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1、第 5 练如何让 “线性规划 ”不失分题型分析 高考展望 “线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分. 体验高考1.(2015天津 )设变量 x， y 满足约束条件x 20，x y30，2xy30，则目标函数zx6y 的最大值为 (C) A.3 B.4 C.18 D.40 解析画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l：x 6y0，平移直线 l 可知，直线l 过点 A 时，目标函数zx6y 取得最大值，易得 A(0，3)，所
2、以 zmax 06318，选 C. 2.(2015陕西 )某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B 两种原料，已知生产1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为(D) 甲乙原料限额A 3212 B 128 A.12 万元B.16 万元C.17 万元D.18 万元解析设甲，乙的产量分别为x 吨， y 吨，由已知可得3x2y12，x2y 8，x0，y0，目标函数 z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值 .由x2y8，3x2y12，得 A(2，3).则 z
3、max324318(万元 ). 3.(2016山东 )假设变量x，y 满足xy2，2x3y9，x0，则 x2y2的最大值是 (C) A.4 B.9 C.10 D.12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页解析满足条件xy 2，2x3y9，x0的可行域如图中阴影部分(包括边界 )，x2y2是可行域上动点 (x， y)到原点 (0，0)距离的平方，显然，当x3，y 1 时，x2y2取最大值，最大值为10.故选 C. 4.(2016浙江 )假设平面区域xy30，2xy 30，x2y 30夹在两条斜率为1 的平行直线之间，则这
4、两条平行直线间的距离的最小值是(B) A.3 55B.2 C.322D.5 解析已知不等式组所表示的平面区域如以下图的阴影部分，由x2y30，xy30，解得 A(1，2)，由xy3 0，2xy30，解得 B(2，1). 由题意可知，当斜率为1 的两条直线分别过点A 和点 B 时，两直线的距离最小，即|AB|122 2122. 5.(2015课标全国 )假设 x，y 满足约束条件xy10，x2y0，x2y20，则 zx y 的最大值为 _.32解析画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(ABC)所示：作直线 l0：xy0，平移 l0到过点 A 的直线 l 时，可使直线y xz 在 y 轴上的截距
5、最大，即z最大，解x2y0，x2y20得x1，y12，即 A 1，12，故 z最大11232. 高考必会题型题型一已知约束条件，求目标函数的最值例 1(2016 北京 )假设 x，y 满足2xy0，xy3，x0，则 2xy 的最大值为 (C) A.0 B.3 C.4 D.5 解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页令 z 2xy，则 y 2xz，作直线 2xy0 并平移， 当直线过点A 时，截距最大， 即 z 取得最大值，由2xy0，xy3，得x1，y2，所以 A 点坐标为 (
6、1，2)，可得 2xy 的最大值为212 4. 点评(1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值. 变式训练 1已知实数x，y 满足x2y10，x2，xy10，则 z|4x 4y3|的取值范围是 (A) A.53，15) B.53， 15 C.53，5) D.(5，15) 解析根据题意画出不等式所表示的可行域，如以下图，z|4x4y 3 |4x4y3|4 242表示的几何意义是可行域内的点(x， y)到直线 4x 4y3 0 的距离的 42倍，结合图象易知点A
7、(2， 1)，B(13，23)到直线 4x4y30 的距离分别为最大和最小，此时 z 分别取得最大值15 与最小值53，故 z53，15)，故选 A. 题型二解决参数问题例 2已知变量 x， y 满足约束条件xy1，xy1，xa，假设 x2y 5恒成立，则实数 a的取值范围为 (C) A.(， 1 B.1， ) C.1，1D.1，1) 解析由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则 x2y 5 恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x2y 5 的上方，由xy1，x2y 5，得x 1，y 2，由x y1，x y1，得x1，y0，则实数 a 的取值范围为1，1.点评所求参数一般为对应直
8、线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论. 变式训练 2(2015 山东 )已知 x，y 满足约束条件xy0，xy2，y0，假设 zaxy 的最大值为4，则 a 等于(B) A.3 B.2 C.2 D.3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知 A(2，0)，由xy0，xy2，得 B(1，1).由 zaxy，得 y axz. 当 a 2 或 a 3 时，zaxy 在 O(0，0)处取得最大值， 最大值
9、为 zmax0，不满足题意， 排除 C，D 选项；当a2 或 3时， zax y 在 A(2， 0)处取得最大值，2a4， a2，排除 A，故选 B. 题型三简单线性规划的综合应用例 3(1)(2016 浙江)在平面上，过点P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线 l 上的投影 .由区域x2 0，xy 0，x3y40中的点在直线xy2 0 上的投影构成的线段记为AB，则 |AB|等于 (C) A.22 B.4 C.3 2 D.6 (2)(2016课标全国乙 )某高科技企业生产产品A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料1 kg，用 5 个
10、工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用 3个工时，生产一件产品A 的利润为 2 100元， 生产一件产品B 的利润为 900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品 B 的利润之和的最大值为_216 000元. 解析(1)已知不等式组表示的平面区域如图中PMQ 所示 . 因为 l 与直线 xy0 平行 .所以区域内的点在直线xy2 上的投影构成线段AB，则 |AB|PQ|. 由x3y40，xy0，解得 P(1，1)，由x2，xy0.解得 Q(2， 2). 所以 |AB|PQ|122 12232. (2
11、)设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，根据所消耗的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为1.5x0.5y150，x0.3y90，5x 3y600，x0，y0，xN*，yN*目标函数 z2 100 x900y. 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60， 100)，(0，200)，(0，0)， (90，0)，在 (60，100)处取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元 ). 点评假设变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
12、 - -第 4 页，共 9 页解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题 . 变式训练 3设点 P(x，y)是不等式组y0，x2y10，xy3所表示的平面区域内的任意一点，向量 m(1，1)，n(2， 1)，点 O 是坐标原点，假设向量OP m n( ， R)，则 的取值范围是() A. 32，23 B.6，2C.1，72 D. 4，23 答案B 解析画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示. 由题意，可得 (x， y) (1，1) (2，1)( 2 ， )，故x 2 ，y .令 z 2( 2 ) 3( ) 2x3y，变形得y23
13、xz3.当直线y23xz3过点 A(1，0)时， z取得最大值，且zmax2；当直线y23xz3过点 B(3，0)时， z 取得最小值，且zmin 6.故选 B. 高考题型精练1.(2015安徽 )已知 x，y 满足约束条件xy0，xy40，y1，则 z 2xy 的最大值是 (A) A.1 B.2 C.5 D.1 解析约束条件下的可行域如以下图，由 z 2xy 可知 y2xz，当直线y2xz过点 A(1， 1)时，截距最大，此时z 最大为 1. 2.(2016四川 )设 p： 实数 x， y 满足 (x 1)2(y1)2 2， q： 实数 x， y 满足yx1，y1x，y1，则 p 是 q 的
14、(A) A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析如图，(x1)2(y1)2 2表示圆心为 (1，1)，半径为2的圆内区域所有点(包括边界 )；yx1，y1x，y1表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页示ABC 内部区域所有点(包括边界 ).实数 x，y 满足 则必然满足 ，反之不成立 .则 p 是 q 的必要不充分条件 .故选 A. 3.在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组x0，y0，xy1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2xy0 上任意一点， O 为坐标原点，则|OP OQ|
15、的最小值为 (A) A.55B.23C.22D.1 解析在直线 2xy 0 上取一点 Q，使得 QOOQ，则|OP OQ|OP Q O|QP|PP|BA|，其中 P，B 分别为点 P，A 在直线 2xy0 上的投影，如图. 因为 |AB|01|122255，因此 |OPOQ|min55. 4.已知圆 C：(xa)2(yb)21，平面区域 ：xy70，xy30，y0.假设圆心C，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2b2的最大值为 (C) A.5 B.29 C.37 D.49 解析由已知得平面区域 为 MNP 内部及边界 . 圆 C 与 x 轴相切， b1.显然当圆心C 位于直线y1 与 xy70
16、的交点 (6，1)处时，amax 6. a2b2的最大值为621237. 5.设 x，y 满足约束条件3xy20，xy 0，x0，y0，假设目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为4，则 ab的取值范围是 (B) A.(0 ，4) B.(0，4 C.4， ) D.(4， ) 解析作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，zaxby(a 0，b0)过点 A(1，1)时取最大值，ab4，abab224， a 0，b0， ab(0，4，故选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页6.已知变量x，y 满足约束条
17、件x2y1，xy 1，y10，假设 zx2y 的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx1 0在区间 (b，a)上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是(C) A.(6， 2) B.(3，2) C.(103， 2) D.( 103， 3) 解析作出可行域，如以下图，则目标函数zx2y 在点 (1， 0)处取得最大值1，在点 (1，1)处取得最小值3，a1，b 3，从而可知方程x2kx10 在区间 (3，1)上有两个不同实数解. 令 f(x)x2kx1，则f 3 0，f 1 0，3k2 1， k24 0，? 103k 2，7.已知实数x，y 满足x 1y0，x y40，y m，假设目标函数z
18、2xy 的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为 (C) A.4 B.3 C.2 D.12解析x1y0，xy40，ym表示的可行域如图中阴影部分所示. 将直线 l0：2xy0 向上平移至过点A，B 时， z2xy 分别取得最小值与最大值. 由x1y0，ym得 A(m1，m)，由xy40，ym得 B(4m，m)，所以 zmin2(m1)m3m2，zmax2(4m)m8m，所以 zmaxzmin8m(3m2)2，解得 m2. 8.设关于 x，y 的不等式组2xy10，xm0，ym0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足 x02y02，求得 m 的取值范围是(C) 精选学习资料 - - - -
19、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页A.，43B.，13C.，23D.，53答案解析当 m0 时，假设平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足 x02y02，因此 m0. 如以下图的阴影部分为不等式组表示的平面区域. 要使可行域内包含y12x1 上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线y12x1 的下方即可，即m12m1，解得 m23. 9.(2016江苏 )已知实数x，y 满足x2y40，2xy20，3xy30，则 x2 y2的取值范围是_.45，13解析已知不等式组所表示的平面区域如以下图：x2y2
20、表示原点到可行域内的点的距离的平方. 解方程组3xy30，x2y40，得 A(2，3).由图可知 (x2y2)min|2|2212245，(x2y2)max|OA|2223213. 10.4 件 A 商品与 5 件 B 商品的价格之和不小于20 元，而 6 件 A 商品与 3 件 B 商品的价格之和不大于24，则买 3 件 A 商品与 9件 B 商品至少需要 _元. 22 解析设 1 件 A 商品的价格为x 元，1 件 B 商品的价格为y 元，买 3 件 A 商品与 9 件 B 商品需要z 元，则 z 3x9y，其中 x，y 满足不等式组4x5y20，6x3y24，x0，y0，作出不等式组表示
21、的平面区域，如以下图，其中 A(0，4)，B(0，8)，C(103，43).当 y13x19z经过点 C 时，目标函数z 取得最小值 .所以 zmin310394322.因此当 1 件 A 商品的价格为103元，1 件 B 商品的价格为43元时，可使买3 件 A 商品与 9 件 B 商品的费用最少，最少费用为22 元 . 11.给定区域 D：x4y4，xy4，x0，令点集 T( x0，y0)D|x0，y0 Z，(x0，y0)是 zxy 在 D 上取得最大值或最小值的点，则 T 中的点共确定_6_条不同的直线 . 解析线性区域为图中阴影部分，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
22、归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3， 1)，(4，0)，故共可确定6 条不同的直线 . 12.(2015浙江 )假设实数x，y 满足 x2y21，则 |2xy2|6 x3y|的最小值是 _.3 解析满足 x2 y21 的实数 x，y 表示的点 (x，y)构成的区域是单位圆及其内部. f(x，y)|2xy2|6x3y| |2xy2|6 x3y4x2y，y 2x2，83x4y，y2x2.直线 y 2x2 与圆 x2y21 交于 A，B 两点，如以下图，易得 B35，45. 设 z14x2y，z283x4y，分别作直线y12x 和 y34x 并平移，则z14x2y 在点 B35，45取得最小值为3， z283x4y 在点 B35，45取得最小值为3，所以 |2xy2|6 x3y|的最小值是3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页