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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考理科数学必会学问点总结1 集合与简易规律一、集合间的关系及其运算（1）符号“,” 是表示元素与集合之间关系的,如立体几何中的表达 点与直线（面）的关系；符号“,” 或“,” 或“” 等是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的表达 面与直线 面 的关系；（2） A B= ； A B= ；C A = .（3）交、并、补的运算性质： 对于任意集合 A 、B,C U A B C A C B C U A B C A C B切记： A B A B A A B A B B . （4）集合中元素的个数的运算：如集合 A 中有 n 个元素,
2、就集合A的全部不同的子集个数为2n ,全部真子集的个数是 2 n 1 ,所有非空真子集的个数是 2 n 2 ；二、常用规律用语：1、四种命题：原命题：如p 就 q；逆命题：如q 就 p；否命题：如p 就q；逆否命题：如q 就p 注： 1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价；判定命题真假时留意转化；2、留意命题的否定与否命题的区分：命题pq 否定形式是pq ；否命题是pq . 命题“p或 q ” 的否定是“p且q”；“p且q” 的否定是“p或q” . 3、规律联结词：且 and ：命题形式 pq； p q p真真q pq p 或（ or ）： 命题形式 pq；真真假非（ not ）：命题形
3、式p . 真假假真假假真假真真假假假假真“ 或命题” 的真假特点是“ 一真即真,要假全假”；“ 且命题” 的真假特点是“ 一假即假,要真全真”；“ 非命题” 的真假特点是“ 一真一假”4、充要条件由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件,就条件是结论成立的必要条件；5、全称命题与特称命题：短语“ 全部” 在陈述中表示所述事物的全体,规律中通常叫做全称量词,并用符号 表示；含有全体量词的命题,叫做全称命题；短语“ 有一个” 或“ 有些” 或“ 至少有一个” 在陈述中表示所述事物的个体或部分,规律中通常叫做存在量词,并用符号x表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题；xM,px
4、；全称命题p：M,px ；全称命题 p 的否定p：特称命题p：；xM,px；特称命题 p 的否定p：xM,px2 函数和导数一、函数的性质名师归纳总结 1定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等）；第 1 页,共 16 页2值域（求值域：分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 比较学习必备欢迎下载f x；3奇偶性（在整个定义域内考虑）,判定方法： . 定 义 法 步 骤 ： 求 出 定 义 域 并 判 断 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 ； 求fx与fx或fx 与fx 的
5、关系； . 图象法；常用的结论已知：HxfxgxHx为偶函数；如非零函数fx,gx的奇偶性相同,就在公共定义域内的奇偶性相反,就在公共定义域内为奇函数；如非零函数fx,gxHx0定义域,就f00. 如fx 是奇函数,且4单调性（在定义域的某一个子集内考虑）,证明函数单调性的方法：（1）. 定义法 步骤：设 x 1, x 2 A 且 x 1 x 2；作差 f x 1 f x 2 （一般结果要分解为如干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清晰地判定出）；判定正负号；另解：设 x 1 x 2 a , b , x 1 x 2 那么 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2
6、0 f x 在 a b 上是增函数；x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a b 上是减函数 . x 1 x 2（2）. （多项式函数）用导数证明：如 f x 在某个区间 A 内有导数,就 f 0 x A f x 在 A 内为增函数；f 0 x A f x 在 A 内为减函数 . （3）求单调区间的方法：a.定义法：b.导数法：c.图象法：d.复合函数 y f g x 在公共定义域上的单调性：如 f 与 g 的单调性相同,就 f g x 为增函数；如 f 与 g 的单调性相反,就 f g x 为减函数；留意：先求定义域,单调区间是定
