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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一讲 函数,极限,连续性1、集合的概念一般地我们把争论对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合（简称集）；集合具有 确定性 （给定集合的元素必需是确定的）和 互异性 （给定集合中的元素是互不相同的）；比如“ 身材较高的人” 不能构成集合,由于它的元素不是确定的；、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）；记作 N 、全部正整数组成的集合叫做正整数集,记作 N+；、全体整数组成的集合叫做整数集,记作 Z；、全体有理数组成的集合叫做有理数集,记作 Q；、全体实数组成的集合叫做实数集,记作 R；集合的表示方法、列举法：
2、把集合的元素一一列举出来,并用“ ” 括起来表示集合、描述法：用集合全部元素的共同特点来表示集合集合间的基本关系、子集：一般地,对于两个集合 A、B ,假如集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素,我们就说 A、 B 有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A . B；、相等：如何集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,此时集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全一样,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A B；、真子集：如何集合 A 是集合 B 的子集,但存在一个元素属于 B 但不属于 A,我们称集合 A 是集合B 的真子集,记作 A；、空集：我们把
3、不含任何元素的集合叫做空集；记作,并规定,空集是任何集合的子集；、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论：、任何一个集合是它本身的子集；、对于集合A、 B、 C,假如 A 是 B 的子集, B 是 C 的子集,就A 是 C 的子集；、我们可以把相等的集合叫做“ 等集” ,这样的话子集包括“ 真子集” 和“ 等集” ；集合的基本运算、并集：一般地,由全部属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与 B 的并集；记作A B ；（在求并集时,它们的公共元素在并集中只能显现一次；）即 AB x|x A,或 x B；、交集：一般地,由全部属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与
4、 B 的交集；记作A B ；即 A B x|xA,且 xB ；、全集：一般地,假如一个集合含有我们所争论问题中所涉及的全部元素,那么就称这个集合为全集；通常记作 U；名师归纳总结 、补集：对于一个集合A,由全集 U 中不属于集合A 的全部元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 第 1 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的补集；简称为集合学习必备CUA；欢迎下载A 的补集,记作即 CUA x|xU,且 x 不属于 A；、运算公式：交换律：AB=B A A B=B A 结合律：（ AB C=A B C A BC=AB C）安排律：（ AB
5、C=（AC）（ B C （A BC=（AC）（ BC 对偶律： CU（ AB=C UACUB CU（ AB=C UACUB 集合中元素的个数 、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集；、用 card 来表示有限集中元素的个数；例如 、一般地,对任意两个集合 A、B ,有A a,b,c,就 cardA=3 ；cardA+cardB=cardA B+cardA B 2、常量与变量、 变量的定义： 我们在观看某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为 常量 ；有的量在过程中是变化的,也就是可以取不同的数值, 我们就把其
6、称之为 变量 ；、变量的表示：假如变量的变化是连续的,就常用区间来表示其变化范畴；在数轴上来说,区间 是指介于某两点之间的线段上点的全体；以上我们所述的都是有限区间,除此之外,仍有无限区间 a,+ ：表示不小于 a 的实数的全体,也可记为：ax+； -, b ：表示小于 b 的实数的全体,也可记为：- x b； -, + ：表示全体实数,也可记为：- x+注： 其中 - 和 +,分别读作 负无穷大 和 正无穷大 , 它们不是数 , 仅仅是记号；名师归纳总结 、邻域： 设 与 是两个实数,且 0. 满意不等式x- 的实数 x 的全体称为点 的 邻域,点第 2 页,共 23 页 称为此邻域的中心,
