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1、高中数学必修5_第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5_第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1正弦定理:asinAbsinBcsinC2R(R为三角形外接圆的半径).2.正弦定理的一些变式：iabcsinAsinBsinC；iisinAa2R,sinBb2R,sinCc2R；2Riiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；（4）3两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.abcsinAsinBsinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）4.在ABC中
2、，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccosA2221余弦定理：bac2accosB222cba2bacosC222bcacosA2bc222acb.cosB2ac222baccosC2ab2.推论：设a、b、c是C的角、C的对边，则：若abc，则C90；若abc，则C90；若abc，则C903.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1absinC1r
3、(abc)（其中r为三角形内切圆半径）2222.设p12(abc),Sp(pa)(pb)(pc)(海伦公式)【三角形中的常见结论】（1）ABC(2)sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,AB2C2AB2C2sincos,cossin;sin2A2sinAcosA,（3）若ABCabcsinAsinBsinC若sinAsinBsinCabcABC（大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60(6)锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三
4、边的平方.钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值（7）ABC中，A,B,C成等差数列的充要条件是B60.(8)ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.abcA是直角ABC是直角三角形222（2）在ABC中，由余弦定理可知:abcA是钝角ABC是钝角三角形222abcA是锐角ABC是锐角三角形222（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）(3)若sin2Asin2B，则A=B或AB2.例1.在A
5、BC中，c2bcosA，且(abc)(abc)3ab，试判断ABC形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC中，a1，b例3.在ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，已知c2，C3，A300，求的值3（）若ABC的面积等于3，求a,b；（）若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.例4.已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，求证：abcosCccos
6、B.题型4【解三角形在实际中的应用】仰角俯角方向角方位角视角例5如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:csinA:sinB:sinC.1正弦定理:sinAsinBsinC推论：定理：若、0，且+，则sinsin，等号当且当=时成立。判断三角解时
7、，可以利用如下原理：sinAsinBABabcosAcosBAB（ycosx在(0,)上单调递减）b2c2a2cosA2bca2b2c22bccosA2a2c2b2222余弦定理：bac2accosB或cosB.2acc2b2a22bacosCb2a2c2cosC2ab3（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5三角形中的基本关系：sin(A
8、B)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,sin已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCcos,cossin,tancot222222一般解法由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。定理应用正弦定理两边和夹角(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解时有一解。三边(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180，求出角C在有解时只有一解。解三角形基础训练A组一、选择题1在ABC中，若C900,a6,B300，则cb等于（）A1B1C23D2
9、32若A为ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）AsinABcosACtanAD1tanA3在ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则ABC的形状是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形4等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60，则底边长为（）A2B03C3D2325在ABC中，若b2asinB，则A等于（）A30或60B45或60C120或60D30或1506边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A90B120C135D150000000000000二、填空题01在RtABC中，C90，则sinAsinB的最大值是_。2在ABC中，若abb
10、cc,则A_。3在ABC中，若b2,B30,C135,则a_。4在ABC中，若sinAsinBsinC7813，则C_。5在ABC中，AB0022262,C300，则ACBC的最大值是_。三、解答题1在ABC中，若acosAbcosBccosC,则ABC的形状是什么？abcosBcosAc()baba3在锐角ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。2在ABC中，求证：4在ABC中，设ac2b,AC3,求sinB的值。解三角形综合训练B组一、选择题1在ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（）A1:2:3B3:2:1C1:3:2D2:3:12在ABC中，若角B
11、为钝角，则sinBsinA的值（）A大于零B小于零C等于零D不能确定3在ABC中，若A2B，则a等于（）A2bsinAB2bcosAC2bsinBD2bcosB4在ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，则ABC的形状是（）A直角三角形B等边三角形C不能确定D等腰三角形5在ABC中，若(abc)(bca)3bc,则A()A90B60C135D1506在ABC中，若a7,b8,cosC0000131111，则最大角的余弦是（）ABCD1457在ABC中，若tanABa2bab，则ABC的形状是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形二、填空题1若在AB
12、C中，A600,b1,SABC3,则abcsinAsinBsinC=_。2若A,B是锐角三角形的两内角，则tanAtanB_1（填或ab等于（）cABABABABA2cosB2cosC2sinD2sin22222在ABC中，若C900,则三边的比3在ABC中，若a7,b3,c8，则其面积等于（）A12B21C28D63204在ABC中，C90，0A45，则下列各式中正确的是（）00AsinAcosABsinBcosACsinAcosBDsinBcosB5在ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A（）A90B60C120D1500000tanAa22，则ABC的形状是（）6在ABC中，若ta
13、nBbA直角三角形B等腰或直角三角形C不能确定D等腰三角形二、填空题1在ABC中，若sinAsinB,则A一定大于B，对吗？填_（对或错）2在ABC中，若cosAcosBcosC1,则ABC的形状是_。3在ABC中，C是钝角，设xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,则x,y,z的大小关系是_。4在ABC中，若ac2b，则cosAcosCcosAcosC2221sinAsinC_。35在ABC中，若2lgtanBlgtanAlgtanC,则B的取值范围是_。6在ABC中，若bac，则cos(AC)cosBcos2B的值是_。2三、解答题1在ABC中，若(ab)sin(AB)(ab)
14、sin(AB)，请判断三角形的形状。2如果ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB,求ABC的面积的最大值。22223已知ABC的三边abc且ac2b,AC2，求a:b:c4在ABC中，若(abc)(abc)3ac，且tanAtanC33，AB边上的高为43，求角A,B,C的大小与边a,b,c的长基础训练A组一、选择题b001.Ctan30,batan3023,c2b44,cb23a2.A0A,sinA03.CcosAsin(4.D作出图形5.Db2asinB,sinB2sinAsinB,sinA2A)sinB,2A,B都是锐角，则2AB,AB2,C21,A3
15、00或150025282721,600,18006001200为所求6.B设中间角为，则cos2582二、填空题1111.sinAsinBsinAcosAsin2A222b2c2a21AA,10202.120cos2bc203.62A15,0abbsinA62,a4sinA4sin1504sinAsinBsinB404.120abcsinAsinBsinC7813，a2b2c21,C1200令a7k,b8k,c13kcosC2ab2ACBCABACBCAB,ACBCsinBsinAsinCsinBsinAsinCABAB2(62)(sinAsinB)4(62)sincos22AB4cos4,(
16、ACBC)max42三、解答题5.41.解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosCsin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosCcos(AB)cos(AB),2cosAcosB0cosA0或cosB0，得A所以ABC是直角三角形。2或B2a2c2b2b2c2a22.证明：将cosB，cosA代入右边2ac2bca2c2b2b2c2a22a22b2)得右边c(2abc2abc2aba2b2ab左边，abbaabcosBcosAc()baba3证明：ABC是锐角三角形，ABsinAsin(2,即2A2B0B)，即sinAc
17、osB；同理sinBcosC；sinCcosA2sinAsinBsinCcosAcosBcosCACACBBcos4sincos，4.解：ac2b,sinAsinC2sinB，即2sin2222sinBB1AC3B13，而0,cos，cos22222424sinB2sinBB31339cos222448综合训练B组一、选择题1.CA6,B3,C2,a:b:csinA:sinB:sinC132:1:3:22222.AAB,AB，且A,B都是锐角，sinAsin(B)sinB3.DsinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB4.DlgsinAsinAlg2,2,sinA2cosBsinCc
18、osBsinCcosBsinCsin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,sin(BC)0,BC，等腰三角形5.B(abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,22b2c2a21sA,bca3bc,coA2bc22220606.Ccab2abcosC9,c3，B为最大角，cosB22217ABABsinABabsinAsinB22，7.Dtan2absinAsinB2sinABcosAB222cosABAB2,tanAB0，或tanAB1tanAB222tan2所以AB或AB2tan二、填空题1.113239SABCbcsinAc22233c,a42,a13,13ab