7、义域的子集.（4）一些有用的结论：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：F（x）（增） =fx（增） +gx（增）；F（x）（减） =fx （减） +gx（减）；在F（ x ）（增） =fx（增）gx（减）； F（ x ）（减） =fx （减）g x（增）；a b或数：函数yaxba0 ,b0 在一 个重要的函a b,上 单调递增,xa,0或0,a上是单调递减 . bb5函数的周期性（1）定义：如T 为非零常数,对于定义域内的任一x,使fxTfx恒成立,就f x 叫做周期函数, T 叫做这个函数f x 的一个周期 . T 的整数倍都是f x 的周期
8、；二、函数的图象1基本函数的图象： （1）一次函数、 （2）二次函数、 （3）反比例函数、 （4）指数函数、 （5）对数函数、（6）三角函数、 （7）函数yaxb a0 ,b0 . x2图象的变换名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）平移变换y函数yf xa a0的图象是把函数yf x 的图象沿 x 轴向左平移a 个单位得到的；函数f xaa0的图象是把函数yf x 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的；y函数yf x a a0的图象是把函数yf x 的图象沿 y 轴向上平移a 个单位得到
9、的；函数f x a a0的图象是把函数yf x 的图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的；（2）对称变换函数yfx与函数yf x的图象关于直线x=0 对称；yfxy的图象关于直线函数yfx与函数yfx的图象关于直线y=0 对称；函数yfx与函数yf x的图象关于坐标原点对称；假如函数yfx 对于一切xR ,都有f axf ax,那么fx的图象xa对称；假如函数yfx 对于一切xR ,都有f axf ax 2b,那么关于点 , a b 对称；函数yfax与函数yfax的图象关于直线xa对称；yf1 x 与yfx关于直yx对称；（ 3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中）三、函数的反函数：1求
10、反函数的步骤：（1）求原函数yfxxA的值域 B 1 x 也（2）把yfx看作方程,解出xy（留意开平方时的符号取舍）；（3）互换 x、y,得yf x 的反函数为yf1 xxB. 2定理：（1）f1bafab,即点 , a b 在原函数图象上点 , b a 在反函数图象上；（2）原函数与反函数的图象关于直线yx对称 . 3有用的结论：原函数yfx 在区间a ,a上单调的,就肯定存在反函数,且反函数yf单调的,且单调性相同；但一个函数存在反函数,此函数不肯定单调；四、函数、方程与不等式须a1“ 实系数一元二次方程ax2bxc0有实数解” 转化为“0b24ac0” ,你是否留意到必b24 ac0；
11、当 a =0 时,“ 方程有解” 不能转化为；如原题中没有指出是“ 二次” 方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？2、利用二次函数的图象和性质,争论一元二次方程实根的分布；名师归纳总结 设x1, x2为方程fx0 ,a0的两个实根；m ,n内有且只有两个实根f m 0时 ,如x1m ,x2m ,就fm 0；当在区间m ,n内有且只有一个实根,时,1 fm f n 02 考虑端点,验证端点；当在区间mq时m0bn如2af n 0第 3 页,共 16 页fm0f 0fn0f q 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载留意
12、：依据要求先画出抛物线,然后写出图象成立的充要条件；留意端点,验证端点；五、指数函数与对数函数1指数式与对数式：abNa0,a1, bR N0logaNbQ对数的三个性质：N0； log 1 a0；logaa1对数恒等式：alog a NN ；logaNlogmN；log a mMnn log amMlogma对数运算性质：log a MN log aMlog aN； log aMnnlog aM ； log aMlog aMlog aN. a0. a1,M0,N0N指数运算性质：r a asars arsarsabrr ra ba0,b0, , r s2指数函数与对数函数（1）特点图象与性质