7、 称为此邻域的半径；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3、函数、函数的定义：假如当变量 x 在其变化范畴内任意取定一个数值时,量 y 依据肯定的法就 f 总有确定的数值与它对应,就称 y 是 x 的 函数； 变量 x 的变化范畴叫做这个 函数的定义域 ；通常 x 叫做 自变量 ,y 叫做 函数值（或因变量）,变量 y 的变化范畴叫做这个 函数的值域 ；注： 为了说明 y 是 x 的函数,我们用记号 y=fx、y=Fx 等等来表示；这里的字母 f 、F 表示 y 与 x 之间的对应法就即 函数关系 , 它们是可以任意采纳不同的字母来表示
8、的；假如自变量在定义域内任取一个确定的值时,函数只有一个确定的值和它对应,这种函数叫做 争论单值函数；、函数相等单值函数 ,否就叫做 多值函数 ；这里我们只由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域；由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,我们就称两个 函数相等 ；3、函数的简洁性态、函数的有界性：假如对属于某一区间I 的全部 x 值总有fx M 成立,其中M 是一个与x 无关的常数,那么我们就称fx 在区间 I 有界,否就便称无界；注： 一个函数,假如在其整个定义域内有界,就称为有界函数；函数的有界性,单调性应与相关点集 I联系起
9、来,离开了点集 I；这些概念是没有任何意义的；、函数的单调性：假如函数在定义域区间 a,b 内随着 x 增大而增大,即：对于 a,b 内任意两点 x1 及 x2,当 x1 x2时,有 f x 1 f x 2 ,就称函数 f x 在区间 a,b 内是 单调增加 的；假如函数 f x 在定义域区间 a,b 内随着 x 增大而减小, 即：对于 a,b 内任意两点 x1 及 x 2,当 x1x2 时,有 f x 1 f x 2 ,就称函数 f x 在区间 a,b 内是 单调减小 的；、函数的奇偶性假如函数fx对于定义域内的任意x 都满意fxfx,就fx叫做偶函数； 假如函数对于定义域内的任意x 都满意
10、fxfx,就fx叫做奇函数；注： 偶函数的图形关于y 轴对称,奇函数的图形关于原点对称；奇偶函数的定义域必关于原点对称；、函数的周期性函数设fx的定义域为 I ；如存在T0,对任意的xI,都使得fxTfx xTI,就称f x为周期函数,称 T 为其周期；注： 我们说的周期函数的周期是指最小正周期；名师归纳总结 x周期函数的定义域必是无限的点集,但也不能说是全体实数,如ytanx的定义域为（ - , +）；且第 3 页,共 23 页k /2k=0,1,2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A.奇函数 +奇函数 =奇函数 B. 偶函数
11、+偶函数 =偶函数 C.D.奇函数 奇函数=偶函数 E 偶函数 偶函数=偶函数奇函数 偶函数 =奇函数如fx以 T 为最小正周期,就fx以T0为最小正周期4、反函数、反函数的定义： 如由函数 y f x 得到 x y ,就称 x y 是 y f x 的反函数,y f x 为直接函数,反函数也可记为 y f 1 x 注：f 1 f x f f 1 x x、反函数的存在定理：如在 a ,b 上严格增 减 ,其值域为 R,就它的反函数必定在 R 上确定,且严格增 减. 例题：y x 2,其定义域为 - ,+ ,值域为 0,+ . 对于 y 取定的非负值 , 可求得 x y . 如我们不加条件,由 y
12、 的值就不能唯独确定 x 的值,也就是在区间 - ,+ 上,函数不是严格增 减 ,故其 没有反函数 ；假如我们加上条件,要求 x 0,就对 y0、x= 就是 y x 2在要求 x 0 时的反函数；即是：函数在此要求下严格增 减 . 名师归纳总结 、反函数的性质：在同一坐标平面内,与的图形是关于直线y=x 对称的；第 4 页,共 23 页例题： 函数y2x与函数ylog2x互为反函数,就它们的图形在同始终角坐标系中是关于直线yx对称的；如右图所示：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5、复合函数y复合函数的定义：如 y 是 u 的函数：y
13、fu,而 u 又是 x 的函数：u x ,且x的函数个值的全部或部分在fu的定义域内, 那么,y 通过 u 的联系也是 x 的函数,我们称后一函数是由函数yfu 及ux 复合而成的函数,简称复合函数,记作fu,其中 u 叫做中间变量；注： 并不是任意两个函数就能复合；复合函数仍可以由更多函数构成；例题： 函数与函数是不能复合成一个函数的由于对于的定义域- ,+ 中的任何 x 值所对应的u 值（都大于或等于 2）,使yarcsinu都没有定义；6、初等函数名师归纳总结 、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数,分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三第 5 页,共 23 页角函数及反三角函数
14、；下面我们用表格来把它们总结一下：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为 初等函数 . 注 ：初等函数必需能用一个式子表示,不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数,故分段函数一般不能叫初等函数7、数列的极限名师归纳总结 、数列的极限 ：设 nx 为一数列,假如存在常熟a,对于任意给定的正数 不论其多么小 ,总存在正整第 6 页,共 23 页数 N ,使得当nN时,不等式xna都成立,那么就称常数a 是数列 nx 的极限,或者称数列
15、收敛于a,记为nlimxna或xnan注：此定义中的正数 只有任意给定, 不等式才能表达出与a 无限接近的意思； 且定义中的正整数N 与任意给定的正数 是有关的,它是随着 的给定而选定的；在利用数列极限定义证明某个数列是否存在极限时,重要的是对于任意给定的正数,只要能够指出定义中所说的这种正整数N的确存在,但没有必- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要去求最小的N；假如知道xna学习必备欢迎下载n 的一个函数）,那么当这小于某个量（这个量是个量小于 时,xn a 当然也成立如令这个量小于 来定出 N 比较便利的话, 就可以采纳这种方法；、数列的有界性：对
16、于数列,如存在着正数 M,使得一切都满意不等式 M,就称数列是 有界的 ,如正数 M 不存在,就可说数列是 无界的 ；、收敛数列的几个重要性质： A. 极限的唯独性：假如数列 nx 收敛,那么它的极限唯独；（依据极限的定义用反证法证明） B. 有界性：假如数列 nx 收敛,那么它肯定有界；注： 数列收敛是数列有界的充分非必要条件；即数列收敛,肯定有界,但数列有界不肯定收敛；例： 数列 1,-1 ,1,-1 , , -1 ,是有界的,但它是发散的；C.保号性： 假如 nlim xn a 且 a 0（或 a 0）那么存在正整数 N 0,当 n N 时,都有 x n 0（或x n 0）推论： 假如数
17、列 x 从某项起有 nx 0（或 x n 0）,且 nlim xn a,那么 a 0（或a 0）注： 即使从某项起有 nx 0（或 nx 0）,且 nlim xn a,那么 a 不肯定肯定为 a 0,也有可能a 0； D. 收敛数列与子数列的关系：假如数列 x 收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,且极限是 a；假如数列 x 有俩个子数列收敛于不同的极限,那么数列 x n 是发散的；. 数列存在的充分必要条件：nlimxnalim nx 2nlim nx 2n1a其任一子数列的极限都为a8、函数的极限前面我们学习了数列的极限,已经知道数列可看作一类特殊的函数,即自变量取 n 内的正整数,如自变
18、量不再限于正整数的次序,而是连续变化的,就成了函数；下面我们来学习函数的极限 . 函数的极值有两种情形：a ：自变量无限增大；b ：自变量无限接近某肯定点 x0 下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念 . 、函数的极限 分两种情形 名师归纳总结 a:自变量趋向无穷大时函数的极限第 7 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定义 ：设函数fx学习必备欢迎下载 不论其多么小 ,当 x 大于某一正数时有定义,如存在常数 A ,对于任意给定的正数总存在着正数 X ,使得当 x 满意不等式xX时,对应的函数值fx都满意不等式A或fxAfx
19、A,那么常数 A 就叫做函数f x 当 x时的极限,记作lim xfx（当 x）X（或xX）即可；注：xx时f x 的极限定义只需要将以上定义中的xX改为x下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下： b: 自变量趋向有限值时函数的极限定义： 设函数 f x 在点 0x 的某一去心邻域内有定义,如存在常数 A ,对于任意给定的正数 不论其多么小 ,总存在着正数,使得当 x 满意不等式 0 x x 0 时,对应的函数值 f x 都满意不等式f x A,那么常数 A 就叫做函数 f x 当 x 0x 时的极限,记作x lim x 0 f x A 或 f x A（当 x x 0）注：在定义中只要
20、求在去心邻域内不等式成立,不要求在 0x 点此不等式成立, 意味着 x x 0 时 f x 以 A 为极限与 f x 在 x 点是否有定义即使有定义函数值等于什么无关；自己参考数列极限引生函数的左右极限概念；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注：x0x学习必备欢迎下载时函数极限存在的充要条件：lim x x 0fxAlim x x 0fxlim x x 0fx A有些时候,我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 a: 先任取 0；b: 写出不等式fx A；A,其证明方法是怎样的呢？c: 解不等式能否得出去心邻域0x
21、x 0,如能；时,fxA成立,因此x lim x0fx Ad: 就对于任给的 0 ,总能找出 ,当0xx 0、函数的极限的性质参考数列极限的重要性质：唯独性,局部 有界性 , 局部 保号性、 函数极限与数列极限的关系假如极限lim x x 0fx存在, x 为函数0fx的定义域内任一收敛于0x 的数列,且满意：xnx0,那么相应的函数值数列 fx 必收敛,且lim n xfx nlim x x 0fx；9、无穷小与无穷大无穷大量： 设有函数 y f x ,在 x=x0 的去心邻域内有定义,对于任意给定的正数 N 一个任意大的数 ,总可找到正数 ,当 0 x x 0 时,f x N 成立,就称函
