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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 5 练 如何让 “ 线性规划 ” 不失分题型分析 高考展望 “ 线性规划” 是高考每年必考的内容,主要以挑选题、填空题的形式考查,题目难度大多数为低、中档,在填空题中显现时难度稍高.二轮复习中,要注意常考题型的反复训练,注意争论新题型的变化点,争取在该题目上做到不误时,不丢分 . 体验高考x 20,1.2022天津 设变量 x, y 满意约束条件x y30,就目标函数zx6y 的最大值为 C 2xy30,A.3 B.4 C.18 D.40 解析 画出约束条件的可行域如图中阴影部分,作直线 l：x 6y0,平移直线 l 可知,直线 l 过点
2、A 时,目标函数 zx6y 取得最大值,易得 A0,3,所以 zmax 06 318,选 C. 2.2022陕西 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,假如生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元,就该企业每天可获得最大利润为 D 甲 乙 原料限额A 3 2 12 B 1 2 8 A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元3x2y12,解析设甲,乙的产量分别为x 吨, y 吨,由已知可得x2y 8,x0,y0,目标函数 z3x4y,线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示：可得目标
3、函数在点A 处取到最大值 .由x2y8,得 A2,3.就 zmax3 24 318万元 . 3x2y12,xy2,3.2022山东 假设变量x,y 满意2x3y9,就 x2y2的最大值是 C x0,名师归纳总结 A.4 B.9 C.10 D.12 第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xy 2,解析满意条件2x3y9,的可行域如图中阴影部分包括边界 ,x2y2是x0可行域上动点 x, y到原点 0,0距离的平方,明显,当 x3,y 1 时,x 2y2 取最大值,最大值为 10.应选 C. xy30,4.2022浙江 假设平面区域2xy
4、 30,夹在两条斜率为1 的平行直线之间,就这两条平行直线x2y 30间的距离的最小值是 B 3 5 3 2A. 5 B. 2 C. 2 D. 5 解析 已知不等式组所表示的平面区域如以下图的阴影部分,x2y30,xy3 0,由 解得 A1,2,由 解得 B2,1. xy30,2xy30,由题意可知,当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时,两直线的距离最小,即|AB|122 2122. xy10,5.2022课标全国 假设 x,y 满意约束条件 x2y0,就 zx y 的最大值为 _.32x2y20,解析 画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分 ABC所示：作直线 l 0：xy0,
5、平移 l 0 到过点 A 的直线 l 时,可使直线y xz 在 y 轴上的截距最大,即 z 最大,解 x2y0,x2y20 得 x1,y12,即 A 1,1 2,故 z 最大11 23 2. 高考必会题型题型一 已知约束条件,求目标函数的最值2xy0,例 12022北京 假设 x,y 满意xy3,就 2xy 的最大值为 C x0,名师归纳总结 A.0 B.3 C.4 D.5 . 第 2 页,共 9 页解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令 z 2xy,就 y 2xz,作直线 2xy0 并平移, 当直线过点A 时,
6、截距最大, 即 z 取得最大值,由2xy0,得x1,所以 A 点坐标为 1,2,可得 2xy 的最大值为2 12 4. xy3,y2,点评1确定平面区域的方法：“ 直线定界,特别点定域” .2线性目标函数在线性可行域中的最值,一般在可行域的顶点处取得,故可先求出可行域的顶点,然后代入比较目标函数的取值即可确定最值 . x2y10,变式训练 1已知实数 x,y 满意x2,就 z|4x 4y3|的取值范畴是 A xy10,A. 53,15 B. 5 3, 15 C. 5 3,5 D.5,15 解析 依据题意画出不等式所表示的可行域,如以下图,z|4x4y 3 |4x4y3| 4 2表示的几何意义是
7、可行域内的点 x, y到直线 4x 4y3 0 4 2的距离的 4 2倍,结合图象易知点 A2, 1,B13,2 3到直线 4x4y30 的距离分别为最大和最小,此时 z 分别取得最大值 15 与最小值5 3,故 z5 3,15,应选 A. 题型二 解决参数问题xy1,例 2已知变量 x,y 满意约束条件xy1,假设 x2y 5恒成立,就实数 a 的取值范畴为 C xa,A. , 1 B. 1, C.1,1 D. 1,1 解析 由题意作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,就 x2y 5 恒成立可转化为图中的阴影部分在直线 x2y 5 的xy1,x 1,x y1,x1,上方,由 得