13、归纳（列表）指数函数y=ax a0,a 1 对数函数 y=log ax a0,a 1 0a1 0a1 特点图象分布定义域（, +）增函数（0,+）增函数值域（0,+）（, +）单调性减函数减函数定点（0,1）xo时,（1,0）0x1时 ,函数值x1；0x0 时,0y1 0y0 ；y0 时, y1 x1 时, y1 时, y0 （2）有用的结论且a函数yx a 与ylog ax（ay0且a0）图象关于直线yx 对称；函数yx a 与yx a （a01）图象关于 y 轴对称；函数log1x 与ylog ax （a0且a0）图象关于 x 轴对称 . a 记住两个指数（对数）函数的图象如何区分？六、导
14、数：1几种常见函数的导数名师归纳总结 1 C0（C 为常数） 2 nxnxn1nQ 3 xsinxacosx 4 acosxsinxx1logae 7 x e e5lnx 1（6）loga（ 8）xaxlnxx2导数的运算法就 u vuv（3）u u vuvv0. 第 4 页,共 16 页uv（1）uvuv（2）vv23复合函数的求导法就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yu学习必备欢迎下载yfu在 点 x 处 的 对 应 点U 处 有 导 数设 函 数u x 在 点 x 处 有 导 数ux , 函 数f u ,就复合函数yf 在点 x 处有导数,且f
15、 x . y xy u ,或写作 xf u4导数的几何物理意义：（1）几何意义： kf/x 0 表示曲线 y=fx在点 Px0,fx0 的切线的斜率；0,解集在定义域内的部曲线在点 Px0,fx0 处的切线方程为：yf x0f/x 0xx 0（2）Vs/t 表示即时速度,a=v/t 表示加速度；5单调区间的求解过程：已知yfx分析yfx的定义域；求导数yfx；解不等式fx0,解集在定义域内的部分为增区间；解不等式fx 分为减区间； （或用列表法,见课本）6求极大、微小值：已知yf x ,f x2,f xn ,假如是,是极大仍分析yfx的定义域；求导数yfx；求解方程f 0（设有根x x2,x
16、）；列表判定n1 个区间内导数的符号,判定f x 1是微小值；注：判别f0x是极大（小）值的方法min.当函数fx在点x 处连续时,（ 1）假如在0x 邻近的左侧fx0,右侧fx0,就fx0是极大值；（ 2）假如在0x 邻近的左侧fx0,右侧fx0,就fx0是微小值 . 留意： f/x 0 0 不能得到当x=x 0时,函数有极值；但是,当x=x 0 时,函数有极值 f/x 0 0 7求函数在某闭区间a,b上的最大、最小值：同上；比较f a 、f x 1,f x 2,f xn、f b ,最大的为f x max,最小的为f x . 留意：极值 最值；最值问题一般仅在闭区间上争论（实际应用题除外,即
17、应用题中有开区间问题）3 数列一、数列的定义和基本问题1通项公式：anfn（用函数的观念懂得和争论数列,特殊留意其定义域的特殊性）1n；12前 n 项和：S n= a 1a2an；n 项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：a nS 1,S n3通项公式与前S n,n2二、等差数列：名师归纳总结 1定义和等价定义：a nan1d n2an是等差数列；nm d；第 5 页,共 16 页2通项公式：ana 1n1dAnB；推广：a nam3前 n 项和公式：S na 12annna 1nn1 dAn2Bn；24重要性质举例：a 与 b 的等差中项Aa2b；- - - - - - -精选学习资
18、料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载）；11如 mnpq ,就a manapa ；特殊地：如mn2p ,就a man2 ap；奇数项a a 3,a , 成等差数列,公差为2d ；偶数项a2,a 4,a , 成等差数列,公差为2d . 如有奇数项2 n1项,就S 2n12n1a中 ；S奇S偶a 中,S奇n21a中,S 偶n21a 中,（a =an 1如有偶数项2n 项, 就S 偶S奇nd,其中 d 为公差；2设A=Sn,B=S2n-S ,C=S3n-S 2n, 就有2 BAC；当a 10,d0时,S 有最大值；当a 10,d0时,S 有最小值 . 用一次函数懂得等差数列的通项
19、公式；用二次函数懂得等差数列的前n 项和公式 . （8）如等差数列an的前2n1项的和为S 2n1,等差数列b n的前2n1 项的和为S1,就anS 2n2nbn S 2n三、等比数列：a n1定义：q n 2, a n 0, q 0 a n 成等比数列；a n 12通项公式：a n a 1 q n 1；推广 a n a q n m；na 1 q 13前 n 项和 S n a 1 1 q n a 1 a q；（留意对公比的争论） q 11 q 1 q24重要性质举例 a 与 b 的等比中项 G G ab G ab （a b 同号）；2如 m n p q ,就 a m a n a p a ；特殊
20、地：如 m n 2 p ,就 a m a n a ；设 A=S n,B=S 2n-S ,C=S 3n-S 2n, 就有 B 2A C ；用指数函数懂得等比数列（当 a 1 0, q 0, q 1 时）的通项公式 . 四、等差数列与等比数列的关系举例1a n成等差数列ban成等比数列； 2a n成等比数列a n0logba n成等差数列 . 五、数列求和方法：2几种特殊的求和方法c nb cn1,1等差数列与等比数列；AnB1AnCC1BAn1BAn1C（1）裂项相消法；an（2）错位相减法：anbncn, 其中b n是等差数列,c n是等比数列记S nb 1c 1b2c2bn1cn1bncn；
21、就qS nb c2b n1（3）通项分解法：anbncn六、递推数列与数列思想1递推数列名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）能依据递推公式写出数列的前几项；（2）常见题型：由f S n,a n0,求an,S .解题思路：利用anS nS n1,n22数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）如a n1an1f n ,n2,就 ；（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）如ang n n2,就 ；an（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；（4）错位相减（等比数列求和公式的
22、推导方法）. 4 三角函数 一、三角函数的基本概念1终边相同的角的表示方法（终边在x 轴上；终边在 y 轴上；终边在直线yx 上；终边在第一象限等）,懂得弧度的意义,并能正确进行弧度和角度的换算；2任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数 的 关 系 式 （ 三 个 ： 平 方 关 系 、 商 数 关 系 、 倒 数 关 系 ）sin2cos21 , tan=sin,cos12 tan1诱导公式（奇变偶不变,符号看象限：2 cos二、两角和与差的三角函数1和（差）角公式（1） sin = = cos2、；（2） sin = . t a n（3
23、） cos = ；（4） cos = . （5） tan = ；（6） tan = . 2二倍角公式： （1） sin 2（2） cos2（3） tan2；= = = ；= . 12 cos1 cos2；sincos1sin 2；3有用的公式（1）升（降）幂公式：sin2222（2）帮助角公式：asinbcosa2b2sin（由a b 详细的值确定） ；（3）正切公式的变形：tantantan1tantant a nt a nt an 1t a n 4有用的解题思路（1）“ 变角找思路,范畴保运算”；（2）“ 降幂帮助角公式正弦型函数”；. （3）巧用 sincos与 sincos的关系；（
24、4）巧用三角函数线数形结合三、三角函数的图象与性质名师归纳总结 - - - - - - -1列表综合三个三角函数ysinx ,ycosx,ytanx 的图象与性质,并挖掘：（ 1）最值的情形；（2）三函数的周期公式：函数yAsinx,xR及函数yAcosx,xRA, ,为常数,且A 0, 0 的周期T2；如 未说明大于0, 就T2|；函数ytanx,xk2,kZ A, ,为常数,|且 A 0, 0 的周期 T. 第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）会从图象归纳单调性、对称轴和对称中心；ysinx 的单调递增区间为2 k2,2k2kZ
25、单调递减区间为Zsinx2k2,2k3kZ,对称轴为xk2kZ, 对称中心为k,0k2ycosx的单调递增区间为2 k,2kkZ 单调递减区间为2 k,2kkZ ,对称轴为xkkZ , 对称中心为k2,0kZyAkZ ,对称中心为k,0kZytanx 的单调递增区间为k2,k222明白正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“ 五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图,并能由图象写出解析式（1）“ 五点法” 作图的列表方式；（2）求解析式yAsinx时初相的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x. 3正弦型函数yAsinx的图象变换切记：yA sinx平移yAsinx留意图象变换有时用向量表达,留意
26、两者之间的转译 . 四、解三角形、1三个重要结论（1）正弦定理：a b c 2 R（ 2R为三角形 ABC 的外接圆直径）或写成sin A sinB sin Ca b c sin A :sin B :sin C2 2 2（2）余弦定理：a 2 b 2 c 2 2 ab cos A,或写成 cos A b c a2 ab（3）三角形 ABC 面积公式：S 1 ab sin C 1 bc sin A 1 ca sin B2 2 22在使用正弦定理时判定一解或二解的方法：ABC中,A B sin A sin B5 平面对量和空间向量一、向量的基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、
27、共线向量、相等向量 . 二、加法与减法运算1代数运算1A 1A 2A 2A 3A n1A n2A 1A nb =（x 1x2,y 1y2）2 如 a =（x 1, y1）, b =（x2, y）就 a2几何表示：平行四边形法就、三角形法就；以向量 AB =a 、 AD =b 为邻边作平行四边形ABCD,就两条对角线的向量AC = a +b , BD =b a , DB = a b . 且有 a b a 3运算律 向量加法有如下规律：a b =b a 交换律 ；b a + b 名师归纳总结 a + b + c = a + b + c （结合律）； a +0=aa a = 0.a =0第 8 页,
28、共 16 页三、实数与向量的积实数与向量 a 的积是一个向量；1a = a ；1 当 0 时,a 与 a 的方向相同；当0 时,a 与 a 的方向相反；当=0 时,2 如 a =（x 1, y1）,就a =（x 1, y 1）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2两个向量共线的充要条件：1 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且仅有一个实数y1,使得 b =a 2 如 a =（x 1, y1）, b =（x 2, y2）就 a bx 1y2x20四、平面对量基本定理1如 1e、2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面
29、内的任一向量 a ,有且只有一对实数 1,2,使得 a = 1 1e + 2 2e 2有用的结论： 如 1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,如一对实数 1,2,使得 1 1e + 2 e =0,就 1= 2=0. 五、向量的数量积；1向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ,作 OA =a , OB = b , 就 AOB=（0 0180 0）叫做向量 a 与 b 的夹角（两个向量必需有相同的起点 ）；2两个向量的数量积：已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为,就 a b = a b cos 其中 b cos 称为向量 b 在 a 方向上的投影3向量的数量积的性质：如 a =（
30、x 1, y 1）, b =（x 2, y 2）（1） e a =a e = a cos e 为单位向量 ；（2） a b a b =0 x 1 x 2 y 1 y 2 0（ a , b 为非零向量）；2 2（3） a = a a x 1 y 1；（4）cos =a a bb =x 1 2 x 1y x1 22 yx 1 y2 2 2y 2 2（可用于判定角是锐角仍是钝角）4向量的数量积的运算律：a b = b a ；a b = a b = a b ； a b c = a c + b c 使六、点 P 分有向线段P 1P 2所成的比1定义：设P1、P2 是直线 l 上两个点,点P 是 l 上不
31、同于P1、P2 的任意一点,就存在一个实数P1P=PP 2,叫做点 P 分有向线段P 1P 2所成的比；2位置争论：（1）当点 P 在线段P 1P 2上时,0；特殊地：点P 是线段 P1P2的中点是1.）；就（2）当点 P 在线段P 1P 2或P 2P 1的延长线上时,0；3分点坐标公式：如P1P=PP 2；P 1,P,P 2的坐标分别为（x 1, y 1）, （x ,y）, （x2, y2xx 1x2,（ 1）, 中点坐标公式：xx 12x21 y 1yy2yy 1y2124. 三点共线定理 ： 如 OAxOByOC 就 A,B,C 共线的充要条件是x+y=1 5. 点的平移公式xxhx xhOPOPPPyykyyk 图形 F 上的任意一点Px ,y 在平移后图形 F 上的对应点为P x y,且 PP 的坐标为 , h k . 七、空间向量名师