《2022年血样分组检验的数学模型终版 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年血样分组检验的数学模型终版 .pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、交通与物流工程系第六届“创新杯”数学建模大赛参赛作品作品题目：血样分组检验的数学模型姓名：徐志燕班级：交通 072 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 山东交通学院交通与物流工程系数学建模大赛C 组：血样分组检验的数学模型共 8 页第 1 页血样分组检验的数学模型徐志燕（山东交通学院，交通与物流工程系，济南，100022）摘 要:本文以血样分组检验为原型，通过建立数学模型，利用概率统计，数学期望值等知识对如何分组检验
2、以及什么情况下需要进行分组检验作出了合理的解释，并且可以结合实际情况，将该模型推广于其它类似的统计学实际应用。关键词 ：血样分组检验，数学模型，概率统计, 数学期望值问题提出在人群 （数量很大） 中进行血样检验，设已知先验阳性率为p, 为减少检验次数将人群分组。若k人一组，当k份血样混在一起时，只要一份呈阳性，这组血样就呈阳性，则该组需人人检验；若一组血样呈阴性，则该组不需检验。（1）当p固定时(0.1%, 1%, ) ，k多大可使检验次数最小（2）当p多大时，就不需要分组。问题分析本问题涉及的情况是当今医学研究、病毒检验等领域中的一个非常现实的问题，必须要找到一种合理的解决方案。由于对人群（
3、数量很大）进行血样检验需要大量的统计数据，为了提高检验的效率， 以最少的检验次数达到最终的检验效果，就必然要面临如何对人群分组这个难题。本文对血样分组检验建立数学模型，目的就是要找到一种最佳的分组方案，对于一个数量固定的人群（假定人群数量为n 人） ，我们在决定哪一种分组方案最好或者需不需要分组时，可以引入数学平均值。如果不分组，每个人都参加检验，则总共需要检验n 次，每个人平均需要检验一次，如果分组后计算出每个人的平均检验次数小于1 次，则认为分组比不分组好，需要分组， 反之，则不需要分组；在众多组合的分组中，哪一种分组计算出来的每个人的平均检验次数最小，则认为这种分组时最优的分组方案。这也
4、是数学概率模型的基本思路。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 山东交通学院交通与物流工程系数学建模大赛C 组：血样分组检验的数学模型共 8 页第 2 页模型假设结合本问题的实际情况，对该模型作出如下合理的假设：1. 人群数量总数为n 人；2. 先验概率 P在检验中为一常量，保持不变；3. 每个人检验一次是否阳性的概率相互独立，即每个人接受检验是互相独立事件，互不影响；4. 每次分组时都能达到平均分配，能分成m组，即
5、m=n/k，m为正整数。变量说明根据提出的问题和模型假设，给出如下变量：n- 被检验人群的总数；m-人群被分成的组数；k-每组的人数；p- 先验阳性概率；q=1- p-先验阴性概率；-每个人需要检验的次数，为一随机变量；E-的期望值，每个人需要检验的平均次数。模型建立利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道， 如果不分组， 每个人都参加检验，每个人平均需要检验一次；如果分组， 分组后计算出每个人的平均检验次数小于1 次，则认为分组比不分组好，需要分组，反之，则不需要分组。在众多组合的分组中，比较哪一种分组计算出来的每个人的平均检验次数最小，平均检验次数最小的那种分组则认为这种分组时最优的
6、分组方案。模型求解问题一、 当 p多大时，就不需要分组。在分组情况下，由模型假设知每组的人数为k（2kn） ；变量表示每人的检验次数；阳性的先验概率为p；阴性的先验概率pq1。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 山东交通学院交通与物流工程系数学建模大赛C 组：血样分组检验的数学模型共 8 页第 3 页如果一组检验为阴性，则表明该组中的每个人均不是病毒的感染者，又因为每个人是否是感染是相互独立的（模型假设），所以可以求
