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1、频域滤波法国数学家傅立叶提出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦或余弦的和的形式。傅氏级数； 对于非周期函数，则用正弦和余弦及加权函数的积分来表示。傅氏变换; 应用极为广泛，尤其是数字计算和快速算法的发明，在信号处理领域产生了具大变革。 一维傅立叶变换及其反变换离散形式：22( )( )( )( )juxjuxF uf x edxF xf u edu 2 ()2 ()( , )( , )( , )( , )jux vyjux vyF u vf x y edxdyF x yf u v edudv 12 , 1 , 0)()(12 , 1 , 0)(1)(10/210/2 MxeuFxfMue
2、xfMuFMuMuxjMxMuxj频域不同的频域成份，可以表示成极坐标（复数）形式：12( )22( )( )( )( )( )2( )( )g( )juF uF u eF uR uIuuuarctR u功率谱 “谱密度”信号频谱分析示意图如右图所示：222( )( ) ( )( )P uF uR uIu二维DFT及其反变换 112 (/)00112 (/)001( , )( , )0.1.2.10.1.2.1( , )( , )0.1.2.10.1.2.1MNjux Mvy NxyMNjux Mvy NuvF u vf x y eMNuMvNf x yF u v exMyN222( , )(
3、 , )( , )( , )P u vF u vRu vIu v功率谱： 可以证明：原点被放置在 上( , )( 1)(,)22x yMNf x yF uv,22MNuv空间域和频率域抽样点之间的关系：11uM xvN y 下图实例：中心化，矩形宽高化为21反映到频域轴亮点间距恰好相反 3 频率域滤波 一般不大可能建立图像特定分量和其变换之间的直接联系，但可以建立傅氏变换的频率图像中的强度变化模式之间的联系。 例如，低频对应图像的慢变化分量（墙，地板），而高频分量对应着图像中灰度变化联系地方（边缘，噪声）。 频率域滤波基本步骤：1、 原图像2、3、4、反DEF5、实部6、用结果。被滤波图像(
4、1)x y( , )F u v( , )( , )H u vF u v( 1)(5)x y1( , )G u v( , )( , ) ( , )G u vH u v F u v频率平面与图像空域特性的关系 图像变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个区域为低频区域 图像中的边、噪音、变化陡峻的部分，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为高频区域频域滤波增强边、噪音、变化陡峭部分边、噪音、变化陡峭部分变化平缓部分变化平缓部分uv频域滤波增强频域滤波增强频域滤波增强频率域的滤波步骤1. 用(-1)x+y乘以输入图像进行中心变换2. 计算1中的DFT F(u,v)3. 用滤波器函数H(u,v)乘以F
5、(u,v)4. 计算3中结果的反DFT5. 得到4中结果的实部6. 用(-1)x+y乘以5中的结果，取消输入图像的乘数.)2,2() 1)(,(NvMuFyxfyx思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换，然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像1 理想低通滤波器 是点距频率原点的距离。如果图像大小 ，其变换亦为中心化之后，矩形中心在则001 ( , )( , )0 ( , )D u vDH u vD u vD( , )D u v( , )u vMNMN(,)22MN1222( , )()()22MND u vuv说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤波器，而在此半径的圆之
6、外的所有频率完全被衰减掉理想低通滤波器一幅大小的图像的总的功率谱若变换被中心化，原点在频率矩形中心，半径为r的圆包含 %的功率： 可以此来建立一组标准截止频率的对立量，具体例子如右图所示： 1100( ,)MNTuvPP u v 100( , )/TuvP u vP巴特沃思低通滤波器n阶巴特沃思低通传函数截止频率距原点距离为201( , )1( , )/nH u vD u vD0D透视图滤波器阶数从1到4的滤波器横截面应用：可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生虚假轮廓时，常可用低通滤波进行平滑以改进图像质量。通常，BLPF的平滑效果好于ILPF。原图半径是15的BLPF滤波半径是80的BLP
7、F滤波半径是5的BLPF滤波半径是30的BLPF滤波半径是230的BLPF滤波高斯低通滤波器 截止频率，当 时，滤波器下降到其最大值的0.607处。无振铃现象，曲线见下图所示： 220( , )/2( , )Du vDH u ve0D0( , )D u vD原图半径是15的GLPF滤波半径是80的GLPF滤波半径是5的GLPF滤波半径是30的GLPF滤波半径是230的GLPF滤波原图D0=100的GLPF滤波D0=80的GLPF滤波，低通滤波的其它例子 ：1、字符识别：下图：断裂现象低通滤波的其它例子 ：2、卫星和航空图像：下图：墨西哥湾和佛罗里达图像存在“扫描线” （用高斯低通来处理） 图像
8、轮廓是灰度陡然变化的部分，包含着丰富的空间高频成分。 把高频分量相对突出，显然可使轮廓清晰。 高频滤波器使高频分量相对突出，而低频分量和甚高频分量则相对抑制。高通滤波器图a：D0=15图b：D0=30图c：D0=80图a：D0=15图b：D0=30图c：D0=80图a：D0=15图b：D0=30图c：D0=804.4.4 频率域的拉普拉斯算子根据傅氏变换性质有：可得到：即：频域的拉氏算子为： （同样要中心化）( )()( )nnnd f xjuF udx22222222( , )( , )()( , )()( , ) () ( , )f x yf x yjnF u vjvF u vxyuvF u v 222( , )() ( , )f x yuvF u v 22( , )()H u vuv 222( , )()()( , )22MNf x yuvF u v 4.4.4 频率域的拉普拉斯算子曲线形状见右图4.4.4 频率域的拉普拉斯算子 可从原始图像中减去（而不是加）拉氏算子而形成增强图像，效果见右图：增强图像可用下式得到：