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1、精选学习资料 - - - - - - - - - （2022.12.09）经济数学基础学习辅导（二）（文本）顾静相： 现在是经济数学基础本学期其次次复习辅导活动,欢迎大家参与！这次活动主要有两项内容,一是对本课程其次部分积分学和第三部分线性代数进行复习辅导,二是给出本课程的综合练习,期望这些内容对大家的学习有些帮忙；一、积分学部分复习 第 1 章 不定积分 1懂得原函数与不定积分概念；这里要解决下面几个问题：（1）什么是原函数？如函数F x的导数等于fx,即Fxfx,就称函数Fx是fx的原函数；（2）原函数不是唯独的；由于常数的导数是0,故Fxc都是f x的原函数（其中c 是任意常数）；（3）
2、什么是不定积分？f原 函 数 的 全 体Fxc（ 其 中 c 是 任 意 常 数 ） 称 为f x的 不 定 积 分 , 记 为x d x=Fxc；（4）知道不定积分与导数（微分）之间的关系；不定积分与导数（微分）之间互为逆运算,即先积分,再求导,等于它本身；先求导,再积分,等于函数加上一个任意常数,即ffxdx=f x,dfxdx=fx d x, fc,d fxxdxx fx c2. 娴熟把握不定积分的运算方法；常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；（3）分部积分法,主要把握被积函数是以下类型的不定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函数与对数函数相
3、乘；幂函数与正（余）弦函数相乘；第 2 章 定积分 1明白定积分的概念,知道奇偶函数在对称区间上的积分结果要区分不定积分与定积分之间的关系；定积分的结果是一个数,而不定积分的结果是一个表达式；奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果：1 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如 f 是奇函数,就有af x dx0a如 f x 是偶函数,就有af x d x2af x d x20f x d xa0a2. 娴熟把握定积分的运算方法；常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；
4、留意：定积分换元,肯定要换上、下限,然后直接运算其值（不要仍原成原变量的函 数）（3）分部积分法,主要把握被积函数是以下类型的定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦函数相乘；3知道无穷限积分的收敛概念,会求简洁的无穷限积分；第 3 章 积分应用 1 把握用定积分求简洁平面曲线围成图形的面积；求平图形面积的一般步骤：1 画出所围平面图形的草图；2 求出各有关曲线的交点及边界点,以确定积分上下限；3 利用定积分的几何意义（即上述各式）,确定代表所求的定积分；2娴熟把握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方 法；3明白微分方程的几个概念：微分方
5、程、阶、解（通解、特解）线性方程等；把握简 单的可分别变量的微分方程的解法,会求一阶线性微分方程的解；邰照波： 这些基本要求对这些学员来说只能从书上找到原样的,要应用可就有点难为他们 了；顾老师出题时要手下留情呀；顾静相： 当然,一般考题是比较简洁的,难度不会超过作业；二、线性代数部分复习第 1 章 行列式 1明白或懂得一些基本概念（1）明白 n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念；（2）明白 n 阶行列式性质,特别是：T 性质 1 行列式 D 与其转置行列式 D 相等；性质 2 如将行列式的任意两行（或列）互换,就行列式的值转变符号；性质 3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号
6、的外面；性质 5 如将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上,就行 列式的值不变2把握行列式的运算方法2 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式,其主对角线元素的乘积即 为行列式的值；降阶法：利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素,然后按这零元素最多的行（或列）化成低一阶行列式,直至降到三阶或二阶行列式,最终直接计 算；3知道克拉默法就第 2 章 矩阵1明白或懂得一些基本概念（1）明白矩阵和矩阵相等的概念；（2）明白单位
