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1、中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网高考复习指导讲义第一章 函数与方程一、考纲要求1. 理解集合、子集、交集、并集、补集等概念。了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合。“或”、 “和” 、 “且” 、 “非”的含义，理解四种命题及其相互关系。3. 理解 ax+b c， ax+b c(c 0) 型不等式的概念，并掌握它们的解法；了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法。4. 了解映射的概念，在此基础上理解函数及有关的概念，掌握互为反函数的图像、定义域及值域间的关系，会求一些
2、简单函数的反函数。5. 理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图像的对称性关系描绘函数的图像，了解奇偶函数定义域必关于原点对称的特点。6. 理解分数指数幂、根式的概念，掌握有理指数幂的运算法则。7. 理解对数的概念，掌握对数的性质和运算法则。8. 掌握幂函数的概念及其图像和性质，在考察函数性质和运用性质解决问题时，所涉及的幂函数f(x)=xa中的 a 限于在集合 -2 、 -1、-21、31、1、 2、3中取值。9. 掌握幂函数、指数函数、对数函数的概念及其图像和性质，并会解简单指数方程和对数方程。 10.会解简单的对数不等式、指数不等式及简
3、单的函数不等式，要注意单调性和定义域的应用。二、知识结构三、知识点、能力点提示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网(1) 集合元素有“四性” ：确定性、互异性、无序性和任意性。即集合中元素应完全确定，不能模棱两可，集合中元素互不相同，不能重复出现；集合中元素无序关系，例如1、2、3与 2、1、3表示同一集合；集合中元素可以是具体确定的事物，而不仅限于“数、点、式、形”。(2) 集合表示方法有三种：列举法、描述法和图示法。(3) 元素与集合，集合与集合的关系：“” “
4、”用于表示元素与集合间关系，“” 、 “”、 “” 、“” 、 “”用于表示集合与集合间关系。(4) 集合运算有三种：交、并、补。交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的交集，记作AB。即A B xxA且 xB并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A、B的并集，记作AB。即A B xxA或 xB补集：已知全集I 、集合 A I ，由 I 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在集合 I 中的补集，记作A。即EMBEDEquation.3AxxI，/ A(5) 例题赏析例 1已知集合A x、xy、lg(xy) ，B 0、 x， y且 A B，
5、求 x、y 的值。解：由 AB可知，必有lg(xy)0，即 xy1，假设 xy y，则 x1，于是xxy，与集合A 中元素互异性矛盾，故xy x，即 xy-1 符合题意，此时，AB 1， -1 ，0 ， xy-1 说明：通过对“集合元素有四性”的应用，强化学生对概念的理解，培养学生思维的全面性、深刻性，使之具备应用集合元素性质解决问题的能力。例 2 设 I 1，2，3，4，5，6，7，8 ，AB 2，8 ，A B 2，3，4，5，6，7，8 ，求 A、B、AB解：用韦恩图表示集合I 、A、B的关系，表示集合A 、B的两个相交圈将表示全集I 的矩形分成互不相交的四个部分，它们分别表示 AB， A
6、B，AB。例 2 图如图，依题意知ABAB 1 ，又AB 2，8 ，AB 3， 7 ， A 1， 2，8 ，B 1，3，7. AB 4，5，6说明：通过对集合表示方法的训练，培养学生思维的灵活性，使之具备“数形结合”解决此类问题的能力。例 3设 A xxa2+1，a N ，B y yb2-6b+10， bN ，求证： AB 证： A xx a2+1，aN ，B yyb2-6b+10 ，bN yy(b-3) 2+1，bN又 a,b N， b-3 -2，-1 ，0 N 对于任意一元素xA，则 xB AB 当 b-3 0 时 y(b-3) 2+11B，而 1A AB 精选学习资料 - - - - -
