于 y 轴对称；解： A非奇非偶； B奇 偶 =奇（原点） ； C 奇 奇 =偶（ y 轴）； D非奇非偶2以下函数中（B ）不是奇函数；x； Dlnx2 x1D奇函数A x eex； B sinx1； Csinx cos解： A 奇函数（定义）；B非奇非偶（定义）；C奇函数（奇 偶）；（定义）3以下函数中,其图像关于y 轴对称的是（A ）；x1D 非奇非偶Asin2 x1 Be xcos x Cln 1 xD cos1 xy 轴）； B非奇非偶（定义）；解：
9、A 偶函数（C奇函数（常见）；（定义）4以下极限正确选项（B）；111lim x 0x1；A lim x 0e xx10 B lim xx333 x13C. lim xsinx1 Dlim1 x 01xee xxx解： A 错；x0,ex1 x lim x 0xxB 正确；分子分母最高次幂前的系数之比；4 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - C错 ； x,1 x0即1 x是 无 穷 小 , sinx1即 sin x 是 有 界 变 量 , lim xsinx0；x1D 错；其次个重要极限应为 lim1 x
10、1x xe 或 lim1 x 0 x x e,其类型为 1；5当 x 1 时,（D ）为无穷小量；x 1 1A2 Bsin C cos x 1 D ln x 2x 1 x 10解： Alim x 1 x x2 11 0 lim x 1 2 1x12 0；Bx 1,x 1 0,x 11,x lim sin 1 x 11 不存在；Cx 1, cos x 1 cos0 1；Dx 1, ln x 2 ln1 0；6. 以下等式中,成立的是（B）；2 x 2 x 3 x 1 3 xAe dx 2 de B e dx de3C2 dx d x D1dx d ln 3 xx 3 x解 ： A 错 , 正 确
11、 的 应 为 2 e 2 xdx de 2 xB ；正 确 ,3 e 3 xdx de 3 x即3 x 1 3 xe dx de31 1C错,正确的应为 dx d x D错,正确的应为 d x d ln 3 x2 x 3 x7设 f x 在点 x x 可微,且 0 f x 0 0,就以下结论成立的是（C ）；A x x 是 f x 的微小值点 Bx x 是 f x 的极大值点；Cx x 是 f x 的驻点； Dx x 是 f x 的最大值点；解： 驻点定义：设 f x 在点 x x 可微,且 f x 0 0,就 x x 是 f x 的驻点；驻点为可能的极值点；8函数f x lnx ,就lim
12、x 3f x f3（ D）；x35 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 3； B ln 3 ； C1 x；D1 3解一：lim x 3f x f3f 3fxx3lnxx301x31x3x3解二：lim x 3f x f3lim x 3lnxln 30lim x 311x0x3x31319设f x sinx ,就lim x 0f x （ B ）；xA 0 ； B 1 ； C 2 ； D 不存在解一: lim x 0fxxlim x 0sinx1x解二: lim x 0fxlim x 0sinx00sinx
13、x0cosxxxx10曲线yx33 x29x1在区间 1,3 内是（A ）；A 下降且凹 B上升且凹 C下降且凸 D 上升且凸解：2 2y 3 x 6 x 9 3 x 2 x 3 3 x 3 x 1 ,在 1 x 3 任取一点 x 带入可知 y 0,曲线下降y 6 x ,在 1 x 3 中任取一点 x 带入可知 y 0,曲线是凹的x11曲线 y e x 在 0, 内是（ B）；A 下降且凹； B上升且凹； C下降且凸； D上升且凸解：yx exex1fB）；D.y1x1x2当x0 时,y0,曲线上升yx e当x0 时,y0,曲线是凹的12曲线y2x 在点M1,2处的法线方程为（A.y2x1；B
14、.y2x1；Cy22x12规律：曲线 yfx 在 x=x 处的法线方程为 0yx 0f1x 0x 06 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：yfx2x ,fx2x1,f 11x11xx故法线方程为By2Cx1；13以下结论中正确选项（）；A 函数的驻点肯定是极值点B函数的极值点肯定是驻点C函数一阶导数为 0的点肯定是驻点 D函数的极值点处导数必为 0解： 驻点定义：设 f x 在点 x x 可微,且 0 f x 0 0,就 x x 是 0 f x 的驻点；驻点为可能的极值点；14设函数f x cosx