7、得一组检验为阴性的概率为kq，即该组中的每个人平均检验次数为k1次（该组总共只检验了一次）。如果一组检验为阳性，则表明该组中有病毒感染者，因为一组检验为阴性的概率为kq，所以一组检验为阳性的概率为kq1（一组检验要么为阴性，要么为阳性），即该组中的每个人平均检验次数为k11次（除了该组检验了一次外，该组中的每个人又被逐个检验一次）。所以可以得到的分布律为：次数k1k11概率 P kqkq1由上表可求得的期望值E，111(1) (1)1kkkEqqqkkk即 每 个人 的 平均 检验 次数 为11kqk次 ， 人 群（ 总共n个 人 ） 的平 均 检验 次数 为)11(kqnEnk次。由概率模型
8、知，只有当1E时才需要分组，即分组检验要满足1E这个约束条件：由E11111111kkkkqqppkkkk即只有当满足约束条件11kpk才需要分组检验。因为k只能取整数，所以11kk是一个离散型变量，为了更形象地讨论问题，故引入与11kk变化趋势相同的连续性函数1( )1xp xx， （2xn）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 山东交通学院交通与物流工程系数学建模大赛C 组：血样分组检验的数学模型共 8 页第 4
9、页对1( )1xp xx进行求导 ,求导过程如下：11( )(1)()xxp xxx设1xyx则1( )()xp xyx对1xyx两边求对数有 : 1lnlnxyx，对1lnlnxyx两边求导有：11111(ln)(ln)(ln() )(ln)xxyxxxx即22221111111ln()lnyxyxxxxxxx122222211111111111(ln)(ln)(ln)( )xxyyxxxxxxxxxxx所以112221111111( )()(ln)( )( )(1 ln )xxxp xyxxxxxxxx即1211( )()(1ln)xp xxxx由此可以看出，当ex时，( )0p x，函数
10、1( )1xp xx单调递减，而2xe时 （分组时每组至少要有2 人，故有2x） ，() 0p x，函数1( )1xp xx单调递增， 在ex时（自然对数e 约等于 2.71828 ） ，() 0p x，函数1( )1xp xx取得最大值，此时最大值111( )11 ( )0.3078eep eee，做出函数)(xp的图像，见下图：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 山东交通学院交通与物流工程系数学建模大赛C 组：血
11、样分组检验的数学模型共 8 页第 5 页p(x) 与x的变化关系曲线00.050.10.150.20.250.30.350246810121416xp(x)由于实际检验分组时每组的人数k只能取整数，不可能取自然对数e（自然对数e 约等于 2.71828 ） ，故算出接近最大值( )p e的两个实际值：(2)0.292893p(3)0.306639p所以，1( )1kp kk的最大值为0.306639 ，即只有当0.306639p时，通过调整k可以满足分组检验的约束条件11kpk而当0.306639p时，无论怎么调整k都不能满足分组检验的约束条件11kpk所以，当0.306639p时，就不需要分
12、组。问题二、 当 p固定时 (0.1%, 1%, )，k 多大可使检验次数最小情况一：当p固定时(0.1%, 1%, ) ，并且当0.306639p时，此时不需要分组，即k=1 时可使检验次数最小。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 山东交通学院交通与物流工程系数学建模大赛C 组：血样分组检验的数学模型共 8 页第 6 页情况二：当p固定时(0.1%, 1%, ) ，并且当0.306639p时，此时需要分组，要使人群
13、总的检验次数最小，只要使每个人检验次数的期望值：111(1) (1)1kkkEqqqkkk最小即可，因为k只能取整数，所以E是一个离散型变量，为了更形象地讨论问题，故引入与11kEqk变化趋势相同的连续性函数连续性函数1( )1xf xqx，1( )1xf xqx11(1),(2,01)xpxnpx2,2x注: 分组时每组人数至少为人 故对函数1( )1(1),(2,01),xf xpxnpx求导可得，211( )(1(1)(1p) ln(1p)xxfxpxx因为此时p是给定的固定值， 故ln(1p)0且ln(1p)为定值，1p0，由上式分析知，当x增大时，(1 p)x减小，(1 p) ln(
14、1p)x增大，21x也增大，即21( )(1p) ln(1p)xfxx为增函数，即( )f x的极值就是( )fx的最小值所以21( )(1p) ln(1p)0 xfxx的实数解x，就是函数1( )1(1)xf xpx取的最小值时对应的x值，由数值解法 （利用计算机编程迭代，让x从小到大依次代入等式，当误差在允许的范围内所取得的x值）可解出每一个给定的p 所对应的21( )(1p) ln(1p)0 xfxx时的实数解x，由于实际检验中每组的人数k只能为整数，所以要对计算出来的x取整（去掉后面的小数不分），取整后记作x ，再比较一下()fx和( 1)fx， 若( )fx( 1)fx， 则k= x
15、+1，此时的k值即为每一个给定的p 所对应的可使总检验总次数最少的每组人数。下面给出数值解法解出的对于不同的先验概率，相对应的最小检验次数的每组人数：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 山东交通学院交通与物流工程系数学建模大赛C 组：血样分组检验的数学模型共 8 页第 7 页pkpk0.001 32 0.020 8 0.002 23 0.030 6 0.003 19 0.040 6 0.004 16 0.050 5
16、0.005 15 0.060 5 0.006 13 0.070 4 0.007 12 0.080 4 0.008 12 0.090 4 0.009 11 0.100 4 0.010 10 0.110 4 结果分析由模型求解知， 在满足模型假设的前提下，当所给定的阳性先验概率0.306639p时，不分组每个人都检验一次可以使总检验次数最少；当所给定的阳性先验概率00.3066p时，可使总检验次数比不分组时总检验次数少，需要分组检验。当p固定时(0.1%, 1%, ) ，为了使人群总的 检验次数最小，就需要确定每组的人数k。根据固定值p的大小分类讨论：当0.306639p时，此时不需要分组，即k=
17、1 时可使检验次数最小；当0.306639p时，此时需要分组，要使人群总的检验次数最小，只要使每个人检验次数的期望值E最小， 通过引入与11kEqk变化趋势相同的连续性函数连续性函数11( )11(1),(2,01)xxf xqpxnpxx， 对于每一个给定的p，可以求出函数( )f x的极值，又由分析知( )fx是增函数，所以求出的( )fx的极值就是( )f x的最小值。利用数值解法可以解出每一个固定p 对应的( )f x的极值，也就是( )f x的最小值对应的x, 由于实际检验中每组的人数k只能为整数，所以要对计算出来的x取整（去掉后面的小数不分） ， 取整后记作 x ， 再比较一下()
18、fx和( 1)fx， 若( )fx( 1)fx，则k= x+1，以此类推，可以确定每一个给定的p，要使人群总的检验次数最小所对应的每组的人数k。模型推广本数学模型在实际生活中有非常广泛的应用，可以给社会实践以指导作用，在我们的社会生产中， 当我们不能确切地知道事物的内在属性时，可以在提出合理的假设下对事物的属性进行初步的概率描述，建立概率模型。比如，我们在对工厂生产出来的零件进行试验时，可以采取建立概率模型的办法对零件的合格率进行评估；在对事物进行可行性分析时，可以借助于该事物的先验概率建立模型来进行评价和判断；在对生产过程中意外事故的发生率上也可以建立概率模型来预测。当然建立模型的过程中先验
19、概率和合理假设具有非常重要的影响，比如， 如果先验概率是一个特定群体的概率，而在建立模型的时候把这个特定群体的概率用到大众群体上来，就必然会导致模型预测的重大偏差。又如，如果在建立模型的时候假设不合理， 把相互有影响的事件假设成独立事件，忽略了事物的内在影响，也会导致模型预测的失效，一个合理的模型，一定要建立在合理的假设前提下。参考文献1 薛毅，常金钢，程维虎，杨士林数学建模基础北京：北京工业大学出版社名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -