《2022年高中数学必修--第一章-解三角形复习知识点总结与练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学必修--第一章-解三角形复习知识点总结与练习.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 5 第一章 解三角形复习一、学问点总结【正弦定理】1正弦定理 : a bsin A sin2. 正弦定理的一些变式：BcC2R R为三角形外接圆的半径. c；2Rsini a b csinAsinBsinC ；iisinAa,sinBb,sinC2R2R2Riii a2RsinA b2RsinB b2RsinC ； ivsinAabBcsinCsin3两类正弦定懂得三角形的问题：1已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 . 2已知两边和其中一边的对角,求其他边角. 可能有一解,两解,无解【余弦定理】a22 bc22 bccosA
2、2.推论：cosAb2c2a2. . 2 bccosB2 ac2b21余弦定理：b22 ac22 accosB2 acc22 ba22 bacos Ccos C2 bc2a23. 两类余弦定懂得三角形的问题：2 ab1已知三边求三角. 2已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c, 1 2r apbac =abc=2R 2sinAsinBsinC其中 r 为三角形内切圆半径1.S1 2ah a1 2absinC4R2. 设p1abc,Sp ppc 海伦公式 b 2【三角形中的常见结论】1ABC2 sinABsinC cosABcosC,tanABtanC,
3、C,cosA2BsinC 2;sinCsinA2Bcos2c3假设ABCabsinAsinB假设sinAsinBsinCabcABC大边对大角,小边对小角4三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边5 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值a,b,c任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值成等比数列 .6C 中, A,B,C 成等差数列的充要条件是B60. 7C 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列,且二、题型汇总题型 1【判定三角形外形】判定三角形的类型1利用三角形的边角关系判定三角形的外形: 判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转
4、化,统 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一成边的形式或角的形式. c c c2A 是直角A 是钝角A 是锐角ABC是直角三角形2在ABC 中,由余弦定理可知:a a a2b b b2222ABC是钝角三角形222ABC是锐角三角形留意：A 是锐角ABC是锐角三角形2. ab,试判定ABC 外形 . 3 假设sin2Asin2B,就 A=B或AB例 1. 在ABC 中,c2 bcosA,且abcabc3题型 2【解三角形及求面积】一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,cb叫做三角形的元素. 已知
5、三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 . ,求的值C3例 2. 在ABC 中,a1,b3,A300例 3. 在ABC 中,内角A,B,C对边的边长分别是a,c,已知c2,假设ABC 的面积等于3 ,求a,b；ABC 的面积假设2sin2A,求sinCsinBA题型 3【证明等式成立】证明等式成立的方法：1左C右, 2右a,左, 3左右相互推 . ccosB. 例 4. 已知ABC 中,角A,B,的对边分别为b ,c,求证：abcos C2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型 4【解三角形在实际中的应用】实
6、际问题中的有关概念：仰角俯角方位角方向角1仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角 如图 12方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 如图 23方向角：相对于某一正方向的水平角 如图 3 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 北 偏 西 即 由 指 北 方 向 逆 时 针 旋 转 到 达 目 标 方 向 南 偏 西 等 其 他 方 向 角 类似例 5如下图,货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角为 140的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔A 的方位角为
7、 110,航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65,就货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少？3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解三角形高考题精选1ABC的三个内角为A、 、C,求当A 为何值时, cosA2cosB2C取得最大值,并求出这个最大值；解：由ABC,得B2C2A,所以有cosB2CsinA.A3.c 22cosA2cosB2CcosA2sinA12sin2A2sinA2sinA12222222当sinA1, 即A3时,cosA2cosB2C取得最大值3.22232.；设锐角三角形A