22、数当 x 0x 时为 无穷大量 ；记为：lim f x （表示为无穷大量,实际它是没有极限的）x x 0同样我们可以给出当 x时,无穷大的定义：设有函数 y f x ,当 x 充分大时有定义,对于任意给定的正数 N一个任意大的数 ,总可以找到正数 M,当 x M 时,f x N 成立,就称函数当 x时是无穷大量 ,记为：lim x f x 无穷小量： 以 0 为极限的变量叫无穷小量；（定义参照无穷大）留意 ：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量,不是常量,只有 0 可作为无穷小量的唯独常量；无穷大量与无穷小量的区分是：前者无界,后者有界,前者发散,后者收敛于 0. 无穷小的运算性质A.有限个
23、无穷小的和也是无穷小B.有限个无穷小的乘积也是无穷小C.有界函数与无穷小的乘积是无穷小名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载D.常数与无穷小的乘积是无穷小极限与无穷小的关系：fx AfxA, 其中是在与fxA时自变量的同一变化趋势下的无穷小量；无穷小的比较： 通过前面的学习我们已经知道,两个无穷小量的和、 差及乘积仍然是无穷小. 那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题,这就是我们要学的两个无穷小量的比较；定义： 设 , 都是时的无穷小量,且 在 x0 的去心邻域内不为零,o；
24、a ：假如lim x x 00,就称是的高阶无穷小 或 是 的低阶无穷小,记作b ：假如lim x x 0c0,就称和是 同阶无穷小 ；c ：假如lim x 0x1,就称和是 等价无穷小 ,记作：与等价 ；d ：假如lim x x 0kc0 ,k0,就称是关于的 k 阶无穷小注： a. 无穷小比较中的和必需是在自变量相同变化趋势下的无穷小量. b. 无穷小的比较只是定性的,即只有阶的高低之别,没有数量上的关系C.不是任何无穷小量都能比较其阶的高低如：当 x时,sinx,1都是无穷小量,但lim xlim xsinx不存在,不能比较其阶的x2x2高低等价无穷小的性质A.设, 且lim存在,就 .
25、limlim注： 这个性质说明：求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替,因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题,但是做无穷小变换时必需分子或分母整体替换,不能分子或分母分项替换；名师归纳总结 B.与是等价无穷小的充分必要条件为：ox1 x 22ex1 x1 第 10 页,共 23 页C.常用的等价无穷小有：当x0时1x1cos 1x1xloga1xlnasinxtanxarcsinx x ln1xarctanxx1xln0 且- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载无穷大与无穷小的关系在自变量的同一变化过程中,假如f
26、x 是无穷大,就f1为无穷下；假如f x 是无穷小且f x 0,x就f1为无穷大；x10、函数极限的运算法就 、函数极限的运算规章如已知xx0 或 x 时,fxA ,gxxBclimfxx n就x lim x 0fxgxABxABx lim x 0fxgx lim x 0fxA,B0）gxB存在,而 c 为常数 , 就limcf推论：假如limfx假如limfxfx nlimf存在,而 n 为正整数,就lim注：数列极限也有同样的运算性质；复合函数的极限的运算法就设函数yfgx是由函数ugx与函数yfu复合而成,fgx在点x 的某去心领域内有定义,如x lim x 0gxu 0,u lim u
27、 0f uA,且存在00,当xU0x,0时,有gxu 0,就x lim x 0fgx u lim u 0f uA极限存在准就名师归纳总结 准就一： 假如数列 x , y , nz 满意以下条件x nzn第 11 页,共 23 页A.从某项起,即存在nN,当nn 0时,有ynB.lim ny na ,lim nz na- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 那么数列 x 的极限存在,且 nnlimxn学习必备欢迎下载a注： 此准就也就是夹逼准就 . 准就二： 单调有界的函数必有极限 . 注： 有极限的函数不肯定单调有界两个准就都可以推广到函数的极限,但要留意使
28、用的条件；、两个重要的极限lim x 0sinx1lim x 01x1e或lim x11xexxx注： 我们要记住这两个重要的极限,在今后的解题中会常常用到它们；例题： 求lim x 12xe2a0时,如用 t 代换1 ,就 xt0；x解答： 令tx,就x2 ,由于xt2就lim x 12xlim t 11 t2tlim t 11 tt2xx注： 解此类型的题时,肯定要留意代换后的变量的趋势,像. 关于极限的几个重要结论A.lim nqn0q1q1（其中0,b 00）B.lim nna1a0C.lim nnn1D.lim na 0xna 1xn1a na 0nmnmb 0m xb 1xm1b
