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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高一数学必修1 各章学问点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起 就成为一个集合,其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 说明：1对于一个给定的集合,集合中的 元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这 个给定的集合的元素；2任何一个给定的集合中,任何两个元素 都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素；3集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元 素是否一样,不需考查排列次序是否一
2、样；4 集合元素的三个特性使集合本身具有了 确定性和整体性；3、集合的表示： 如我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 第 1 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队 员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法；留意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记
3、作 aA ,相反,a 不属于集合 A 记作 a.A 列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上；描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法；用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法；语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x.R| x-32或x| x-32 4、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合 第 2 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例：x|x2=
4、5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集 留意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分,；（2）A 与 B 是同一集合；反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不 包含集合 A,记作 A B 或 B A 2“相等”关系55,且 55,就 5=5 实 例 ： 设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B,假如集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说 集合 A 等于集合 B,即：A=B 任何一个集合是它本身的子集；AA 真子集:假如 AB,且 A1 B 那就说集合A是 集合 B 的真子集,
5、记作 A B或 B A 假如 AB, B C ,那么 AC 假如 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为第 3 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任 何非空集合的真子集；三、集合的运算1交集的定义：一般地,由全部属于A 且 属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作AB读作” A交B” ,即AB=x|xA,且 xB2、并集的定义：一般地,由全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集；记作
6、：AB读作” A并 B” ,即 AB=x|xA,或 xB3、交集与并集的性质：AA = A, A = , AB = BA,AA = A, A = A ,AB = BA. 4、全集与补集（1）补集：设S 是一个集合,A 是 S 的一 个子集（即 ）,由S 中全部不属于A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作： CSA 即 CSA =x | x.S 且 x.A （2）全集：假如集合S 含有我们所要讨论 的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集；通常用 U 来表示；第 4 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 29 页精选学习资料
7、- - - - - - - - - （3）性质：CUC UA=A C UAA= 二、函数的有关概念1 函数的概念：设 A、B 是非空的数集,如 果依据某个确定的对应关系f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数fx和它对应,那么就称f：AB 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数记作： y=fx,xA其 中,x 叫做自变量,x 的取值范畴 A 叫做函数的 定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值,函 数值的集合fx| xA 叫做函数的值域留意：2 假如只给出解析式 y=fx,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定
8、义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零； 2偶次方 根的被开方数不小于零； 3对数式的真数必需 大于零；4指数、对数式的底必需大于零且不 等于 1. 5假如函数是由一些基本函数通过四第 5 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部 分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零 底不行以等于零 6实际问题中的函数的定义 域仍要保证明际问题有意义.
9、又留意：求出不等式组的解集即为函数的 定义域； 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再留意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关 系打算的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义 域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关；相同函数的判定方法：表达式 相同；定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2 值域补充1、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其 定义域. 2.应熟识把握一次函数、二次函数、第 6 页 共 29
10、 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础；3. 函数图象学问归纳 1定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , xA中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐 标的点 Px,y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A的图象C 上每一点的坐标 x,y均满意函数关系 y=fx,反过来,以满意 y=fx的每一组有序实 数对 x、y 为坐标的点x,y,均在 C 上 . 即记 为 C= Px,y | y= fx , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直 线,也
11、可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只 有一个交点的如干条曲线或离散点组成；2 画法 A、描点法：依据函数解析式和定义域,求 出 x,y 的一些对应值并列表,以x,y为坐标在坐 标系内描出相应的点Px, y,最终用平滑的曲线 将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变第 7 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结 合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误；4快去明白区间的概念