7、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网说明： 通过对集合与元素，集合与集合关系的训练，培养学生运算能力，使之具备根据条件寻求合理、简捷运算途径的能力。例 4设 A x(x+2)(x+1)(x-1)0 ，B xx2+px+q0 ，假设A B xx-2 ，A Bx 1x3 ，求 p、q 的值。解：将 A 化简，得A x-2 x-1 ，或 x 1 ，由 AB x x-2 ，AB x 1x1 ，结合数轴，知B x-1 x3 ，由 -1 和 3 是方程 x2+px+q0 的两根，得p-2 q-3 说明：通过对
8、数集的交、并、补运算的训练，使学生掌握化简集合，利用数轴表示集合并进行运算的方法。(1) 映射是一种特殊的对应，即“一对一”或“多对一”但不能是“多对一”。(2) 从集合 A到集合 B的映射 f ：AB中， A中任一元素都必须有象，但B中元素未必有原象。(3) 函数是一种特殊的映射，要求f:A B中， A、B都是非空数集，其中A为定义域， f(A) 是值域。(4) 函数的表示方法有三种：图像法、表格法和解析法。(5) 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。(6) 函数的三特征：非空、数集、满射。(7) 例题赏析：例 5已知 (x,y)在映射 f 下的象为 (3x,x-y)，求 (1 ， 2)在
9、 f 下的原象。解：由题意，知 3x1 x31解之得 x-y 2 y-5/3 (1 ，2)在 f 下的原象是 (31，-5/3) 说明：通过此题加深对“映射”概念的理解，训练学生分析象与原象关系的能力，使之具备把映射与其它知识综合运用的能力。例 6设 f(x)是定义在R+上的函数，且满足f(xy)f(x)+f(y) f(21) 1，求 f(1) 和 f(4) 的值。解：对任意x，yR+均有 f(xy)f(x)+f(y)成立令 x1,y 1，得 f(1 1)f(1)+f(1) f(1) 0 又令 x2，y21得 f(2 21) f(2)+f(21) 0f(2)+1 f(2) -1 f(4) f(
10、2 2) f(2)+f(2)2f(2) -2 说明：通过“函数是一种特殊的映射”，训练学生思维的敏捷性和灵活性，使之具备抽象思维能力。例 7已知一台冷轧机共有4 对减薄率为20% 的轧辊，所有轧棍周长均为1600mm ，假设第K 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为LK，为了便于检修，请计算 L1、L2、L3并填入下表 ( 轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗) 。轧辊序号K 1 2 3 4 疵点间距LK(mm) 1600 解：第 3 对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，故 16
11、00 L3(1-0.2) 所以 L31600/0.8 2000(mm) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网同理 L2L3/0.8 2500(mm) L1L2/0.8 3125(mm) 填表如下：轧辊序号K 1 2 3 4 疵点间距LK(mm) 3125 2500 2000 1600 说明：通过函数表示方法，训练学生分析问题能力，使之具备用表格法表示函数的能力。例 8已知函数f(x)x2，g(x) 为一次函数，且一次项系数大于零，假设f(g(x) 4x2-20 x+
12、25 ，求g(x) 的表达式。解：由 g(x) 为一次函数，设g(x) ax+b(a 0) f(g(x)4x2-20 x+25 (ax+b)24x2-20 x+25 ，即a2x2+2abx+b24x2-20 x+25 解得 a2,b -5 故 g(x) 2x-5(x R) 说明：通过此题，训练学生利用待定系数法、恒等式性质解题的能力，加深对函数三要素、三特征的理解，使之具备求复合函数解析式、定义域的能力。(1) 定义域： x 的取值集合。(2) 值域： y 的取值集合。(3) 增减性：对于给定区间上的函数f(x) 、对任意的x1，x2x1x2 f(x1) f(x2),f(x)在区间上是增函数；