19、ca13239sinAsinBsinCsinA332sin(B)22.AB,AB，即tanAtan(B)222cos(B)2cosB11,tanAtanB1，tanAsinBtanBtanBsinBsiCnBtaCn3.2tancosBcoCssinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinA1cosBcosCsinAsinA24.锐角三角形C为最大角，cosC0,C为锐角8433bca311045.60cosA2bc6222(31)22222222a2b2c6(5,13)a2c2bc2b2a13c2222,4c9,5c13,5c1322c942三、解答题1.解：SABC21bcsinA
20、3,bc4,22abc2bcosA,b所以b1,c42c，而5cb2.证明：ABC是锐角三角形，ABsinAsin(2,即2A2B02B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosAsinAsinBsinCcosAcosBcosC,tanAtanBtanC13.证明：sinAsinBsinC2sinsinAsinBsinC1cosAcosBcosCABABcossin(AB)22ABABABAB2sincos2sincos2222ABABAB2sin(coscos)222CAB2cos2coscos222ABC4coscoscos222ABCsinAsinBsinC4cosco
21、scos222aba2acb2bc1，只要证1，4证明：要证2bcacabbcacc即abcab而AB120,C6000222a2b2c22cosC,ab2c22abcos600ab2ab原式成立。CA3bccos22221cosC1cosA3sinBsinCsinA222即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB5证明：acos2sinAsinCsin(AC)3sinB即sinAsinC2sinB，ac2b提高训练C组一、选择题1.CsinAcosA2sin(A),4而0A,2.B4A452sin(A)1424absinAsinBsinAsinBcsinCABABABcos
22、2cos2sin2221103.DcosA,A60,SABCbcsinA63224.DAB90则sinAcosB,sinBcosA，00A450,sinAcosA，450B900,sinBcosB5.Cacbbc,bcabc,cosA22222201,A12022sinAcosBsin2AcosBsinA,sinAcosAsinBcosB6.BcosAsinBsin2BcosAsinBsinA2sinB2A,2或B2A2B2二、填空题1.对sinAsinB,则2.直角三角形ababAB2R2R)1,1(1cosA21coBs2)2cAosB(21(cos2Acos2B)cos2(AB)0,2c
23、os(AB)cos(AB)cos2(AB)0cosAcosBcosC03.xyzAB2,A2B,siAncBosB,sinAycosz,cab,sinCsinAsinB,xy,xyzACACACAC,2sincos4sincos2222ACACACACcos2cos,coscos3sinsin2222221C2Asin2则sinAsinC4sin3221cosAcosCcosAcosCsinAsinC3AC(1cosA)(1cosC)14sin2sin222ACAC2sin22sin24sin2sin2112222tanAtanC25.,)tanBtanAtanC,tanBtan(AC)32t
24、anAtanC1tanAtanCtanBtan(AC)2tanB1AsiCn41sin2sBintan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanBtan3B3tanB,tanB0tanB3B322(C)cosBco2sB61bac,sinBsinAsinC,cosAcosAcosCsinAsinCcosB12sin2BcosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinCcosAcosCsinAsinCcosB1cos(AC)cosB11三、解答题a2b2sin(AB)a2sinAcosBsin2A1.解：2,222absin(AB)bcosAsinBsinBcosBsiAn
25、,sinA2cosAsiBn等腰或直角三角形siBn2A,2B或22AB22.解：2RsinAsinA2RsinCsinC(2ab)sinB,asinAcsinC(2ab)sinB,a2c22abb2,a2b2c22abc2ab,cosC,C4502ab2222c2R,c2RsinC2R,a2b22R22ab,sinC2R22R2abab2ab,ab222221222R2SabsinCab,Smax24422另法：S212R2122absinCab2RsinA2RsinB24422RsinA2RsinB2R2sinAsinB412R2cos(AB)cos(AB)2122R2cos(AB)222
26、R22(1)22Smax212R此时AB取得等号2ACACACACcos4sincos22223.解：sinAsinC2sinB,2sinsinB1AC2B14BB7cos,cos,sinB2sincos222424224AC2,ACB,A3BB,C4242sinAsin(33371B)sincosBcossinB4444sinCsin(B)sincosBcossinB444714a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)4.解：(abc)(abc)3ac,acbac,cosB2221,B6002tan(AC)tanAtanC33,3,1tanAtanC1tanAtanCtanAtanC23，联合tanAtanC3300tanA23tanA1A75A45或或得，即00tanC1C45C75tanC23当A750,C450时，b434(326),c8(31),a8sinA4346,c4(31),a8sinA当A450,C750时，b000当A75,B60,C45时，a8,b4(326),c8(31),当A45,B60,C75时，a8,b46,c4(31)。000第 10 页 共 10 页