12、（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开 半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射 一般地,设A、B 是两个非空的集合,假如 按某一个确定的对应法就f,使对于集合A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元 素 y 与之对应,那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映像；记作“ f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映像,假如 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B 及对应法就 f 是确定 的；对应法就有“方
13、向性”,即强调从集合A 到 集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般 是不同的；对于映射 f：AB 来说,就应满意：第 8 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都 有象,并且象是唯独的；（）集合A 中不同的 元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有 原象；常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是 直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形 是否是函数图象的依据；2
14、解析法：必需注明函 数的定义域；3 图象法：描点法作图要留意：确 定函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数 的特点；4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点留意啊：解析法：便于算出函数值；列表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本 P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达 式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自 变量代入相应的表达式；分段函数的解析式不能 写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的 表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各 部分的自变量的取值情形（1）分段函数是一第 9 页 共 29 页名师归纳总结 - - - -
15、 - - -第 9 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个函数,不要把它误认为是几个函数；（2）分 段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二：复合函数如 果 y=fu,u M,u=gx,x A, 就y=fgx=Fx,xA 称为 f、g 的复合函数；例如: y=2sinX y=2cosX2+1 7函数单调性（1）增函数 设函数 y=fx的定义域为 I,假如对于定义 域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1fx2,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数；区间 D 称为 y=fx的单 调增区间（睇清晰课
16、本单调区间的概念）假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1fx2,那么 就说 fx在这个区间上是减函数 .区间 D 称为y=fx的单调减区间. 留意：1 函数的单调性是在定义域内的某个 区间上的性质,是函数的局部性质；2 必需是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2；当 x1x2 时,总有 fx1fx2 ；第 10 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2） 图象的特点 假如函数y=fx在某个区间是增函数或减函 数,那么说函数 y=fx在这一区间上具
17、有严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是 上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 3.函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法：1 任取 x1,x2D,且 x11,且 *当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数此时, 的 次方根 用符号 表示式子 叫做根式（radical）,这里 叫做根指数（radical exponent）, 叫做被开方 数（radicand）当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数 的正的 次方根用 符号 表示,负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成 （ 0）由第 14 页 共 29 页名
18、师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都 是 0,记作 ；留意：当 是奇数时, ,当 是偶数时,2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定：0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数 幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后,指数的 概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整 数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数 指数幂（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数叫做指 数函数（exponential ）,其中 x 是自变量,函 数的定义域为 R留意：指数函数
19、的底数的取值范畴,底数不 能是负数、零和 1图象特点 函数性质1.向 x、y 轴正负方向无限延长 函数的定义域为R 2.图象关于原点和y 轴不对称第 15 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 非奇非偶函数3.函数图象都在x 轴上方 4.函数的值域为R+ 5.函数图象都过定点（0,1）6.自左向右看图象逐步上升自左向右看,图 象逐步下降 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开头增长较慢,到了某一值后增长速 度极快；函数值开头减小极快,到了某一值后减小速 度较慢；留意：利用函数的单调性
20、,结合图象仍可以 看出：（1）在a,b上, 值域是 或 ；（2）如 ,就 ； 取遍全部正数当且仅当 ；（3）对于指数函数 ,总有 ；（4）当 时,如 ,就 ；二、对数函数（一）对数第 16 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1对数的概念：一般地,假如 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作：（ 底数, 真数, 对数式）两个重要对数：1 常用对数：以10 为底的对数 ；2 自然对数：以无理数 数 （二）对数函数为底的对数的对1、对数函数的概念：函数 ,且 叫做对数 函数,其中 是自变量,函数的定义域是
21、（0,+）留意：1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别；图象特点,函数性质1.函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0,）2.图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数3.向 y 轴正负方向无限延长 函数的值域为 R 4.函数图象都过定点（1,0）第 17 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 自左向右看,图象逐步上升,自左向右看,图象逐步下降（三）幂函数1、幂函数定义：一般地,形如的函数称为 幂函数,其中 为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在（0,+）都有定义,并且图象都过
22、点（1,1）；（2） 时,幂函数的图象通过原点,并且在 区间 上是增函数特殊地,当时,幂函数的图 象下凸；当 时,幂函数的图象上凸；（3） 时,幂函数的图象在区间 上是减函 数在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地靠近轴正半轴,当趋于时,图象在 轴上方无限地靠近 轴正半轴第三章 函数的应用、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ,把使 成 立的实数 叫做函数 的零点；2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标；即：第 18 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 29 页精选学习资料 -