8、由 得x2y 5,y 2,x y1,y0,就实数 a 的取值范畴为 1,1.点评 所求参数一般为对应直线的系数,最优解的取得可能在某点,也可能是可行域边界上的全部点,要依据情形利用数形结合进行确定,有时仍需分类争论 . xy0,变式训练 22022山东 已知 x,y 满意约束条件xy2,假设 zaxy 的最大值为4,就 a 等于y0,名师归纳总结 B C.2 D.3 第 3 页,共 9 页A.3 B.2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知 A2,0,由xy0,得 B1,1.由 zaxy,得 y axz
9、. xy2,当 a 2 或 a 3 时,zaxy 在 O0,0处取得最大值, 最大值为 zmax0,不满意题意, 排除 C,D 选项；当 a2 或 3 时, zax y 在 A2, 0处取得最大值,题型三 简洁线性规划的综合应用2a4, a2,排除 A ,应选 B. 例 312022 浙江 在平面上,过点P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线 l 上的投影 .由区域x2 0,xy 0,中的点在直线xy2 0 上的投影构成的线段记为AB,就 |AB|等于 C x3y40A.2 2 B.4 C.3 2 D.6 22022课标全国乙 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型
10、材料 .生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3个工时,生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,就在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 _216 000元. 解析1已知不等式组表示的平面区域如图中PMQ 所示 . xy2 上的解得 Q2, 2. 由于 l 与直线 xy0 平行 .所以区域内的点在直线投影构成线段AB,就 |AB|PQ|. 由x3y40
11、,解得 P1,1,由x2,xy0,xy0.所以 |AB|PQ|122 12232. 2设生产 A 产品 x 件, B 产品 y 件,依据所消耗的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束1.5x0.5y150,x0.3y90,5x 3y600,条件为x0,目标函数 z2 100x900y. y0,xN *,yN *作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为60, 100,0,200,0,0, 90,0,在 60,100名师归纳总结 处取得最大值,zmax2 100 60900 100216 000元 . 第 4 页,共 9 页点评假设变量的约束条件形成一个区域,如圆、三角形、带状图形等,都可
12、考虑用线性规划的方法- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解决,解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组,画出可行域,确定变量的取值范畴,解决详细问题 . y0,变式训练 3设点 Px,y是不等式组x2y10,所表示的平面区域内的任意一点,向量 m1,xy31,n2, 1,点 O 是坐标原点,假设向量 OP mn,R,就 的取值范畴是 A. 2,2 3 B.6,2C.1,7 2 D. 4,2 3 答案 B 解析 画出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示 . x2,由题意,可得 x, y 1,12,12,故y.令 z 22 3 2x3y,变形得
13、 y2 3x3.当直线 zy23x3过点 A1,0时, z z取得最大值,且 zmax2；当直线 y2 3x z 过点 B3,0时, z 取得最小值,且 zmin 6.应选 B. 高考题型精练xy0,1.2022安徽 已知 x,y 满意约束条件xy40,就 z 2xy 的最大值是 A y1,A. 1 B.2 C.5 D.1 解析 约束条件下的可行域如以下图,由 z 2xy 可知 y2xz,当直线 y2xz 过点 A1, 1时,截距最大,此时 z 最大为 1. yx1,2.2022四川 设 p：实数 x,y 满意 x 12y12 2,q：实数 x,y 满意y1x,就 p 是 q 的A y1,A.
14、 必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 如图,yx1,x12y12 2表示圆心为 1,1,半径为2的圆内区域全部点包括边界 ；y1x,表y1名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 示 ABC 内部区域全部点 包括边界 .实数 x,y 满意 就必定满意 ,反之不成立 .就 p 是 q 的必要不充分条件 .应选 A. x0,3.在平面直角坐标系中,点P 是由不等式组y0,所确定的平面区域内的动点,Q 是直线2xyxy10 上任意一点, O 为坐标原点,就|OP OQ|的最小值为 A A.