13、 x1x2 f(x1) f(x2) ，f(x)在区间上是减函数。(4) 奇偶性：对于函数定义域内任意x，有 f(-x)f(x) f(x)是偶函数； f(-x)-f(x) f(x)是奇函数。(5) 周期性：假设存在常数T(T0)，使对定义域内任意x 都有 f(x+T) f(x),则 f(x) 叫周期函数，T叫 f(x)的一个周期，合条件的最小正数T 叫 f(x) 的最小正周期。(6) 奇偶性与单调性奇函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b) 上增减性相同。偶函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b) 上增减性相反。(7) 奇函数、偶函数定义域必关于原点对称。对于奇函数f(x)，假设 f(0)
14、有意义，则f(0) 0，f(x)0，既是奇函数又是偶函数。(8) 例题赏析：例 9求以下函数的定义域： (1)y)6lg(52xxlg(6-x2) (2)y lg(ax-2 3x)(a 0 且 a1) x+5 0 x-5 解： (1) 6-x20 -6x6 6-x21 x5-6x6且 x5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网所求定义域为(-6，-5) (-5，5) (5，6) (2) ax-23x0 ( 3a)x2 当 a3 时，此函数的定义域为(log3a2，+)
15、 当 0a3 且 a1 时，函数定义域为(- ， log3a2) 当a3时，此函数定义域/。说明： 求函数定义域时，应注意分式的分母非零；偶次方根中被开方数为非负数；对数的真数为正数，底数大于零且不等于1；零指数和负指数幂的底数不为零；对于含参问题时要注意对参数分类讨论；由实际问题建立的函数，其定义域还应受实际问题的具体条件的制约。此题通过求定义域，训练学生挖掘隐含条件的能力，使之具备在各种条件下求定义域的能力。例 10求以下各函数的值域：(1)y xx43； (2)yxxe-1e2； (3)y34x-2x52；(4) 假设 f(x)的值域是83， 4/9 ，求函数 g(x) f(x)+ 的值
16、域。解： (1)y -1+x-47x-470 y-1 故函数 yx-4x3的值域为 (- ， -1) (-1 ，+) (2) 由函数关系式，得ex1y2-y， ex0，即1y2-y0 解得 y2 或 y-1 ，故函数的值域为(- ， -1) (2，+) (3) 由函数关系式变形、整理，得2yx2-4yx+3y-5 0，当 y0 时， -5 0 矛盾，故y0 xR (-4y)2-4 2y(3y-5) 0，即 0y5，故 0y5，函数的值域为(0 ， 5) (4) 设 t )(21xf83f(x) 94911-2f(x)41即 t 31，21 ，且 f(x)21 (1-t2) ，于是 g(x)-2
17、1t2+t+21-21 (t-1)2+1，t 31，21当 t 31时， gmin(x) 97当 t 21时， gmax(x) 87精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网97g(x) 87，故函数g(x) 的值域为97，87说明：求值域常用方法有：(1) 用配方法求二次函数的值域；(2) 根据反函数求二次函数的值域；(3) 对于可化为二次函数型时，利用判别式法求值域，但要注意某些限制条件；(4) 利用函数的单调性求函数的值域；(5) 通过函数的图像和变量代换求出函数的
18、值域。此题通过求函数值域，训练学生的逻辑思维及运算能力，加深对反函数、二次函数及函数单调性等数学概念的理解，使之具备思维的多向性、深刻性和批判性等能力。例 11已知 f(x)x3, 证明 f(x) 在 R上是增函数。证明：设x1，x2R且 x1x2，则f(x1)-f(x2) x13-x23(x1-x2)(x12+x22+x1x2) (x1-x2) (x1+21x2)2+43x22x1x2(x1+21x2)2+43x220,( 否则 x1x20) 又 x1-x20 (x1-x2) (x1+21x2)2+43x22 0 即 f(x1)-f(x2) 0，f(x1) f(x2) f(x)x3在 R上是