8、BC 的内角 A 、B、C 的对边分别为a、b、c,a=2bsinA ；求 B 的大小；求cosAsinC的取值范畴；解：由a=2bsinA,依据正弦定理得sinA=2sinBsinA ,所以sinB1,2由ABC为锐角三角形得B；6 cosAsinCcosAsinAcosAsin6AcosA1cosA3sinA3 sinA3；22由ABC为锐角三角形知,2A2B ,2B263；2 3A36,所以1 2sinA33；由此有33sinA333,222所以, cosA+sinC 的取值范畴为3 3,2 2；3设ABC的内角 A, ,C所对的边长分别为a, ,c,且acosBbcos5求 tanAc
9、otB 的值；求 tanAB 的最大值4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由正弦定理得：a=b=c=2R,33cosC3cosAsinC,sin Asin Bsin ca=2R sin A,b=2R sin B,c=2rsin CacosBbcosA3c,2RsinAcosB2Rsin BcosA=32R sinC55sin AcosBsin BcosA=3sin A+B5sin AcosBsin BcosA=3sin AcosB+3cosAsinB552sin AcosB=8sin BcosA,两边同除以2
10、sinBcosA 555tanAcotB=4.由第知,tanA=4tanB,tanA=4tanB,而tanAB=tanAtanB=3tanB=11+ tanA tanB1+4tan B 2+4tanB4tanB当且仅且1=4tanB,tanB=1时“ ” 成立；tanB22b,且 sinA4. 在ABC 中,内角 A、B、C的对边长分别为a 、b 、c ,已知a2c2求 b 解法一：在ABC中sinAcosC3cosAsinC,就由正弦定2理及.余弦定理有 :a.a2c2a2.c,化 简 并 整 理 得 ：2a2cb2又 由 已 知2 bc23b22ab2 bca2c22 b4b2 b . 解
11、得b4 或b0舍）. 解法二 : 由余弦定理得 : 2 2 2a c b 2 bc cos A . 2 2又 a c 2 b , b 0；所以 b 2 cos A 2 又 sin A cos C 3cos A sin C ,sin A cos C cos A sin C 4cos A sin Csin A C 4cos A sin C ,即 sin B 4cos A sin C由正弦定理得 sin B b sin C,c5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故b4 cosA 2 c ,求 C ；由,解得b4；5. 已
12、知ABC 的内角 A , B 及其对边 a, b满意abacotAbcotB ,求内角 C 解：由abacotAbcotB 及正弦定理得sinAsinBcosAcosBsinAcosAcosBsinB从而 sinAcos4cosAsin4cosBsin4sinBcos4sinA4sin4B又 0AB故A44BAB2所以C26. 12 ABC的内角 A 、 B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知 cosACcosB1,a7如图,在ABC中, ABC90 , AB3 ,BC1,P为 ABC内一点, BPC90 . 1 假设 PB1,求 PA；2 2 假设 APB150 ,求 tan PBA.
13、 解： 1 由已知得 PBC60 ,所以 PBA30 .在 PBA中,由余弦定理得PA 231231 2cos 307. 44故 PA7. ,22 设 PBA ,由已知得PBsin . 在 PBA中,由正弦定理得3sinsin150sin30化简得3 cos 4sin . 所以 tan 3,即 tan PBA3. 446 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b ,c,已知2cosCacosBbcosA c. 求 C ；假设c7,ABC的面积为323. 求ABC的周长 . 解：（
14、I） 由已知及正弦定理的,9. 2cosCsinAcosBsinBcosA sinC,C与D现测得即2cosCsinABsinC,故2sinCcos CsinC,可得cosC1,C32（II）由已知,1absinC323,2又C3,ab6,由已知及余弦定理得,a2b22 abcosC7,故a2b213,从而ab225,ABC的周长为57如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点BCD,BDC,CDs,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为,求塔高 AB BCDCBD解：在中,由正弦定理得sinBCCDsinBDCsinCBD所以BCCDsinBDCssinsinCBDsi
15、n在ABC中ABBCtanACBstansin7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10如图 , 甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于A 1处时 , 乙船位于甲船的北偏西105 的方向B 处, 此时两船相距20 海里 . 当甲船航行20 分钟到达A 处时 , 乙2 海里 , 问乙船每小时航行多少海里船航行到甲船的北偏西120 方向的B 处, 此时两船相距 10. 解：如图,连结A B ,A B 210 2,A A 22030 210 2,60A A B 是等边三角形,B A B 21056045,在A B B 中,由余弦定理得2 B B 22 A B 12 A B 22A B 1A B 2cos4520210 22220 10 22200,2B B 210 2.因此乙船的速度的大小为1026030 2.20答：乙船每小时航行30 2 海里 . 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页