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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 必修五 第一章 解三角形一、考点列举1、正弦定理的懂得与应用2、余弦定理的懂得与应用二、常考题型1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些简洁三角形例 1、 在 ABC中,依据以下条件,求三角形的面积 S（精确到 0.1cm2）（1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ; （2）已知 B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有亲密的关系,我们可以应用解三角形面积的
2、学问,观看已知什么, 尚缺什么？求出需要的元素,就可以求出三角形的面积；解：（1）应用 S=1 acsinB ,得 2 90.9cm2 S=114.823.5sin148.522依据正弦定理,bB = cC5+ 65.8=51.5sinsin c = bsinCsinBS = 1 bcsin A = 21 b 22sinCsinAsinBA = 180-B + C= 180-62.7S = 13.162sin65 .8sin51 .4.0cm2 sin627.23依据余弦定理的推论,得cosB =c2a2b22ca=38. 7241 .424127. 32238. 7. 40.7697 名师归
3、纳总结 sinB = 12 cosB10. 769720.6384 第 1 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 应用 S=1 acsinB ,得 2S 141.438.70.6384 511.4cm2 联想到2例 2、在ABC中,求证：（1）a2c2b2sin2A2sin2B;sinC观看式子左右两边的特点,（2）2 a +b2+2 c =2（bccosA+cacosB+abcosC ）分析： 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,用正弦定理来证明证明：（1）依据正弦定理,可设明显 kaA = bB = c = k k2sin2Bs
4、insinsinC0,所以左边 =a2c2b2k2sin2A =k2sin2Csin2A2sin2B=右边sinC（2）依据余弦定理的推论,右边 =2bc b 2 c 2 a 2+ca c 2 a 2 b 2+ab a 2 b 2 c 22 bc 2 ca 2 ab =b 2 +c 2 - a 2 +c 2 +a 2 -b 2 +a 2 +b 2 -c 2 =a 2 +b 2 +c 2 =左边2、利用正余弦定理测量和几何运算有关的实际问题 .例 1、如图,一艘海轮从 A 动身,沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛B,然后从 B动身 , 沿北偏东 32 的方向航行 54
5、.0 n mile 后达到海岛 C.假如下次航行直接从A动身到达 C,此船应当沿怎样的方向航行 , 需要航行多少距离 . 角度精确到 0.1 , 距离精确到 0.01n mile 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：在ABC中,ABC=180 - 75+ 32=137,依据余弦定理,AC=AB22BC222ABBCcosABC =67. 554 .0267 . 554. 0cos 137113.15 依据正弦定理 , sin = sinBC CAB = ACsinABCCAB = BC sinABCAC54.0s
6、in137113.150.3255, 所以 CAB =19.0 , 75- CAB =56.0答: 此船应当沿北偏东 56.1 的方向航行 , 需要航行 113.15n mile 例 2、在某点 B处测得建筑物 AE的顶端 A 的仰角为,沿 BE方向前进 30m,至点 C处测得顶端 A的仰角为 2,再连续前进 10 3 m至 D点,测得顶端 A 的仰角为 4,求 的大小和建筑物 AE的高；解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在 ACD中,名师归纳总结 AC=BC=30,第 3 页,共 17 页 AD=DC=103 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A
7、DC =180 -4,103=sin304；数列sin2180由于 sin4=2sin2cos2cos2=3 , 得 2 2=30=15,在 RtADE中, AE=ADsin60=15 答：所求角为 15,建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x,AE=h 在 RtACE中,103 + x2 + h2 =302在 RtADE中,x2 +h2 =103 2两式相减,得x=53 ,h=15 在 RtACE中,tan2=10hx=3332=30,=15答：所求角为 15,建筑物高度为15m 其次章一、考点列举1、数列的概念和简洁表示法 2、等差数列的概念及其表示 3、等比数列的概念及
8、其表示 4、简洁数列求和 二、常考题型1、等差数列、等比数列的概念.pnq,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一例 1 已知数列 a 的通项公式an定是等差数列？如是,首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义,要判定a n是不是等差数列,只要看anan1（n2）是不是一个与 n 无关的常数；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：当 n2 时, （取数列an中的任意相邻两项an1与a （n2）a nan1pnq p n1qpnqpnpqp为常数a 是等差数列,首项a1pq,公差为 p；a 9. 而要求通项