19、增函数。说明：通过单调性证明，训练学生运算能力，使之具备将f(x1)-f(x2) 化为几个能确定符合的因式的积的能力。注意：单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；单调性是函数在某一区间的“整体”性质，因此定义中的x1、x2具有任意性，不能用特殊值代替。假设求单调区间则应求“极大”区间。由于定义是充要性命题，因此单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。例 12判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)lg(12x-x); (2)f(x)x1212xx ; (3)f(x)2x+x2 (4)f(x)21x+1-x2解： (1) 此函数的定义
20、域为R. f(-x)+f(x)lg(1x2+x)+lg(1x2-x) lg1 0 f(-x)-f(x)，即 f(x)是奇函数。(2) 此函数定义域为xxR，且 x0 ，它关于原点对称。f(-x)-x 1212xx -xx2121x x1-212xxf(x) f(x)是偶函数。(3) 此函数定义域为2 ，故 f(x)是非奇非偶函数。(4) 此函数定义域为1，-1 ，且 f(x)0，可知 f(x) 图像既关于y 轴对称，又关于原点对称，故此函数既是奇函数又是偶函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页中国特级教师高考复习
21、方法指导数学复习版中国教育开发网说明：确定函数的奇偶性，一般先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(-x)与 f(x) 的关系。常用的方法有：(1) 利用函数奇偶性定义判断；(2) 用求和 ( 差) 法判断，即看f(-x)f(x) 与 0 的关系；(3) 用求商法判断，即看f(-x)f(x) 与 1 的关系。此题通过确定函数奇偶性，训练学生运算能力，使之具备运算“准确、熟练、快捷、合理”的能力。例 13已知函数f(x) 的最小正周期是8，且等式f(4+x) f(4-x)，对一切实数x 成立，判断f(x)的奇偶性。解： f(-x)f 4-(4+x) f 4+(4+x) f(8+x)f(x
22、) 故 f(x)是偶函数。说明：通过函数的周期性，对称性推导其奇偶性，训练学生的逻辑思维能力。使之具备正确的思维取向，提高能力层次。例 14已知函数f(x)是奇函数，而且在(0 ，+) 上是减函数，f(x) 在(- ， 0) 上是增函数还是减函数? 解：设 x1、x2 0 且 x1x2，则 0(-x2) (-x1) f(x)在(0 ，+) 上是减函数f(-x2) f(-x1) (1)又 f(x)是奇函数f(-x2) -f(x2) ， f(-x1) -f(x1)代入 (1) 式得-f(x2) -f(x1) 从而f(x2) f(x1) 由此可知：函数f(x)在 (- ， 0) 上是减函数。说明：通
23、过应用奇偶性、单调性，训练学生分析问题能力使之具备转化条件解决问题的能力。闭区间， 上的函数 f(x) ax2+bx+c(a 0) ， 当-ab2 ， 时 ， 最值从 f(-ab2),f(),f()中比较得出。当-ab2，时，最值从f( ),f() 中比较得出。例 15求函数 y3x2-12x+5 当自变量x 在以下范围内取值时的最值。(1)0 x3 (2)-1x1 解：对称轴x 2 (1) 2 0，3 当 x2 时， ymin -7 当 x0 时， ymax 5 (2) 2-1 ，1 当 x1 时， ymin-4 当 x-1 时， ymax20 例 16设函数 f(x)x2-2x-1在区间
24、t,t+1上的最小值是g(t) ，求 g(t) 的解析式。解： f(x) (x-1)2-2，对称轴x1 当 x1 t,t+1时， g(t)-2 此时 0 t 1 当 x1t 时， g(t) f(t)t2-2t-1 此时 t 1 当 x1t+1 时， g(t) f(t+1)t2-2 此时 t 0 t2-2 (t0g(t) -2 (0 t 1) t2-2t-1 (t1) 例 17设函数 f(x)x2-tx-1，在区间 t,t+1上的最小值是g(t)，求 g( t)的解析式。解： f(x) (x-2t)2-1-4t2，对称轴x2t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
