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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较 摘 要 在生产和科研中显现的函数是多样的；对于一些函数很难找出其解读表达式；即使在某些情形下,可以写出函数的解读表达式,但由于解读表达式的结构相当复杂,使用起来很不便利；插值法即是解决此类问题的一种古老的、然而却是目前常用的方法,它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学争论中,而且也是进一步学习数值运算方法的基础；拉格朗日插值法和牛顿插值法就是二种常用的简便的插值法；本文即是争论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者的比较； 关键词 拉格朗日插值牛顿插值插值多项式比较一、 背景在工程和科学争论中显现的函数是多种多样
2、的；经常会遇到这样的情形：在某个实际问题中,虽然可以肯定所考虑的函数fx在区间a,b上存在且连续,但却难以找到它的解读表达式,只能通过试验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）；显然,要利用这张函数表来分析函数f x 的性态,甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是特别困难的；面对这些情形,总期望依据所得函数表（或结构复杂的解读表达式）,构造某个简洁函数P x作为fx的近似；这样就有了插值法,插值法是解决此类问题目前常用的方法；如设函数 y f x 在区间 a , b 上连续,且在 n 1 个不同的点 a x 0 , x 1 , , x n b 上分别取值 y 0 , y 1 , , y
3、 n；插值的目的就是要在一个性质优良、便于运算的函数类 中,求一简洁函数 P x ,使Px iyii0, 1 ,nf,xn为插值节点,称式Px iy i为插值而在其他点xix上,作为f x 的近似；通常,称区间a,b为插值区间,称点x0,x 1,条件,称函数类为插值函数类,称Px为函数x在节点x0,x 1,xn处的插值函数；求插值函数P x的方法称为插值法；Px 靠近fx的成效就不同；它的选插值函数类的取法不同,所求得的插值函数择取决于使用上的需要,常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等；当选用代数多项式作为插值函数时,相应的插值问题就称为多项式插值；本文争论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就
4、是这类插值问题；名师归纳总结 在多项式插值中,最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式第 1 页,共 7 页Px a0a 1xanxn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 使P nx iy i i0 ,1,n ,其中,a 0,a 1,a n为实数；拉格朗日插值法即是寻求函数Lnx （拉格朗日插值多项式）近似的代替函数fx；相像的,牛顿插值法就是通过N nx （牛顿插值多项式）近似的求得函数的值；二、 理论基础（一）拉格朗日插值法名师归纳总结 - - - - - - -在求满意插值条件n 次插值多项式Pnx之前,先考虑一个简洁的插值问题：对节点
5、xii0 ,1,n 中任一点xk 0kn ,作一 n 次多项式l kx,使它在该点上取值为1,而在其余点xi i0, 1 ,k,1k,1,n 上取值为零,即lkxi1ik0ik上式说明 n 个点x 0,x 1,x k1,xk1,x n都是 n 次多项式l kx 的零点,故可设lkx A kxx 0xx 1xxk1xx k1xxn1其中,A 为待定系数；由条件lkx k1立刻可得Akxkx0xkxk11xkxk1xkx n故lkx xxx 0xx k1xx k1xxnkx 0x kx k1x kxk1x kx n由上式可以写出n1个 n 次插值多项式l0x ,l1x ,lnx ；我们称它们为在n
6、1个节点x 0,x 1,x n上的 n 次基本插值多项式或n 次插值基函数；利用插值基函数立刻可以写出满意插值条件的n 次插值多项式y0l0x y 1 l1x y nlnx根 据 条 件lkx i1ik, 容 易 验 证 上 面 多 项 式 在 节 点ix 处 的 值 为0ikyii0,1,n,因此,它就是待求的n 次插值多项式Pnx ；形如y 0l0xy 1l 1x y nlnx 的插值多项式就是拉格朗日插值多项式,记为Ln x ,即第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - Lnx y 1l 1x y2l2xy nlnx xx 0xx k1xxk1xxnx kx
7、 0x kx k1xkx k1x kx n作为常用的特例,令n1,由上式即得两点插值公式L 1x y0y 1y0xx 0,这是一个线性函数,故又名线性插值；x 1x0如令n1,就又可得到常用的三点插值公式L 2x y0xx 1x0x2y 1xx0xx 2y2xx 0xx 1x 0x 1xx2x 1x0x 1x 2x2x 0x 2x 1这是一个二次函数,故又名二次插值或抛物插值；（二）牛顿插值法由 线 性 代 数 知 , 任 何 一 个 不 高 于 n 次 多 项 式 , 都 可 以 表 示 成 函 数名师归纳总结 - - - - - - -,1xx 0,xx 0xx 1,xx0xx 1xxn1
8、的线性组合；既可以吧满意插值条件P xiy ii0 ,1,n 的 n 次插值多项式写成如下形式a0a 1xx 0a 2xx 0xx 1anxx 0xx 1xxn1其中,a 为待定系数；这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式,记为Nn x ,即Nnxa 0a 1xx 0a 2xx0xx 1anxx 0xx 1xx n11因此,牛顿插值多项式N nx 是插值多项式Pnx 的另一种表示形式；设函数fx在等距节点xkx 0khk,1,0,n 处的函数值fx ky k为已知,其中h 是正常数,称步长；我们称两个相邻点x 和xk1处函数之差yk1y k为函数fx在点kx处以 h为步长的一阶向前差分,记作k
9、y ,即ykyk1y k于是,函数fx在各节点处的一阶差分依次为y0y 1y0,y 1y 2y 1,yn1yny n1又称一阶差分的差分2y kykyk1yk为二阶差分；一般的,定义函数fx在点kx 处的 m 阶差分为my km1y k1m1yk；在等距节点xkx 0khk,1,0,n 情形下,可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数；事 实 上 , 由 插 值 条 件Nnx 0y 0可 得a 0y0； 再 由 插 值 条 件N nx 1y 1可 得a 1y 1y 0y 0；一般的,由插值条件Nnx kyk可得akkky0k,12 ,n；x 1x 0h.hk第 3 页,共 7 页精选学习资料 -