29、mb 00nm11、函数的一重要性质连续性在自然界中有很多现象,如气温的变化,植物的生长等都是连续地变化着的反映,就是函数的 连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念增量. 这种现象在函数关系上的名师归纳总结 设变量 x 从它的一个初值1x 变到终值x ,终值与初值的差x2x 1就叫做 变量 x 的增量 ,记为：x 即：第 12 页,共 23 页xx2x 1增量x可正可负 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 我们再来看一个例子：函数yfx学习必备欢迎下载x 在领域内从x 变到 0x0x在点x 的邻域内有定义,当自变量 0时,函数 y 相应地从
30、fx0变到fx0x,其对应的增量为：yfx0xfx 0这个关系式的几何说明如下图：现在我们可对连续性的概念这样描述：假如当x趋向于零时,函数y 对应的增量y也趋向于零,即：lim x 0y0,那么就称函数yf x在点x 处连续；0函数连续性的定义：名师归纳总结 设函数yfx在点x 的某个邻域内有定义,假如有 0lim x x 0fx fx 0称函数yf x在点第 13 页,共 23 页0x处 连续 ,且称x 为函数的的 连续点 . 下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数在区间a,b 内有定义,假如左极限lim x b0fx 存在且等于fb,即：lim x b
31、0fx f b ,那么我们就称函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x在点 b 左连续 . 设函数fx学习必备欢迎下载x lim a0fx 存在且等于fa,即：在区间 a,b 内有定义,假如右极限lim x a0fx fa ,那末我们就称函数在点a右连续 . a ,一个函数在开区间a,b 内每点连续 , 就为在 a,b 连续,如又在a 点右连续, b 点左连续,就在闭区间b 连续,假如在整个定义域内连续,就称为连续函数 ；注： 一个函数如在定义域内某一点左、右都连续,就称函数在此点连续,否就在此点不连续. 注： 连续函数图形是一条连续而不间断的曲线
32、；通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了,同时我们可以想到如函数在某一点要是不连续会显现 什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点 函数的间断点 定义： 我们把不满意函数连续性的点称之为 间断点 . 它包括三种情形：a ：f x在x 无定义；0f0x；b ： 在x0x时无极限；c ： 在x0x时有极限但不等于下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：名师归纳总结 例 1： 正切函数ytanx在x2处没有定义,所以点x2是函数ytanx的间断点,因第 14 页,共 23 页limtanx,我们就称x2为函数ytanx的 无穷间断点 ；x2例 2： 函数ysin1在点x0处没有定义；故当
33、x0时,函数值在 -1 与 +1 之间变动无限多次,我x们就称点x0叫做函数的 振荡间断点 ；x,1x0例 3： 函数fx ,0x0当x0时,左极限x lim 0fx 1,右极限lim x 0fx 1,从x,1x0这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在,但不相等,故函数在点x0是不存在极限；我们仍可以发觉在点x0时,函数值产生跳动现象,为此我们把这种间断点称为跳动间断点 ；我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下: - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4： 函数yx21在点x1学习必备欢迎下载为不连续；但这里没有定义,所以函数在点x1x1lim x
34、 1x21lim x 1x12,假如补充定义： 令x1时y2,就所给函数在x1成为连续； 所以x1x1称为该函数的可去间断点；间断点的分类我们通常把间断点分成两类：假如 0x 是函数 f x 的间断点,且其左、右极限都存在,我们把 0x 称为函数的 第一类间断点 ；不是第一类间断点的任何间断点,称为其次类间断点 . 第一类间断点中,左、右极限相等 者称为 可去间断点 ,不相等者称为 跳动间断点 ,无穷间断点 和振荡间断点 明显是其次类间断点；连续函数的性质及初等函数的连续性 连续函数的性质a ：连续函数的和,差,积,商（分母的函数值不等于0）是连续的0yx0点连续,就复合函数b ：复合函数的连续性：如函数ux在x 点连续,函数 0yfu在uyfx在x 点连续；0f1 x在相应的区间上c ：反函数的连续性：如函数yfx在区间 I 上单调且连续,那么其反函数表现相同的单调性且连续；初等函数的连续性 通过前面我们所学的概念和性质,我们可得出以下结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的（基本 初等函数包括幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数）；一切初等函数（基本初等函数经过有限次四就运算及有限次复合后所构成的函数类）在其定义区间内也都是连续的. 2kk0 ,12,注： 初等函数在其定义域内不肯定连续,如fx cosx1的定义域为x它在定义域内的任一点都不连续；初等函数