15、,就dfx（A）；xx dxA sin 2xx dx； Bsin 2x dx x； Csinxx dx； Dsin解：df x dcosxcosxd xsi nxxdxsi nx dx x215当函数f x 不恒为 0,a b 为常数时,以下等式不成立的是（B）；A.fxdxfxB.dbfx dxfx dxaC.fx dxfx cD. bdfx f bfaa解：A.成立, f x dxf x 为不定积分的性质；f1 xCB.不成立,b af x dx常数,而常数的导数为零；C.成立,f x dxf c 为不定积分的性质；D. 成立,b ad f x f b f a为牛顿莱布尼兹公式；16设函数
16、fx的原函数为F x ,就1f1 dx（ A ）；x2xA F1C； BF x C ； CF1C； Dxx解：函数f x 的原函数为F x fu duF uC ,11dxdx2x1f1dxf11dxf1d1F1Cx2xx2 xxxx17以下无穷积分为收敛的是（B）；7 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - A .0sin xdx B.0e dxC. 2x0 1x e dx D.11 dx x2规律： a1dx 01,发散0epxdx ,p0, 收敛发散1,发散1, 收敛p0,发散xasinxdx、acos x
17、dx发散 0x e npx dx ,nNp0,收敛p0,1解： A.0sinxdx；B.p20,收敛； C.p10,发散； D.218以下无穷积分为收敛的是（C）；A .12 x dx B.11 dx xC.12 x dx D.1xe dx解： A. 发散； B. 发散； C. 收敛； D. 发散；三运算题1、求极限lim x4x11 2x 2、求极限lim x4x32x3 3x e 1 2 24x14 x解：4 4x14xx11214x21解：44x34xx33314xx14x4lim x2 12x1lim x3 2x-34x124x33原题 e原题e23、求极限lim x 0x e1x解：
18、x0, ln 1x x ,x e1 xxlnx1原题lim x 0ex1xlim x 0x e1x=lim x 0exx1lim x 0x xx224、求极限lim x 0sin 3x1解：x0, sin3x 3x ,14x12x14x原题lim x 03x32x25、求极限lim x 0ln13x2解：x0,ln1 3 x23x , sin 2x 2x 2xsin 2x8 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 原题lim x 0x3 x232x26、求极限lim x 0sin 2 ex1xx31x2xx1t
19、an 4x解：x0,sin2 ex1 sin 2x 2x , tan 4x 4x原题lim x 02x1 24x7、设函数yx 3 ln2x ,求 dy解：y3 xln2xx3ln 2x3x2ln2x232 xln2x2x3xdy2 3 xln2x3 xxdx28、设函数ycos x ex2x,求 dy ；3解：ycos xex2x 231ycos xex2x 2cos excos x ex 3x2cos ecos xexcos 3 x21ecosxxsinxecosx3x2dycos exxsincos xex3x1dx29、设函数ycosln2 x 2e12 e ,求 dy ；解：ycos
20、ln 2xex 212 ecosln 2xex2 12 esinln 2xln 2xx 2e1x210sin ln 2x12xex 2 12x2xsin lnx2x xe2 1x9 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - d ysin ln 2x2x ex2 1dxx10、设函数y3 ex,求 dy ；x3x2x23 ex12x解：y3 ex3 ex2xx3 ex2x3 ex221cos2x23 3 ex2x3 ex2x2d y33 ex2x23 exdxx2x11、设函数ysin 3x1,求 dy ；cosx
21、解：ysin 3 xsin 3 x1 cosxsin 3 x1cosx21cosxcos3x3 x1 cosxsin3 xsinx1 cosx23cos3x1cosxsin 3 sinx1cosx2d y3cos3x11cosxxsin 3 sinxdxcos212、运算不定积分x2 sinxdx2解: x22x 2 0 + + sinx2cosx4 sinx 8 cos 2xC222x2 sinxdx2x2cosx8 sinx16cosx222213、运算不定积分xe3xdx 解： x 1 0 10 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 -
22、 - - - - - - - - e3x1 3e3x1e3x1e3xC9xe3x1 3xe3xdx9四、应用题1、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4 立方 M, 试问如何选取底半径和高的尺寸 ,才能使所用材料最省；解：设圆柱体底半径为r,高为h,2就体积Vr h 24h4r材料最省即表面积最小表面积 S r 22 rh r 22 r 42r 2 8r rS 2 r 82,令 S 0,得唯独驻点 r 34r所以当底半径为 34 M ,此时高为 34 M 时表面积最小即材料最省；2、 要做一个有底无盖的圆柱体容器 ,已知容器的容积为 16 立方 M, 底面单位面积的造价为 10 元
23、/平方 M ,侧面单位面积的造价为20 元/平方 M,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省；解：设圆柱体底半径为 r ,高为 h , r就体积 V r h 2 16 h 16r 2 h且造价函数 f 10 r 220 2 rh 10 r 2 640r令 f 20 r 6402 0,得唯独驻点 r 2 34r所以当底半径为 2 34 M ,此时高为 34 M 时造价最低；3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为 取底半径和高的尺寸 ,才能使建造费用最省；108 立方 M 的圆柱体容器,试问如何选11 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学
24、习资料 - - - - - - - - - 解：要使建造费用最省,就是在体积不变的情形下,使圆柱体的表面积最小；设圆柱体底半径为 r ,高为 h ,就体积 V r h 2 108 h 108r 2就圆柱体仓库的表面积为 S r 22 rh r 22 r 1082r 2 216r rS 2 r 2162,令 S 0,得唯独驻点 r 3108 3 34 , r所以当底半径为 3 34 M ,此时高为 3 34 M 时表面积最小即建造费用最省；4、在半径为 8 的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图）,为使长方形的面积最大,该长方形的底长和高各为多少；解：设长方形的底边长为 2x ,高为 y,
25、就 8 2x 2y 2y 64 x 2 8 y2面积 S 2 xy 2 x 64 x x x令 S 2 64 x 2 x 22 0,得唯独驻点 x 4 264 x所以当底边长为 8 2 M ,此时高为 4 2 M 时面积最大；5、在半径为 8 的圆内内接一个长方形,为使长方形的面积最大,该长方形的底长和高各为多少；解：设长方形的底边长为2x ,高为 2y ,4 2就822 x2 yy64x2面积S4xy4x642 x令S464x2x2x20,得唯独驻点x64所以当底边长为8 2 M ,此时高为 8 2 M 时面积最大；y6、求由抛物线yx2x 与直线 yx 所围的面积；y x名师归纳总结 12
26、 / 13 y x x 2x第 12 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：抛物线yx2x 与直线 yx 的交点为0,0 , 2,22 y xyy22 xx面积 A 2xx2xdx=2 02xx2dx0x21x324 3307、求由抛物线y22 x 与直线 yx 所围的面积；解：抛物线y22 x 与直线 yx 的交点为1,1 , 2, 2 ,面积 A 2 12x2x dx2x1x31x2219 232yx8、求由抛物线y2 x 与直线y2x 所围的面积；y2x解：抛物线y2 x 与直线y2x 的交点为1,1 ,2,4,y面积 A 1 22xx2dx2x1x21x3129 223x9、求由抛物线y62 x 与直线 yx 所围的面积；,y62 xyxx解：抛物线y62 x 与直线 yx 的交点为3, 3 , 2,2-yxy x 2 2面积 A 2 36x2x dx 125 610、求由抛物线y2 x2与直线 yx 所围的面积；y解：抛物线yx22与直线 yx 的交点为1, 1 , 2,2y x面积 A 2xx22dx2x1x31x221-9213213 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页