7、矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质；（3）懂得矩阵可逆与逆矩阵概念,知道矩阵可逆的条件；（4）明白矩阵秩的概念；（5）懂得矩阵初等行变换的概念；2娴熟把握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算,把握这几种运算的有关性质；3娴熟把握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵,娴熟掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵；第 3 章 线性方程组1明白线性方程组的有关概念：阵、增广矩阵、一般解；n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩2懂得并娴熟把握线性方程组的有解判定定理；娴熟把握用消元法求线性方程组的一 般解；三、课程综合练习一、 单项挑选题1如函数fx1
8、xx,gx1x ,就fg2 A- 2 B - 1 C - 1.5 D 1.5 正确答案： A2以下函数中为偶函数的是（） D1,）Ayx2xByx eexCylnx1Dyxsinxx1正确答案： D 3函数yln11 的连续区间是（xA（1,）（2,） B1,）（2,） C（1,正确答案： A 李蓉： 为什么是 A,答案 B 的前面有中括号的定义与答案 A 区分是？3 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 顾静相： 答案 B 左边的是方括号,表示能取到端点,在左端点处函数没有意义；A4曲线y11在点（ 0,
9、1）处的切线斜率为（）x1 B21 C22131D2131xx正确答案： B 5设fx dxlnxc,就f x =（x）ln2xxAlnlnx B lnx C1ln Dxx2正确答案： C 6以下积分值为0 的是（1）xdx d xA-xsinx d x Bexe-12C1exexdx Dcosxx1-2正确答案： C 7设A 12,B13 , I 是单位矩阵,就ATBI（）A23 B12 D22 C1325362635正确答案： A 8. 设A ,B为同阶方阵,就以下命题正确选项（）.A. 如ABO,就必有AO或BOB. 如ABO,就必有AO,BOC. 如秩AO,秩BO,就秩ABOD.AB
10、1A1B1正确答案： B 9. 当条件（）成立时, n 元线性方程组AXb有解OA. r Ann D .b B. r An C.rA正确答案： D 蒋玉兰： 关于这题,上午我们一些辅导老师仍在说难了点；由于按常规思维同学就懂得成了非齐次线性方程组了,所以简洁错选成B；AXO（）10设线性方程组AXb有惟一解,就相应的齐次方程组4 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - A无解 B只有 0 解 C有非 0 解 D解不能确定正确答案： B 二、 填空题1函数y4x2x11的定义域是 .yfx是单调削减的 .应当填写
11、：2,1 ,122假如函数yfx对任意 x1, x2,当 x1 x2时,有 ,就称应当填写：fx 1fx 23已知fx1tanx,当时,fx为无穷小量x应当填写：x04过曲线ye2x上的一点（ 0,1）的切线方程为1应当填写：y2x5如fx dxFxc,就exfexdx=.应当填写：Fex c2603 exd x=应当填写：1 3107设Aa03,当 a时, A是对称矩阵 .231应当填写： 0 8.设A ,B, C,D均为n 阶矩阵,其中1B,C可逆,就矩阵方程ABXCD的解X1A = r n,就其一般解中的自由未知量应当填写：B1DA C,且rA mnXn1O m9设齐次线性方程组的个数等
12、于应当填写： nr10线性方程组AXb 的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为5 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12010就当 d =时,方程组AXA0421d110000b 有无穷多解 .应当填写： - 1 三、运算题=21设y1ln1x ,求y0. ln 1x ,C61, 计 算1x解：由于y111x1ln1x=x1x21x 2所以y0=ln100 = 0 122x d2x2设ycosxex 2,求dy解：由于y21xsinx2 ex2所以d ysinxx 2+2 e d x2x3lnxsin2xdx解
13、：lnxsin2x dx=xlnxdx1sin2 =x lnx11cos2xC24e2x11lnxd x0解：e 2x11lnxdx=e211xd1lnx 11ln2121lnxe 2=2 3115 设 矩 阵A102,B01022120002426 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - rT BAC21211610解：由于BATC=01002220022042606101A1B =0222 =204042020120且BATC=20010200所以rBA TC=2 11016设矩阵A121,B2,求2235
14、01011010011解：由于121010011110223001043201110100110100011110010531001641001641100431的一般解010531001641431即A153164143115所以A1B5312664159x12x3x407求线性方程组x1x23x 32x402x 1x25 x33x407 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由于系数矩阵1 0 2 1 1 0 2 1A 1 1 3 2 0 1 1 12 1 5 3 0 1 1 11 0 2 10 1
15、1 10 0 0 0x 1 2 x 3 x 4所以一般解为（其中 3x ,x 是自由未知量）x 2 x 3 x 4x 1 x 2 x 3 18当 取何值时,线性方程组 2 x 1 x 2 4 x 3 有解？并求一般解x 1 5 x 3 11 1 1 1解 由于增广矩阵 A 2 1 41 0 5 11 1 1 1 1 0 5 10 1 6 2 0 1 6 20 1 6 2 0 0 0所以,当 =0 时,线性方程组有无穷多解,且一般解为：x 1 5 x 3 1x3是自由未知量x 2 6 x 3 2四、应用题1某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为Cq.0 5q236q9800（元） . 为使平均成
16、本最低,每天产量应为多少？此时,每件产品平均成本为多少？解：由于 C q =C q =0 5 . q 36 9800（ q 0）q qC q = . 0 5 q 36 9800 =0 5 98002q q令 C q =0,即0 5 9800q 2 =0,得 q1=140, q2 = - 140（舍去） . 8 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - q1 =140 是 C q 在其定义域内的唯独驻点,且该问题的确存在最小值 . 所以 q1=140 是平均成本函数 140 件. 此时的平均成本为C q 的最小值点
17、,即为使平均成本最低,每天产量应为9800C 140 = 0 5 140 36 =176 （元 /件）1402已知 某产品的 销售价 格 p （单位 ：元件）是 销量 q （单 位：件）的函 数p 400 q,而总成本为 C q 100 q 1500 （单位：元）,假设生产的产品全部售出,2求产量为多少时,利润最大？最大利润是多少？解：由已知条件可得收入函数R q pq400qq2R x 1002x2利润函数LqR qCq400qq2 100q15002300qq215002求导得L q 300q令 L 0 得 q300 ,它是唯独的极大值点,因此是最大值点此时最大利润为L3003003003
18、0021500435002即产量为 300 件时利润最大最大利润是43500 元 3生产某产品的边际成本为C 8x万元 /百台 ,边际收入为（万元 /百台）,其中x 为产量,如固定成本为10 万元,问（1）产量为多少时,利润最大？（2）从利润最大时的产量再生产 解 （1）边际利润2 百台,利润有什么变化？L R C 1002x8x10010xx10 是令 L 0 ,得 x10 （百台）又 x10 是 L x 的唯独驻点,依据问题的实际意义可知L x 存在最大值,故L x 的最大值点,即当产量为10（百台）时,利润最大；9 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14
19、页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）利润的变化L12L d x12 10 10010xd x10 100x5x2122020 万元；10即从利润最大时的产量再生产2 百台,利润将削减张丹丹： 经济数学基础与会计有什么关系？顾静相： 经济数学基础是会计学科的基础课程；李小琴： 请教一下老师这道题怎么做？求解以下微分方程的初值问题 y=e2X-y ,y0=0 顾静相： 请问方程中 e2X 是指数函数吗,这是一个一阶线性非齐次方程,可以用教材中的公式求之；谭秀清： 运算题以哪方面为主？顾静相： 您可以看教案辅导栏目中的模拟试卷；刘赛新： 关于考试范畴请问老师：今年的经济数学基础