9、公式,必需知例 2 在等差数列 a 中,如 na +a =9, 6a =7, 求a 3, 分析： 要求一个数列的某项,通常情形下是先求其通项公式,道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公 差）,此题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手 ,解 ： a n 是等差数列1a +a =a +a 3=9a =9a =97=2 a =32 9ac ,2 cab依次成等差数 d=a a =72=5 a = 9a +94d=7+5*5=32 a 3=2, 例3. 已知a,b,c依次成等差数列,求证：a2bc ,b2列. b2分 析 ： 要 证 三 个
10、 数2a2bc ,2 bac ,c2ab成 等 差 数 列 , 只 需 证 明 等 式 ：aca2bc c2 b,即证2 b2ac a2bc c2ab 成ab ac 立. 名师归纳总结 证明：a,b ,c成等差数列,bd,cbd,第 5 页,共 17 页bacbd,ca2d（ 设 其 公 差 为 d）,aa2bc c2ab a2ab c2bc a ab c cb adcddca d2d2 d2.ab成等差数列 . 又b2acb2 bdbd2 bb2d2d2,a2bc 2 cab 2 b2ac ,a2bc ,b2ac ,2 c例 4、 等差数列a n中：（1）假如a 511 ,a 85,求数列的
11、通项公式（2）假如a 1a 5a 9a 15a 17117 ,求a 3a 11.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：（ 1）求等差数列的通项公式只要求a、1d两个量即可解：（法 1）由题意a5a 14 d11a 119an19 n12 ,19,故an212 n .a 8a 17d5d2故数列的通项公式为an212 n .2 ,a 5a 14da 1（法 2）a 8a 55113 dd分析：（2）明显不能通过已知条件求出数列的通项公式,的关系只有查找已知条件和所求问题解：a 1a 5a 9a 15a 17117a 16 d117 ,a n而a 3a
12、112 a 112 d2 a 16 d234 .例 5、等比数列a n中a 2a 766 ,a 3a 6128,求等比数列的通项公式分析： 求等比数列的首项为a , q 两个参数即可解：（法 1）设等比数列的道项为a ,公比为 q ,由题意a2a766a 1 qa2q666,a3a 61282 a 1q7128.以下求解a , q 不易找到思路转换思路,利用等和列的性质,不难得以下解法名师归纳总结 （法 2）设等比数列的首项为a ,公比为 d ,由题意,a 2a 440,求该数列的第11第 6 页,共 17 页a 2a 766a 2a 766 ,a 3a 6128a 2a 7128 .故a 2
13、, a 7为方程x266x1280的两个根解得a 22或a 264a 11或a 1128 ,1 2.a 764a 72q2q所以数列通项公式为a nn 21或an8 n 2 .例6、在等比数列a n中,已知a 1a 320项a - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 第一依据已知条件求出等比数列的通项解： 设首项为1a ,公比为 q ,就34,求前 20 项之和a 1a 1q220 1 a1qa 1 q3402 2 1 得：q2,将q2代入（ 1）,得a 14,所以,a 11a 110 q4 2 1040962、等差数列、等比数列的通项公式与前n 项
14、和公式 .例 1、在等差数列an中,已知a6a 9a 12a 15分析： 此题可以用等差数列的通项公式和求和公式求 的性质求解a , d 求解；也可以用等差数列名师归纳总结 解： 法一由a 6a 9a 12a 154a 138 d34.由S 2020a 120219d第 7 页,共 17 页20 1190 d5 4 a 138 d534170法二由S 20a 12a 202010a 1a 20,而a 6a 15a 9a 12a 1a 20,所以a 1a2017,所以a 201017170例2、 等差数列a n和b n的前 n 项和分别为S 和 nT ,如对一切正整数 nn 都有S n3 n2,
15、求a 11的值 . T n2 n1b 11分析：由S 、nT 的通项公式可求得 na 、nnb 的通项公式,利用等差数列前n 项和公式的特点先假设公式的形式. 解法一 ：令S n3 n2 n3 n22n ,T n 2n1 n2n2n,就当n,2nN*时,有anS nS n16 n5 ,b nT nT n14 n1,所以a 11611561.b 11411143解法二：a 112a11a 1a2121 a 1a212S 21S 21321261.b 112 b 11b 1b 2121 b 1b 212T 21T 21221143例 3、设a n为等差数列,S 为数列a n的前 n 项和,已知S
16、77,S 1575,T n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为数列Sn的前 n 项和,求T n分析： 由题设条件,不难求出a 和 d ,从而可得S ,再进一步探求Sn,看能否与n等差或等比数列沟通解： 设等差数列 a n 的公差为 d ,就1Sn na 1 n n 1 d2由 S 7 7,S 15 75,得7 a 1 21 d ,715 a 1 105 d 75 ,即a 13 d,1解得1a2,d1. a 17 d5 ,Sna 11n1 d21n1 n22S n1S n11 的等差数列,2n1n2数列Sn 是首项为 n2 ,公差为故Tn1n29n443
17、、详细的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关学问解决相应的问题 .例 1、有如干台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的小麦,如同时投入工作至收割完毕需用 24 小时；但它们是每隔相同的时间次序投入工作的,每台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕,假如第一台收割时间是最终一台的 5 倍,求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间分析： 这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列,按所规定的方法收割,所需要的时间等于第一台收割机所需的时间,即求数列的首项名师归纳总结 解：设从每台投入工作起,这 n 台收割机工作的时间依次为a ,a ,a , ,a 小时第 8 页,共 17 页依