10、- - - - - - - - 于是,满意插值条件Nnx iyi的插值多项式为Nnxy0y0xx02y0xx0xx1ny0xx 0xx 1xxn1h2 .h2n .hn三、二者的比较拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法；但牛顿法插值法就更 为简便,与拉格朗日插值多项式相比较,它不仅克服了“ 增加一个节点时整个运算工作 必需重新开头” （见下面例题）的缺点,而且可以节约乘、除法运算次数；同时,在牛 顿插值多项式中用到的差分与差商等概念,又与数值运算的其他方面有着亲密的关系；现用一实例比较拉格朗日插值法与牛顿插值法 例 已知函数表如下：x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0
11、.6 sinx 0.09983 0.19867 0.29552 0.38942 0.47943 0.56464 运算 sin0.12的值；利用拉格朗日插值法运算过程如下：（运算程序代码见附件）由于 0.12 位于 0.1 与 0.2 之间,故取节点x 00 ,1.x 10 2.利用线性插值所求的近似值为sin0. 12L10.120 .120.20.198670 .120.10. 099830.10.202.01.0. 119598运算结果如下图利用抛物插值所求的近似值为名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - sin.0
12、12L 10 . 12 .0 09983.0120 . 2 .0120 . 3 .0 19867.0 120 . 1 0 . 120 . 3 0 1.0 . 2 .010 3. 0 2.0 . 1 0 . 20 . 3 .029552 0 . 120 . 1 0 . 120 2. 0 3.0 . 1 0 3.0 . 2 .0 119757运算结果如下图利用牛顿插值法运算过程如下：构造差分表如下：x sinx y2y3y0.1 0.09983 0.09884 0.2 0.19867 0.09685 -0.00199 -0.00096 0.3 0.29552 -0.00295 0.09390 0.
13、4 0.38942 利用线性插值所求的近似值为sin 0 . 12 N1 0 . 12 0 . 098840 . 9983.0 2.011960利用抛物插值所求的近似值为sin 0 . 12 N20 . 12 20 . 098840 2. 0 . 210 . 00199 0 . 9983.02N10 . 12 .000016.011976从上面的运算过程可以看出,拉格朗日插值法的线性插值与抛物插值的运算过程没有继承性,即增加一个节点时整个运算工作必需重新开头；而牛顿插值就防止了这一问题,这样大量的节约了乘、除法运算次数,削减了运算的时间；因此,对于一些结构相名师归纳总结 - - - - - -
14、 -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当复杂的函数fx,牛顿插值法比拉格朗日插值法要占优势； 参考文献 1 易大义,沈云宝,李有法编 . 运算方法 . 杭州：浙江高校出版社,2002 2 冯康等编 . 数值运算方法 . 北京：国防工业出版社,1987 3 李庆阳,王能超,易大义编 . 数值分析（第四版）. 北京：清华高校出版社,施普林格出版社,2001 4Burden R L,Faires J D, Reynolds A C. Numerical Analysis. Alpine Press,1981 5 易大义,陈道琦编 . 数值分析引论 . 杭州：浙江
15、高校出版社,1998 Comparisonbetween Lagrange interpolation method andNewton interpolation method Abstract In the production and scientific researches, there appears a variety of functions. For some function, it is difficult to find out its analytical expression. Though in some cases, the analytical express
16、ions of the structure can be worked out, it is inconvenient to use them because of the complexity of structure. Interpolation method is a kind of old way to solve such problems, which is now commonly used. It is not only applied in the actual production or scientific researches directly and widely,
17、but also become the foundation of further study of numerical calculation method. Lagrange interpolation method and Newton interpolation law are two commonly used simple interpolation methods. This paper is a discussion of theory and the comparison between Lagrange interpolation method and Newton int
18、erpolation method. Key Words Lagrange interpolation , Newton interpolation , Interpolation polynomials , comparison 附件：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - #include void main float x6=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6 ；int n,k,j ；float f6=0.09983,0.19867,0.29552,0.38942,0.47943,0.56464；float p,a,sum=0；printf 输入插值次数 n 和所要求 sina 的 a 的值 :；scanf%d %f,&n,&a ；fork=0；k=n；k+ p=1； forj=0 ；j=n；j+ ifk.=jp=p*a-xj/xk-xj；sum=sum+p*fk ； printfx=%f,y=%f,a,sum ； 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页