25、 - - - - -第 7 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网当 x2t t,t+1 ，即 -2 t 0 时， g(t) -1-4t2当 x2tt 即 t 0 时， g(t)f(t)-1 当 x2tt+1 即 t -2 时 g(t)f(t+1)t t，(t -2 g(t) -1-4t2，(-2 t 0) -1，(t 0) 说明：这一组例题，通过对称轴、区间的由静到动的变化训练学生的逻辑思维能力，使之具备思维合理迁移能力。(1) 式子 yf(x) 表示 y 是自变量 x 的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子yf(x) 中解出 x，得到式子x(x) ，如
26、果对于y 在 C 中的任何一个值通过式子x (y)，x 在 A 中 都 有唯一确定的值和它对应，那么式子x (y) 就表示 x 是自变量 y 的函数。这样的函数x ( y)，叫做函数yf(x)的反函数，记作xf-1(y) ，即 x (y) f-1(y) 习惯上，一般用x 表示自变量， y 表示函数，为此对调式子x f-1(y) 中的字母x、y， 把它改写成yf-1(x) (2) 原函数与反函数的图像关于yx 对称。(3) 原函数与反函数在对应的区间上的增减性相同。(4) 假设函数的反函数是奇函数，则原函数也是奇函数。(5) 单调函数必有反函数。(6)f-1(f(x)x,x A，f f-1(x)
27、 x,x C。6. 幂函数： yxa，定义域是使xa有意义的实数，图像过(1，1)点， n0 时，在第一象限内是增函数；n0 时，在第一象限内是减函数。例 18已知幂函数f(x)x3+2m-m2 (m Z)为偶函数，且在(0 ，+) 上是增函数，求f(x)的解析式。解： f(x)x4-(m-1)2 在(0 ，+) 上是增函数4-(m-1)20 解之得： -1 m 3 又 m Z m 0，1，2，代入得：f(x)x3,f(x)x4,f(x)x3 又 f(x)为偶函数f(x)x4 说明：通过求幂函数的解析式，训练学生自觉运用幂函数的性质使之具备解决待定系数法确定幂函数解析式的能力。例 19 如图是
28、幂函数yxn在第一象限内的图像，已知n 取 2，21四值。则相应于曲线 C1、C2、C3、C4的 n 依次为 ( )A.-2 ，-21，21，2 B.2，21，-21，-221，-2 ，2，21D.2，21， -2 ，-21分析：观察x 1时图像，可知C1、 C2、C3、 C4对应的 n 依次从大到小，故选(B) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网说明：通过确定幂函数解析式，训练学生的观察能力，使之具备从特殊到一般的辨证思维能力。(1) 对数：在指数式abN中(a
29、 0 且 a1) ，则称 b 叫做以 a 为底 N的对数，记作b logaN, 以 10 为底的对数称为常用对数，记作lgN，以 e 为底的对数称为自然对数，记作lnN。(2) 指数运算法则 ( 略) ，对数运算法则( 略) 。(3) 假设 lgx a+b，其中 aZ，b 0,1), 则称 a 为 x 的常用对数的首数，b 为 x 的常用对数的尾数，当 xa 10n，1a10 时，则 lgx 的首数为n。(4) 对数恒等式 alogaN N(a0，且 a1) 对数换底公式 logaNlogbN/logba(a 、b0 且 1) (5) 对数函数与指数函数性质指数函数对数函数解析式y ax(a
30、0，a0) logax(a 0，a 1) 定义域xR x R+值域yR+yR 图像性质单调性a1，R递增0 a1 时，R递减a1 时， R+递增0 a 1 时， R+递减特征点(0 ，1) (1 ，0) 值的分布x0 x0 x0 0 x1 x1 x1 a1 0y1 y1 y1 a1 y0 y0 y0 0a1 y1 y1 0y1 0a1 y0 y0 y0 (6) 例题赏析例 20求函数 y3)-2xlg(x422x的定义域解：要使函数有意义，必须且只需 x2-4 0 x-2 或 x2 x2+2x-3 0 即 x -3 或 x1 lg(x2+2x-3) 0 x-15精选学习资料 - - - - -
31、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网x-3 或 x2，且 x-1-5故函数定义域为xx-3 或 x2，且 x-1-5 例 21设 a0，a1，又 b21(an1)-a-n1) 求 loga2(b+2b1)n解： b21 (an1-a-n1 ) 2b121(an1 +a-n1) loga2(b+2b1)nloga2(an1)nloga2a21说明：通过此题，训练学生运算能力，使之具备正确应用对数、指数性质的能力。例 22已知函数 f(x)xx101010-10-xx(1) 判断它的奇偶性。(2) 求
32、证它是单调递增函数。(3) 求它的反函数。解： (1) ： 10 x+10-x0 定义域为R f(-x)xx101010-10 x-x-f(x) f(x) 为奇函数。(2) ：任取 x1、x2R，且 x1 x2，则f(x2)-f(x1) 222-x2x101010-10 xx-111-x1x101010-10 xx)10)(1010(10)1010(211222112x-xx-xxxxx当 x2x1时， 10 x2-x11 10 x1-x2 1 10 x2-x1-10 x1-x20 又(10 x2+10-x2) (10 x1+10-x1)0 f(x2) f(x1) f(x)为增函数。 ( 变形
33、 f(x) 1101-102x2x更容易些 ) (3)y 1101-102x2x去分母得 y 102x+y102x-1 (1-y)102x1+y 当 y1 时， x 无解当 y1 时， 102xy-1y1显然当 (1+y)/(1-y)0 时，即 -1 y1 时， x 有解。当(1+y)/(1-y)0 时， x 无解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网当 -1 y1 时， 2x lgy-1y1即 x21lg (1+y)/(1-y) (-1y1反函数为：y21lgxx
34、11 (-1x1) 说明：此题f(x) 的形式变化可使解题难易程度变化。此题以f(x)为载体全面地训练学生对函数的性质的理解和运用，使之具备较强的运算能力。例 23已知函数 f(x)lg(x+2x2)-lg2证明： (1)f(x)的图像关于原点对称。(2)f(x)为单调函数。证明： (1) xR f(-x) lg(-x+2x2)-lg2lg222xx-lg2- lg(x+2x2)-lg2-f(x) f(x)是奇函数，故f(x)图像关于原点对称。(2) 设 x1，x2R，且 x1x212x2-x1122122122)(xxxx22x2 -x2x2-x12212222122xxxx21x2-22x
35、2x2+22x2x1+21x2f(x2) f(x1) f(x)为单调递增函数。说明：此题通过奇偶性、单调性证明，训练学生的运算能力，使之加深对函数性质理解，具备举一反三的能力。(1) 指数方程是一种超越方程，指数方程的解法大致分类有四种：(A)af(x)ag( x)，其中 a0 且 a1，利用指数函数的单调性化为代数方程：f(x)g(x) (B)形如 a2x+bax+c0 的指数方程， 用换元法化为一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网元二次方程来解。 (C)用对
36、数知识。 如 af(x)bg(x)(a 0 且 a1， b0 且 b 1)两边取对数， 从而求解x (D)用图像法求近似解。(2) 对数方程也是超越方程，对数方程的主要类型有：(A) 基本型： logaxb (B)同底数型：logaf(x)logbg(x) (C)：形如： log2ax+blogax+c 0 的代换型，各类型方程解法相对固定，均能化为代数方程解之，但要注意验根。上述类型以外的对数方程可用图像法求近似解。(3) 解对数方程时，需注意以下几点：(A) 利用公式 logaM+logaN=logaMN 作恒等变形可能产生增根。例如，解方程lg(2x-1)+ lg(3x-7)=0时。(B
37、) 利用公式 logaMk=klogaM作恒等变形可能失根，例如：解方程lg(x-1)2+lg(x-1)4+lg(x-1)6=12 时。(1) 两边消去对数符号可能产生增根，例如解方程logaf(x)=logag(x) 时(4) 例题赏析例 24解以下方程(1)37x-1125x210 x (2)7 3x+1-5x+23x+4-5x+3解： (1)37x-135x210 x210 x，得 312x-11 12x-1 0，x121是原方程的解(2)7 3x+1-5x+2273x+1-5 5x+2203x+1 45x+23x+15x+1(53)x+11 x+10，即 x-1 是原方程的根。例 25
38、解以下方程(1)2 72x-3-3 7x-2-50 (2)x3lgx100 x5解： (1) 令 7xt ，则 2t2-21t-5 73 0 t135,t2-249( 舍) 由 7x35 得 x1+log75是原方程的解(2) 两边取以 10 为底的对数， 方程化为 3lg2x-5lgx-20， 从而 lgx 2， -31.解得 x 100 或 x10-31，检验知 x100，x10-31是原方程的解。说明：通过例1、例 2，训练学生解指、对数方程的基本能力和基础方法，使之具备解较简单指对数方程的能力。例 26解方程： logx2-14log16xx3+40log4xx0 解： x0，当 x1
39、 时，利用换底公式将原方程化为：(0.5x)loglogx2xx-)16(logx14log3xxx +)4(logx40logxxx0 2log-12x-24log142x+22log120 x0 logx22+3logx2-2 0 logx221或 logx2-2 x4 或 x2/2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网经检验 4，2/2 都是原方程的根。由于换底时，可能失根1，经检验x1 是原方程的根。x4，x1，x2/2 都是原方程的根。说明：通过此题，训
40、练学生寻找失根的能力，使之具备解复杂方程的能力。指数不等式与对数不等式都是超越不等式，其解法与它们的方程解法有点类似( 比方换元法 ) 。解这样的不等式需要用到指数函数与对数函数的性质，特别是单调性。 对其底数是否大于 1 或小于 1 及定义域要特别重视。例 27解以下不等式(1)9log3x-7log49x2-12 0 (2)logx2-x-2log(2x2-7x+3) (3)loga(23)-x2+loga(94)2xloga24332(4)log4(3x-1)log41161-3x43解： (1)9log3x-7log49x2-12 032log3x-7log7x-12 0 x2-x-1
41、2 0 x4 或 x-3( 舍) 原不等式的解为xx4(2) 原不等式化为： x2-x-2 0 2x2-7x+3 0 解之得： 3x5 2x2-7x+3 x2-x-2 原不等式的解集为x3x5(3) 原不等式化为 x2loga(23)+4xloga(23) 5loga(23) 当 a1 时， loga(23) 0，则 x2+4x-5 0 解得 x-5 或 x 1 当 0a1 时， loga(23) 0，则 x2+4x-5 0 解得 -5x1 当 a1 时，原不等式解集为xx-5 或 x1当 0a1 时，原不等式解集为x-5 x1(4) 利用对数的性质将原不等式化为log4(3x-1) 2-2l
42、og4(3x-1)+ 43 0 令 t log4(3x-1) 得 4t2-8t+3 0 解得： t 21或 t 23当 t 21时， 03x-1 2，即 13x3 0 x1 当 t 23时， 3x-1 423，即 3x8+1 x 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网原不等式的解集为x0 x1 或 x2说明：通过解指数不等式与对数不等式，训练学习应用函数性质能力，使之具备解指数不等式与对数不等式的能力。(1) 函数 yf(x) 可看成是函数yf(u) 与 u(x
43、) 复合而来的。 或称 yf(x) 是 yf(u)与 u(x) 的复合函数。在此时u(x) 的值域应为yf(u) 的定义域的子集。例如：y102x-1可以看作是函数y10 x与 u2x-1 复合而成的。(2)y f (x) 的定义域是指使得u(x) 有意义且同时使yf(u) 有意义的x 的取值范围。记此定义域为D，当 x D时， u的值域为D，当 u 在 D内变化时，此时y 的取值集合称为 y f (x) 的值域。(3) 在复合函数yf (x) 中，假设 u(x) 在区间 (a,b) 上是单调函数，复合函数yf(u) 在区间(a) ，(b) 或(b) ，(a) 上是单调函数，那么复合函数y f
44、 (x) 在区间 (a,b)上也一定是单调函数，它的增减性如下：当u(x) 与 yf(u) 的增减性相同时，yf (x) 是增函数，否则为减函数。(4) 通过对函数图像的平移、对称等变换，可使函数形式变得更为简洁。(A)y f(x+a)的图像：是将y f(x) 图像左移a 个单位。(B)y f(x)+b的图像：是将yf(x) 图像上移b 个单位。(C)y -f(x)的图像：是将yf(x)图像关于 x 轴对称而得到。(D)y f(-x)的图像：是将yf(x)图像关于 y 轴对称而得到。(E)y f(x)图像：是将 f(x)0 的部分曲线关于x 轴对称、同时将 f(x) 0 的部分曲线保持不变。(
45、F)y f( x) 的图像：是将x0 处的图像yf(x)保持不变， x0 处的图像由 yf(x)(x0) 关于 y 轴对称而得到。(5) 如果 f(m+x) f(m-x) 成立，则 yf(x)图像关于 xm对称，假设 f(x) f(2m-x) ，则 yf(x) 图像关于 xm对称。(6) 函数 yf(x-m) 与 y f(m-x) 的图像关于xm对称。函数yf(x)与 yf(2m-x) 的图像关于xm对称。(7) 函数的最值问题与含参问题是两类重要题型，其覆盖面广、综合性强，对提高能力很有帮助。(8) 例题赏析：例 28求函数 ylog(2x2-x-3) 的定义域与值域并讨论其单调性。解：设
46、2x2-x-3 u，则函数可以看成是ylogu 与 u2x2-x-3的复合函数。2x2-x-3 0 x -1 或 x3/2 函数定义域为xx-1 或 x23当 x-1 或 x23时， u2x2-x-3 0， +yR，即值域为R 当 x-1 时 u(x) y logu y logu(x)当 x23时 u(x) y logu ylogu(x)ylog(2x2-x-3) 的递增区间是(- ， -1) ，递减区间是 (23，+) 说明：讨论复合函数的单调性，值域等均不能离开定义域，通过此题训练，使学生具备深刻认识复合函数的能力。例 29设 a0，a1，f(x) loga(x+1x2) 精选学习资料 -
47、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网(1) 判断函数 f(x)的奇偶性；(2) 求函数的反函数f-1(x) ；(3) 假设方程 f(x)loga(2x+ak) 有实数解，求k 的取值范围。解x+1x2x+x 0 f(x)定义域为R。设 ux+1x2，则 u(0 ，+)， f(x)值域为 R。(1)f(-x) loga(-x+1x2) loga(x+1x2)-1 -f(x) f(x)是奇函数。(2) 设 yloga(x+1x2) ，则ayx+1x2,a-y1x2-x ay-a-y2
48、x x21(ay-a-y) 反函数f-1(x) 21(ax-a-x) (xR) (3) 由对数性质知loga(x+1x2) loga(2x+ak) 2x+ak0 x-2a x+1x22x+ak 2akx1-a2k2 当 k0 时，无解，从而原方程无解。当 k0 时，又 a0，由得x2akba-122代入得，2akka-122-2akak2kaka-122220 2ak10 k 0 当 k 0 时，原方程有实数解。说明： 通过讨论复合函数的性质和方程的解，训练学生解题技能和运算能力，使之具备一定综合分析能力。例 30方程 1+x22logx)-(2lgalog2logx2 有解 。求 a 的取值
49、范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网解：由题意知x0 且 x1 且 x2lga 整理化简原方程得：x2-2lgax+4 0 0， 4lg2a-16 0 lga -2 或 lga 2 0a1001或 a100 又 x1x240，x0 x1+x22lga 0 a1 故 a100，此时 x1，2lga 4-alg2显然 lga-4-alg20 lga+4-alg22lga ，即 0 x2 lga成立。假设lga-4-alg21 则lga 25，a 105/ 2，此
50、 时 lga+4-alg24 是原方程的根。 这就是说a100 时，方程必有解x 合条件：0 x2lga ，且 x1。方程有解时，a 的取值范围是a100 说明： 通过含参一元二次方程的讨论，训练学生对判别式及求根公式和韦达定理的综合运用能力， 使之具备正确审题，全面分析的能力。例 31设奇函数 f(x)的定义域为 (- ，0) (0 ，+) 且在 (0 ，+) 上单调递增， f(1) 0，解不等式：f x(x-21) 0 解：奇函数f(x) 在(0 ，+) 上递增f(x)在(- ， 0) 上单调递增又 f(-1)-f(1) f(-1)f(1)0 当 x(-1 ，0)(1 ， +) 时 f(x