15、5B.2C.2D.1 532解析在直线 2xy 0 上取一点 Q ,使得 QOOQ ,就|OP OQ |OP QO |QP|PP|BA |,其中 P ,B 分别为点 P,A 在直线 2xy0 上的投影,如图. 由于 |AB |01| 12225,因此 |OP 5 OQ|min5 5 . xy70,4.已知圆 C：xa2yb21,平面区域 ：xy30,假设圆心 C,且圆 C 与 x 轴相切,y0.就 a2b2的最大值为 C A.5 B.29 C.37 D.49 为 MNP 内部及边界 . 解析由已知得平面区域圆 C 与 x 轴相切, b1.明显当圆心C 位于直线 y1 与 xy70 的交点 6,
16、1处时,amax 6. a 2b2 的最大值为 621237. 3xy20,5.设 x,y 满意约束条件xy 0,假设目标函数zaxbya0,b0的最大值为4,就 abx0,y0,的取值范畴是 B A.0 ,4 B.0 ,4 C.4 , D.4, 解析 作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,由图可知,zaxbya 0,b0过点 A1,1时取最大值,名师归纳总结 ab4,abab 224, a 0,b0, ab0,4,应选 B. 第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2y1,6.已知变量 x,y 满意约束条件xy 1,假设 zx2
17、y 的最大值与最小值分别为a,b,且方程 x2y10,kx1 0 在区间 b,a上有两个不同实数解,就实数 k 的取值范畴是 C A. 6, 2 B. 3,2 C.103, 2 D. 10 3, 3 解析 作出可行域,如以下图,就目标函数 zx2y 在点 1, 0处取得最大值 1,在点 1,1处取得最小值3,a1,b 3,从而可知方程 x2kx10 在区间 3,1上有两个不同实数解 . 令 fxx2kx1,f 3 0,就f 1 0,. 10 3k 2,3k 2 1,k24 0,x 1y0,7.已知实数x,y 满意x y40,假设目标函数z2xy 的最大值与最小值的差为2,就实数my m,的值为
18、 C D.1 2A.4 B.3 C.2 x1y0,解析xy40,表示的可行域如图中阴影部分所示. ym将直线 l 0：2xy0 向上平移至过点A,B 时, z2xy 分别取得最小值与最大值. 由x1y0,得 Am1,m,由xy40,得 B4m,m,ymym所以 zmin2m1m3m2,zmax24mm8m,所以 zmaxzmin8m3m22,解得 m2. 2xy10,8.设关于 x,y 的不等式组xm0,表示的平面区域内存在点Px0,y0,满意 x02y02,求ym0名师归纳总结 得 m 的取值范畴是 C 第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
19、 - - A., 4 3B., 1 3C., 2 3D., 5 3答案解析当 m0 时,假设平面区域存在,就平面区域内的点在其次象限,m平面区域内不行能存在点Px0,y0满意 x02y02,因此 m0. 如以下图的阴影部分为不等式组表示的平面区域. 要使可行域内包含y1 2x1 上的点,只需可行域边界点m,m在直线 y1 2x1 的下方即可,即1 2m1,解得 m 2 3. x2y40,9.2022江苏 已知实数x,y 满意2xy20,就 x2 y2的取值范畴是 _. 4 5,133xy30,解析已知不等式组所表示的平面区域如以下图：x 2y2 表示原点到可行域内的点的距离的平方. 解方程组3
20、xy30,得 A2,3.由图可知 x2y2min|2|24 5,x2y40,2212x2y2max|OA|2223213. 10.4 件 A 商品与 5 件 B 商品的价格之和不小于20 元,而 6 件 A 商品与 3 件 B 商品的价格之和不大于24,就买 3 件 A 商品与 9 件 B 商品至少需要 _元. 22 解析设 1 件 A 商品的价格为x 元,1 件 B 商品的价格为y 元,买 3 件 A 商品与 9 件 B 商品需要 z 元,4x5y20,就 z 3x9y,其中 x,y 满意不等式组6x3y24,作出不等式组表示的平面区域,如以下图,x0,y0,其中 A0,4,B0,8,C10
21、 3,4 3.当 y1 3x1 9z 经过点 C 时,目标函数 z 取得最小值 .所以 zmin310 39 4 322.因此当 1 件 A 商品的价格为 10 3元,1 件 B 商品的价格为 4 3元时,可使买 3 件 A 商品与 9 件 B 商品的费用最少,最少费用为 22 元 . x4y4,11.给定区域 D：xy4,令点集 T x0,y0D|x0,y0 Z,x0,y0是 zxy 在 D 上取得最大x0,名师归纳总结 值或最小值的点,就 T 中的点共确定 _6_条不同的直线 . 第 8 页,共 9 页解析线性区域为图中阴影部分,- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
22、- - - - 取得最小值时点为0,1,最大值时点为0,4,1,3,2,2,3, 1,4,0,故共可确定6 条不同的直线 . 12.2022浙江 假设实数 x,y 满意 x 2y21,就 |2xy2|6 x3y|的最小值是 _.3 解析 满意 x2 y21 的实数 x,y 表示的点 x,y构成的区域是单位圆及其内部 . fx,y|2xy2|6x3y| |2xy2|6 x3y4x2y,y 2x2,83x4y,y2x2.直线 y 2x2 与圆 x2y21 交于 A,B 两点,如以下图,易得 B 3 5,4 5 . 设 z14x2y,z283x4y,分别作直线 y1 2x 和 y 3 4x 并平移,就 z14x2y 在点 B 5,4取得最小值为 3, z283x4y 在点 B 5,4 5取得最小值为 3,所以 |2xy2|6 x3y|的最小值是3. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页