18、题意,a n是一个等差数列,且每台收割机每小时的工作效率为1,就有24na 15 a n, 1a 1a2an1 224 n24 n24 n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由（ 2）,得a 1a 2a n24 n,即na 12an24n,21 升亦即a 1a n48（3）由（ 1）,（3）得1a40故用这种方法收割完这片土地上的全部小麦共需40 小时例 2、从盛满 a 升（a1）纯酒精的容器里倒出1 升,然后填满水,再倒出混合溶液后又用水填满,如此连续下去问第n 次操作后溶液的浓度是多少？如a,至少应倒几次后才能使酒精浓度低于10%？分析： 这是一道数
19、学应用题解决应用问题的关键是建立数学模型,使实际问题数学化留意到开头浓度为 1,操作一次后溶液浓度是 a 1 1 1.操作二次后溶液浓度是a1 1a 2 a 1 1 , , ,操作 n 次后溶液浓度是 a n a n 1 1 .就不难发觉,每次操作后溶液a a浓度构成等比数列,由此便建立了数列模型解决数列问题, 便可能达到解决实际问题之目的解： 设每次操作后溶液浓度为数列a n,就问题即为求数列的通项ananfn 依题意,知原浓度为1,a 111,a 2a111, , ,an1 11aaaa n构成以首项a 111,公比q11的等比数列,aa所以,a na 1qn1 11 11n111n,aa
20、a故第 n 次操作后酒精浓度是 11na当a2时,由an1n1,得n4. 210因此,至少应操作4 次后,才能使酒精浓度低于10%其次章不等式及其解法一、考点列举1、不等式的关系及其性质2、一元二次不等式的解法3、二元一次不等式组与简洁线性规划4、基本不等式二、常考题型名师归纳总结 1、明白现实世界和日常生活中的不等关系,会利用不等式的性质证明不等式第 9 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1已知 a,b,cR +,求证： a 3+b 3+c33abc【分析】用求差比较法证明证明： a 3+b 3+c 3-3abc=a+b 3+c
21、3-3a 2b-3ab 2-3abc =a+b+ca+b 2-a+bc+c 2-3aba+b+c =a+b+ca 2+b 2+c 2-ab-bc-ca a,b,cR +, a+b+c0c-a 20 即 a 3+b 3+c 3-3abc 0,a 3+b 3+c 33abc例 2 已知 a,bR +,求证 a ab ba bb a【分析】采纳求商比较法证明证明： a,bR +, a bb a0 例 3 已知 a、b、c 是不全等的正数,求证：名师归纳总结 ab2+c 2+bc2+a 2+ca2+b 2 6abca 2+b 22ab第 10 页,共 17 页【分析】采纳综合法证明,利用性质- - -
22、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： b 2+c 22bc,a0,ab 2+c 2 2abc同理 bc 2+a 2 2abc ca 2+b 2 2abc a,b,c 不全相等,中至少有一个式子不能取“=” 号 +,得 ab 2+c 2+bc 2+a 2+ca 2+b 2 6abc综上所述,当 a0,b0,必有 a ab ba bb a2、通过函数图像明白一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系例 1 不等式2 mxx28 xx2040的解集为 R ,求实数 m 的取值范畴2 m19 m解：当时,并不恒成立；当 时,就得名师归纳总结 - - - -
23、- - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2、如函数的值域为,求实数 的取值范畴解：令,就须取遍全部的正实数,即,而例 3、解不等式：解：当时,；当 时,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、会从实际情境中抽象出一些简洁的二元线性规划问题,并能加以解决例 1（1）求的最大值,使式中的、满意约束条件（2）求的最大值,使式中的、满意约束条件解：（1）作出可行域；（2）令,就,当直线和圆相切时,例 2、制订投资方案时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能显现的亏损,某
24、名师归纳总结 投资人准备投资甲、乙两个项目,依据猜测,甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%第 13 页,共 17 页和 50%,可能的最大亏损率分别为30%和 10%,投资人方案投资金额不超过10 万元,要求确- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资目标函数万元, y 万元,由题意知（0,18）（0,10）M （4,6）（10,0）O （6,0）x 作 出 可 行 域 , 作 直 线, 并 作 平 行 于 直 线的 一 组
25、直 线,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线的距离最大,这里M点是直线和 0.3x+0.1y=1.8的交点,解方程组解得 x=4,y=6 ,此时 z=1 4+0.5 6=7（万元） 70 当 x=4、y=6 时 z 取得最大值；答：投资人用4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下,使可能的盈利最大；名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、会用基本不等式解决简洁的最大（小）值问题例 1 设,就函数在=_时,有最小值_解：例 2 以下各函数中,最小值为的是
26、 AB,C D名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：D 对于 A：不能保证,对于 B：不能保证,对于 C：不能保证,对于 D：例 3 假如,就的最大值是 A BC D解： D 设例 4、一批货物随17 列货车从 A 市以 v km/h 的速度匀速直达B 市；已知两地铁路线长400 km,为了安全,两列货车的间距不得小于 这批货物全部运到 B 市最快需要多少小时？（货车长度忽视不计） ,那么名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：这批货物从A 市全部运到B 市的时间为名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页