23、- - - - - - - - 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点函数 有零点3、函数零点的求法：求函数 的零点：1 （代数法）求方程 的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 1） 0,方程 有两不等实根,二次函数 的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点2） 0,方程 有两相等实根（二重根）,二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点高一数学必修 4 正角 : 按逆时针方向旋转形成的角 3） 0,方程 无 1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何
24、旋转形成的角2、角 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,就称为第几象限角第 19 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一象限角的集合为k360k36090 ,k其次象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k第 三 象 限 角 的 集 合 为k 360 180 k 360 270 , k第 四 象 限 角 的 集 合 为k 360 270 k 360 360 , k终边在 x轴上的角的集合为 k 180 , k终边在 y轴上的角的集合为 k 180
25、 90 , k终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k3 、 与 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 为k 360 , k4、已知 是第几象限角,确定 n n * 所在象限的方法：先把各象限均分 n等份,再从 x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,就原先是第几象限对应的标号即为 n终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度6、半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为l ,就角的弧度数的肯定值是r第 20 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、弧度制与角度制的
26、换算公式：2360 ,1180,1 180 57.3 8、如扇形的圆心角为 为弧度制 ,半径为 r ,弧长为l,周长为C ,面积为 S,就 l r,C 2 r l ,S 12lr 12 r 9、设 是一个任意大小的角,的终边上任意一点 的坐标是 ,x y ,它与原点的距离是r r x2y20,就sin r, cos r, tan y xx010、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正11、三角函数线：sin,cos,tan2 cos12、同角三角函数的基本关系：2 1 sin1sin212 cos,cos21sin2；2sintancoss
27、intancos,cossintan13、三角函数的诱导公式：1 sin 2ksink,cos 2 kcos,yPTxtan 2ktan2 sinsin,coscos,OMA第 21 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - tan tan 3 sinsin , coscos , tantan 4 sinsin , coscos , tantan 口诀：函数名称不变,符号看象限5 sin2cos, cos2sin6 sin2cos,cos2sin口诀：奇变偶不变,符号看象限14、函数 y sin x的图象
28、上全部点向左（右）平移 个单位长度,得到函数 y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原先的1 倍（纵坐标不变） ,得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变） ,得到函数ysinx的图象函数ysinx的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原先的1 倍（纵坐标不变） ,得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上全部点向左（右）平移个单位长度,得到函数第 22 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - -
29、 - ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原先的 倍（横坐标不变） ,得到函数 y sin x 的图象函数 y sin x 0, 0 的性质：振幅：；周期：2 ；频率：f 12；相位：x；初相：函数 y sin x,当 x x 时,取得最小值为y min； 当 x x 时 , 取 得 最 大 值 为 y m a x, 就12 y m a x y m i n,12 y max y min,2 x 2 x 1 x 1 x 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性 质函 数 sinxycosxytanx图象定义RRx xk2,k域值1,11,1R域第 2
30、3 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当当x2 kk最x2k2k时,当既无最大值时,y max1；当y max1；值x2k2x2k1也无最小值k时, mink时,周y min122期性奇奇函数偶函数奇函数偶性在单2k2,2k2在在k2,k22k,2kkk上 是 增上是增函数；调函数；在k上 是 增在2 k,2k性2k2,2k3函数k上是减函2k上 是 减数函数对对 称 中 心对 称 中 心 对 称 中 心称k,0k第 24 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共
31、29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 性 对称轴k2,0k轴k,0k2xk2k对称无对称轴xkk16、向量：既有大小,又有方向的量数量：只有大小,没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为 0的向量单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的 非零 向量零向量与任一向量平行相等向量： 长度相 等 且 方 向 相 同 的 向量17、 向 量 加 法 运 算：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点第 25 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 29 页精选学习资料 - - - -
32、- - - - - 三角形不等式：ababab 运算性质： 交换律：abba ；结合律：bCabcabc ；a00aa C坐标运算：设ax y ,bx 2,y ,就aabx 1x 2,y 1y 18、向量减法运算：共起点, 连终abC三角形法就的特点：点,方向指向被减向量 坐 标 运 算 ： 设ax y 1,bx 2,y 2, 就ab1x, 2x1yyx 1,y ,x 2,y ,就设、两点的坐标分别为x 1x 2 ,y 1y 19、向量数乘运算：实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 a a a ；当 0时,a 的方向与 a的方向相同；当 0时,a 的方向与 a的方向相反；
33、 当 0时,a 0运算律： a a ； a a a ；a b a b坐标运算：设 a x y ,就 a x y x , y 第 26 页 共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 20、向量共线定理：向量a a0与b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使 b a设 a x y ,b x 2 , y ,其中 b 0,就当且仅当x y 2 x y 1 0 时,向量 a、b b 0 共线21、平面对量基本定理：假如 1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 1、2,
34、使 a 1 e 1 2 e （不共线 的向量 1e 、e 作为这一平面内全部向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点,是线段12上的一2点,1、2的坐标分别是x 1y ,x 2,y ,当1时,点的坐标是x 1x2,y 1y 1123、平面对量的数量积：a ba bcosa0,b0,0180零向量与任一向量的数量积为0 性 质 ： 设a 和 b 都 是 非 零 向 量 , 就 a b a b 0当a与b同向时,a b a b ；当 a与b 反 向 时 , a b a b；a a a 2 a 或 a a a a b a b 运算律： a b b a； a b a b a b ；a b c a c b c第 27 页 共 29 页