《2022年数学模型——原子弹爆炸的能量估计终版 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学模型——原子弹爆炸的能量估计终版 .pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、原子弹爆炸的能量估计一、问题提出1945 年 7 月 16 日，美国科学家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了全球第一颗原子弹。这一事件令全球震惊。由此开始了一个新的时代。当时，有关原子弹的所有资料都是保密的，一般人无法知道。两年后，美国政府首次公布了这次爆炸的录像带，但是仍未公布任何数据。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为19.2 千吨。这次爆炸所释放的实际能量为 21 千吨。Taylor 建立数学模型的数据来源如下：表 1 时刻 t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)现在我们要
2、在 Taylor所使用的数据的基础上，运用量纲分析法建立计算原子弹爆炸能量的数学模型。二、模型假设1.原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸的核反应过程。2.原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的形式表现出来。不考虑其它（如辐射）的影响。3.只考虑冲击波的动力学特征。4.冲击波可以通过爆炸形成的“蘑菇云”来表征。三、符号说明名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -符号说明t 时间（s）r 半径（m）E 能量（J）空气密度（kg/m3）P 大气压强（Pa）四、问题分析首先，我们从题目叙述中可以得知，因为缺乏详实的的数据资料，我们不能从从爆炸录像中去推断原子弹爆炸的全
3、过程，从而用能量转化等规律去分析爆炸产生的能量较困难。其次，爆炸产生的能量主要是以冲击波和辐射的方式向外扩散，这在录像当中是看不到的。一般地，爆炸产生的冲击播以爆炸点为中心呈球面向四周传播。爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲击波就会传的越远。而冲击波又可以通过爆炸形成的“蘑菇云”表现出来。据此我们我们可以推断出：爆炸形成的“蘑菇云”的半径与时间有关，与能量有关，还与“蘑菇云”周围的空气密度有关，与大气压强有关。从而可以通过量纲分析法确定这些量之间的函数关系。五、模型建立与求解1)模型建立根据上文得出结论，使用量纲分析法来尝试建立数学模型。根据Pi 定理，设爆炸中，冲击波的半径r、时间 t、能量
4、E、空气密度、大气压强P满足的一般函数形式为：（1）由于爆炸是在瞬时间完成的，不考虑爆炸过程所需时间。故只考虑能量释放后的冲击波传播的物理过程。所以这是一个动力学问题，取 3 个基本量纲：长度L，质量 M和时间 T，则（1）中各个物理量的量纲分别是：r=L,t=T,E=L2MT-2,=L-3M,P=L-1MT-2(,)0f r t EP名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -由此得到量纲矩阵为：因为 Rank（A）=3 齐次方程 Ay=0 有 m-r=5 3=2 个基本解，即方程组有无穷多个解。设其中的两个基本解为：根据量纲分析的 Bucking-ham Pi定
5、理，由这 2 个基本解可以得到2 个无量纲量（2）（3）且存在某个函数 F 使得（4）与（1）等价。取（4）的特殊形式2()1，由（2）、（3）可得（5）（6）于是3 5102310011101202A(1,2/5,1/5,1/5,0)Ty(0,6/5,2/5,3/5,1)Ty2/51/51/51/512()rtErt E656/52/53/51/5223()t PtEPE12F(,)=0651/51/5223()()t Prt EE2651/51/523()()t Et PrE名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -2)数值求解现在问题简化为根据函数式（6）以
6、及得到的数据来求出爆炸能量E的大小。当中 E的数量级远远大于 t,P 的数量级，所以可以认为20，建议(0)1故可以得到更简单的函数式：E，均为常数，1/5()E作为brat的系数 a 两边取对数得;11loglogratbblog求解过程：使用 MATLAB对数据进行函数拟合：651/5223()t PE21/51/52/5()()t EErrt名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -求出 b=0.3883 与量纲分析结果 b=2/5 一致同时可以求出1ablog=6.942所以598.136a1/5()E可取 1.25kg/m3即可推出：5Ea=9.57e+13 1 千吨 TNT的盒子能量=4.184x1012焦耳可得原子弹的爆炸能量是22.8727 与实际结果21 千吨基本一致名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -