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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一学期期末考试高二数学试题（考试时间： 120 分钟 总分 160 分）留意事项：1全部试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效2请考生留意选做题（分物理方向和历史方向）一、填空题： （本大题共 14 小题,每道题 5 分,共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1连续掷一枚硬币两次,两次都显现正面对上的概率是2用分层抽样的方法从某校同学中抽取一个容量为 45 的样本,其中高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人已知该校高二年级共有同学 1200 人,就该校总人数为人2 23已知点 F、直线 l 分别为椭圆 x y 1
2、的右焦点、右准线,椭圆上的点 P 到直线 l 的距4 3离为 3,就 PF= 4 已知某种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量分别为 98,99,101,10,102,就该品种的样本方差为5函数 f x 1x 3kx 在点 P（ 1, f 1 ）处的切线与直线 2x-y=0 平行,就 k= 326抛物线 y 4 x 上横坐标为 2 的点到其焦点的距离是7“a b” 是“log 3 a log 3 b” 成立的条件（在“ 充分不必要”、“ 必要不充分” 、 “ 充要” 、“ 既不充分也不必要” 中选一个）8从11,1412 ,149123,149161234, ,推广到第 n 个等式为 _
3、 _9武广高铁专线 于 2022年 12月 26日正式运营,列车开出车站一段时间内,速度v （m/s）与行驶时间t名师归纳总结 （s）之间的关系是v2 t0.17t2,就t5s 时列车运动的加速度是 m/s 第 1 页,共 9 页10某单位一科室共有4 名成员,现有2 张 2022 年上海世博会门票供安排,且每人至多分得一张票就该科室中,甲、乙二人至少有一人分到门票的概率是11函数yx2cosx在区间0 ,2上的最大值是12设 e1、e2分别为两椭圆的离心率,就e1+e23 的概率为 213 关于 x 的方程ax13有且仅有一个实根,且根大于0,就实数a 的取值范畴x2是14已知点P,10,过
4、点 P 的直线 l 交抛物线yx2于 A , B 两点,且|PA|AB|,就直线 l 的斜率是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、解答题： （本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15 本小题满分 14 分 某校高一年级开设了“ 校内植物” 的校本课程,该班同学利用课余时间,对学校的树木底部直径 d（单位： cm）作了抽样调查,并将调查结果统计成下表：直径 10, 15 15,2020,2525, 3030 ,35合计棵数20 5 15 y5 50 频率040 x030 z0 10 1 （1）运算表中的 x 、 y
5、、 z 的值；（2）估量该学校树木底部直径小于 25cm 的百分比；（3）用各组区间的组中值估量该学校树木底部直径的平均值16 本小题满分 14 分 （1）已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线2xy40上,求抛物线的标准方程；（2）如双曲线经过点（36,）,且它的两条渐近线方程是y3 ,求此双曲线的标准方程17 本小题满分 15 分 为了协作某项问卷调查,打算抽取 3 个同学参与,且名额要从高二（1）,（2）,（3）三个班同学中随机抽取 （说明：每个班的总人数均不少于 3 人）（1）求抽取出来的 3 个同学全部来自同一个班级的概率；（2）求抽取出来的 3 个同学所在班级均不相同的
6、概率；（3）至少有 2 人来自同一个班级的概率名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18 本小题满分 15 分 g已 知 命 题 p ： 函 数fxaxlnx（x0） 存 在 单 调 减 区 间 ； 命 题 q ： 函 数pq是真命题,pq是假命题,求实数a 的取x 2xa在区间01, 上是增函数如x22值范畴19 本小题满分 16 分 如图,已知 A , B 是中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率 e 1的椭圆的左顶点和上2顶点,F ,F 是左、右焦点,点 P 在椭圆上,且在 x 轴上方,PF 垂直于 x 轴,A