20、 的题？12 考试的应用题是考哪种类型顾静相： 教材、作业册、期末复习指导和这几年的模拟试卷中的应用题；刘赛新： 感谢老师；几年考的应用题都是同一类型的题,而且都是 20 分 顾静相： 是 20 分；刘赛新： 今年数学考试难吗？老师：您好！我觉得数学学习起来很吃力,老师能否告知今 年的考试卷型及所占分数比例,我想重点复习占分比较多的部分；顾静相： 关于考试的具体情形请您看本课程的考核说明和近两年的模拟试卷吧,您能知道 题型和难度了；何静： 数学有许多题目都不是很会,考试卷目难度会不会很大？顾静相： 仍可以吧,建议您到教案辅导栏目中看近两年的模拟试卷,您就会知道了；何静： 今年考试的应用题主要是
21、求哪方面的内容？顾静相： 教材、作业册、期末复习指导和这几年的模拟试卷中的应用题岑荣康： 顾老师您好！请教考试复习问题期末考试的题型和考试重点与上学期有什么 变化没有？如有,请您说明一下,可以吗？是否仍会有模拟试卷？顾静相： 题型和重点与上学期基本一样,模拟试卷已经挂在教案辅导栏目中；岑荣康： 感谢您！顾静相： 不客气；刘赛新： 顾老师您好！请问今年的考试范畴及题型,是不是很难？我个人觉得数学很难！顾静相： 您可以看本课程的考核说明和近两年的模拟试卷吧,能知道题型和难度了；邰照波： 你好,顾老师；今年考试有微分方程的运算题吗？10 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页
22、,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 顾静相： 没有微分方程的运算题；邰照波： 特别感谢；顾静相： 不客气；岑荣康： 顾老师您好！应用题仍是考利润最大和平均成本最低吗？其他考试点有何变化？顾静相： 这不好说,您可以看近几年的模拟试卷,再归纳一下；您就知道考试的重点了；刘赛新： 感谢老师,最近两年的我都看了,也试着做了一些题目,觉得难度偏上；顾静相： 那您的基础是比较差的,由于这两年的及格率是比较高的,您要好好复习,加 油！刘赛新： 感谢老师的勉励,我尽力加油！顾静相： 祝您取得好成果；刘赛新： 老师：莫非今年的考题和最近两年的考题大同小异？顾静相： 题型和难度是基本一
23、样的；何静： 老师好！今年考试的范畴主要是哪些,跟近两年的题目会有很大的区分吗？顾静相： 重点可以看期末复习指导,题型和难度应当基本一样；唐敏： 顾老师您好！请教问题！设 y=lg2x. 就 dy=？顾静相： 先求该函数的导数,再写出它的微分 dy；刘慧芳： 顾老师您好！请问今年运算题的范畴是哪些？“ 不定积分” 吗？顾静相： 运算题有导数、积分、矩阵和方程组求解四种；刘慧芳： 感谢顾老师！顾静相： 不客气；邰照波： 顾老师,今年考试,微积分运算题本期是否只考导数和积分,没有考极限和微分 方程？顾静相： 是的；刘赛新： 用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；老 师,
24、这样的题型出考题时请尽量考虑我们基础比较差的同学,请手下留情；谢 谢老 师！顾静相： 请不要太担忧,您只要把作业和模拟试卷中的应用提做会了应当就可以了；刘赛新： 多谢老师提示；感谢老师,您辛苦啦！同学心中有数啦；邰照波： 顾老师,我们提问最多的就是关于考试的问题了；线性代数运算题往年只考了 2 个题,求逆矩阵和解线性方程组,今年也是这样吗？顾静相： 是的,一般不会变的,依据作业和这两年的模拟试卷复习吧；刘田： 请问顾老师！今年考试的题型有哪些？顾静相： 与上一届一样,您可以看模拟试卷；张启林： 顾老师好！今日的文本挂网上吗？有模拟题吗？11 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第
25、 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 顾静相： 张老师,您好！活动终止后一两天就会挂在网上,模拟试卷已经挂在网上；艾慧： 老师今年考试的题型会和往年的一样吗？我觉得经济数学这门课程比较难学,有什 么更好的方法去学习它吗？顾静相： 一样的；建议你阅读一下置顶的董楠同学的“ 浅谈如何学习经济数学” ,和林丹 同学“ 学习经济数学课程,肯定要留意以下几点” 的帖子,这对你的学习肯定有帮忙的；瞿炜： 顾老师,各位老师下午好；顾静相： 瞿老师,您好！最近忙吗？江枫： 经济数学基础学习辅导（二）顾静相： 现在是活动的时间,欢迎您参与！杨先林： 顾老师好！顾静相： 杨老师
26、,您好！感谢您这么关怀我们的教案活动；周定： 顾老师你好！请问顾老师今年的应用题考试范畴是哪一块？顾静相： 微分和积分的都有可能的,复习要全面；王惠书： 顾老师下午好；顾静相： 王老师您好！杨先林： 考试卷型与往届相同吧？顾静相： 是的；易丹： 请问老师,应用题会考什么样的题型呢？感谢 顾静相： 考试卷型与往年一样；杨先林： 行考作业题目占期末考试卷目 70%吗？顾静相： 似乎不是吧,但作业肯定要重视；宋琼： 请问老师,为什么上课的时候我都懂,回家单独做就晕了？顾静相： 您应当听完课立刻复习,并准时做作业,巩固学到的学问；宋琼： 感谢老师,不管怎样我会努力的；蒋玉兰： 顾老师：您好！宁波电大前
27、来报到；不知什么缘由,我自己的电脑始终进不去；折腾了半天,现在借同事的电脑上线；顾静相： 蒋老师,辛苦了；蒋玉兰： 今日上午,我们召开了全大市该课程的研讨会；各教案点辅导老师就本课程教案 支配和实施进行了沟通,对教案过程中存在的问题也进行了争论,到时我整理一下,向顾 老师汇报；顾静相： 太好了,请您务必发给我,感谢；胡晶： 顾老师好！本学期课程考试有没有新情形？12 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 顾静相： 胡老师,您好！没有什么新变化,由于学校实行是卷库,这次的试卷以前就出好 了；王惠书： 顾老师你
28、好,隐函数求导数或微分期末考试中出题吗？顾静相： 现在一般不会考的；王惠书： 感谢顾老师；刘田： 请问老师！今年的考试应用题,运算题所占的比例大致是多少？会有填空题和挑选 吗？期望老师手下留情噢,作业本上好多题不会做；顾静相： 关于考试卷型您可以看模拟试卷；胡晶： 顾老师好！本学期考试有变化吗？王惠书： 胡老师好；本学期考试没有变化王惠书： 积分的几何应用把握到什么程度？顾静相： 按大纲要求吧；宋琼： 老师,您好,刚学完微积分,这会要学线性代数了,好困难,基础差,怎么办？顾静相： 建议你阅读一下置顶的董楠同学的“ 浅谈如何学习经济数学” ,和林丹同学“ 学 习经济数学课程,肯定要留意以下几点”
29、 的帖子,这对你的学习肯定有帮忙的；蔡美香： 老师好,请问：考好多分及格？顾静相： 60 分及格；罗莎： 请问顾老师,我们立刻就要考试了,主要考哪些方面的内容？一共有这么多书,有 许多都仍不是很懂；顾静相： 您看了考核说明白吗？请看一下就知道考试的范畴了；王惠书： 顾老师你的邮箱？我们写了一篇关于电大专科数学课程设置的设想,给您发过 去,请您提看法；顾静相： gujx 罗莎： 请问顾老师,考试主要有些什么样的题型？顾静相： 请您看模拟试卷吧；何静： 老师,我觉得数学有点难度,出题目的时候请手下留情噢；顾静相： 请您好好复习,要把作业的题都会做,考试不会太难的；尤观连： 老师下午好！请问老师期未
30、复习指导书的题考试会占 50%吗？感谢！顾静相： 不能这么说吧,您可以把重点放在作业,模拟试卷和期末复习指导上；黄华： 请问顾老师,我们考试时有应用题吗？是跟第四次作业后面一样的吗？顾静相： 有应用题题型,您可以看模拟试卷；13 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 蔡美香： 老师好请问：挑选题占好多分？顾静相： 15 分；尤观连： 老师：请问应用题是考利润最大仍是最低平均成本？感谢！顾静相： 都有可能,都要复习；邓美兰： 老师,下午好！一学期快要终止了！顾静相： 您好！刘赛新： 老师,刚才的题目仍没讲完吧
31、？请老师再辛苦一下！顾静相： 没有时间了,过几天您从网上下载吧；付佑慧： 顾老师,您好！我是黑龙江电大付佑慧；刚才我们参与了黑龙江电大宋有校长的 离任审计会议,所以才来参与网教；顾静相： 付老师,您好！李蓉： 老师,你好！请问我们学了那么多的公式中,导数、极限、积分、不定积分和微分 用的最多的公式是？顾静相： 都很有用,应当都要把握；王晓丹： 请教老师不知道怎么输入公式,所以用附件方式传上来顾静相： 用导数的乘法运算法就求解；王晓丹： 请教老师；顾静相： 用分部积分法来求；彭宏： 如何学懂数学？顾静相： 建议你阅读一下置顶的董楠同学的“ 浅谈如何学习经济数学” ,和林丹同学“ 学 习经济数学课程,肯定要留意以下几点” 的帖子,这对你的学习肯定有帮忙的；张玉婷： 学的行微积分不明白,要怎么才能明白一下呀？顾静相： 建议你阅读一下置顶的董楠同学的“ 浅谈如何学习经济数学” ,和林丹同学“ 学 习经济数学课程,肯定要留意以下几点” 的帖子,这对你的学习肯定有帮忙的；顾静相： 今日的活动到此终止,感谢大家的参与；再见！14 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页