7、BP 的面积为 3 3 12（1）求椭圆方程；（2）我们把以 O 为圆心, OA 为半径的圆称为“ 椭圆的大圆”如直线 m 是椭圆的左准线, Q 是直线 m 上一动点, 以 Q 为圆心, 且经过F 的圆与该椭圆的大圆相交于M , N 两点,求证：直线 MN 过肯定点,并求出定点坐标；（3）在（ 2）中,如将条件“ 直线 m 是椭圆的左准线” 改为“ 直线 m 过 A 点且平行于椭 圆的准线” ,是否有类似的结论？依据你的推理,给出 一个更为一般的结论（无需证明）yB Pm A F 1 O F 2 x第 19 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - -
8、 - - - - - - - 20 本小题满分 16 分 已知函数 f x ax 3 | x a |（a R）（1）给出一个实数 a ,使得函数 f x 在 , 0 上单调减,在 0 , 上单调增 . （2）（物理方向考生做）如 0 a 1,求函数 f x 在 1,1 上的最大值；2（历史方向考生做）如 a,求函数 f x 在 1,1 上的最大值；3（3）（物理方向考生做）求证：对任意的实数 a,存在 x ,恒有 f x 0 0,并求出符合该特点的 x 的取值范畴4（历史方向考生做）如 g x x,试求方程 f x g x 的解高二数学参考答案一、填空题： （本大题共 14 小题,每道题5 分
9、,共 70 分）n ）cm1123600 33 24002 5 163 47必要不充分8149161n1n21n1123493.710511636121 813a2142322二、解答题： （本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15解：（1）x0.10,y5,z0.10；-6分（2）估量学校树木底部直径小于25cm 的百分比为80%；-9分（3）d12.50.417.50.1225.03.27.50.132.50.1195.-14 分16解：（1）直线2xy40与 x轴交点是2 ,0 ,与 y 轴交点是0 ,4,-3 分由于抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,
10、名师归纳总结 就如抛物线焦点在x 轴上,就抛物线的标准方程是y28x；-5 分第 4 页,共 9 页如抛物线焦点在y 轴上,就抛物线的标准方程是x216y；-7 分（2）由于点36, 在直线y3x的上方,就双曲线的焦点必定在y 轴上,-10分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可设双曲线方程是y2x21（a0,b0）,a2b2由题意可知,62ab3,解得：a29,b21,b321a22就双曲线方程是y2x21-14分9方法二：名师归纳总结 由题意,设双曲线方程是y22 9x, -10分第 5 页,共 9 页曲线经过点（,36）,代入得9,就双曲线方程是y
11、2x21-14分917解：此题的基本领件共有27 个（1）记“ 抽取出来的3 个同学全部来自同一个班级” 为大事A ,由于大事A 的基本大事有 3 个,就概率PA 31-5分279（2）记“ 抽取出来的3 个同学所在班级均不相同” 为大事B ,由于大事 B 的基本大事有 6 个,概率PB62-10分279（3）记“ 至少有2 人来自同一个班级” 为大事C ,由于大事 C 和大事 B 互为对立事件,就概率PC1PB 7-15分918解：由题意得：xfx ax1,0）存在单调减区间,x如函数fxaxln（就fxa10在0,上有解,即a1在,0上有解, -2 分xx就a0,即a0-5分又gx 2xa
12、,gx 2 2 x2 22x2a2x2 x2ax2 -7 分x22x2 2 x2 2由于函数gx2xa在区间01, 上是增函数,x22就g 0在区间01, 上恒成立,即x2ax20在区间01, 上恒成立,令x x2ax2,留意到020,故而只需11a20,得a1-10分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由pq是真命题,pq是假命题知,命题p 和命题 q 中一个是真命题,一个是假命题,名师归纳总结 1 如 p 真 q 假,就a1； -12分第 6 页,共 9 页2 如 p 假 q 真,就a0；-14分综合 1 、 2 得a1或a0-15分19 解：（1）
13、ec1,就a2 ,b3 ,a2可设椭圆方程为x2y21（c0）4 c23c2由 A（2c,0）,B（0 ,3 c）,P（c, c 2）,就直线 AP 方程：y1x2c ,令x0得yc,2S ABP13 ccc2c3 31 c23 31 ,222就c1,就椭圆方程为x2y21；-6分43（2）依题意,直线m 的方程：x4,设 Q（4t,）,F2（1,0）,就圆 Q：x4 2yt225t2,又圆 O 的方程：x2y24两式相减,得直线MN 的方程：8x2ty50,明显,直线MN 过定点5,0 -11分8（3）当直线 m 的方程变为：x2,设 Q（2t,）,F2（1,0）,就圆 Q：x2 2yt29
14、t2,又圆 O 的方程：x2y24两式相减,得直线MN 的方程：4x2ty10,明显,直线MN 过定点1,0 ；-13分4推广（ 1）：如直线 m 平行于椭圆的准线,Q 是直线 m 上一动点,且以Q 为圆心,且经过F2的圆与该椭圆的大圆相交于M ,N 两点,就直线MN 过 x轴上肯定点；推广（ 2）：如 Q 是一条定直线m 上一动点, 且以 Q 为圆心,且经过F2 的圆与该椭圆的大- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆相交于 M ,N 两点,就直线MN 过肯定点 -16分（注：只要求写出一种推广,且不要求在推广结果中算出定点坐标）20解：（1）当 a 0
15、 时,f x | x | 符合要求 -3 分ax 3 x a x a （ 2）（物理方向考生做）如 0 a 1,f x ax 3x a x a ,当 x a 时,f x 3 ax 2 1,f x 3 ax 21 0 x 1,3 a当 x a 时,f x 3 ax 2 1,当 0 a 1,1 1,此时 f x 在 ,1 a 上单调减,在 a 1, 上单调3 3 a增,就在 1 1, 上 f x max f 1 f 1 1；-5 分当 1a 3 1,此时 1a,此时 f x 在 ,1 1 上单调增,3 3 3 a 3 a在 1 , a 上单调减,在 a 1, 上单调增,3 a由于 f 1 f 1
16、f 1 ,3 a就在 1 1, 上 f x max f 1 a 2 1； -7 分3 a 3 3 a当 3 1a 1,此时 1a,就此时 f x 在 ,1 1 上单调增,3 3 a 3 a在 1 , 1 上单调减,在 1 , 上单调增,在 a 1, 上单调增,3 a 3 a 3 a就在 1,1 上 f x max f 1 a 2 1；-9 分3 a 3 3 a综合有：名师归纳总结 当0a1时,fx max1；第 7 页,共 9 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当1a1时,fx maxa21a23 a-10分333 a9 a（历史方向考生做）结合上
17、述争论,a2时,fx 2x3x2x2,-6分上单调3 23 23 23x3xx33321, 此时fx在,12上单调增,在2,2上单调减,在3223分增, -9由于f2f1 f1 ,分2就在1,1上fx maxf2232-102（3）（物理方向考生做）（i）当 a 0 时,f x | x |,方程 f x | x | 0 只有 0 根； -11 分（ii）当 a 0 时,方程 f x ax 3| x a | 0 没有 0 根和正根,当 a 0,x 0 时,f x ax 3x a,由方程 f x ax 3x a 0 得 a 3 x,x 1x 0就a 3 x0 x 3 1 0,得 x 1； -13
18、分x 1（ii）当 a 0 时,方程 f x ax 3| x a | 0 没有 0 根和负根,当 a 0,x 0 时,f x ax 3x a,由方程 f x ax 3x a 0 得 ax 3 x1,x 0就a 3 x0 x 3 1 0,得 x 1；-15 分x 1综上可知,对任意的实数 a,存在 x 0 ,1 0 1,0,恒有 f x 0 0 -16 分注：此题也可以用数形结合的思想来做名师归纳总结 当a0时,fx|x|,方程fx|x|0只有 0 根；第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当a0时,方程fx 3 ax|xa|0要有解也
19、只能是负解,当a0fx 3 axxa0即x311x,用数形结合（图1）查找负解,a发觉二曲线交点横坐标x1；2）查找正时,方程fx ax 3|xa|0要有解也只能是正解,x311x,用数形结合（图fx ax 3xa0即a解,发觉二曲线交点横坐标x1；以下同上图 1 图 2 （历史方向考生做）如gx 1x4,方程fx gx即3 ax|xa|x4,分即|xa|3 xxa,；xa明显是方程的解；如xa,就x31,得x如xa,就x31,得x1-12综上可知,名师归纳总结 如a111或a1,方程的解集是1,1；-13分第 9 页,共 9 页 如a分1,方程的解集是 a1,；-14 如aa1,方程的解集是,1a 1,；-15分 如,方程的解集是a,1-16分- - - - - - -