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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载等比数列典型例题【例 1】已知 Sn 是数列 a n 的前 n 项和, SnpnpR,nN* ,那么数列 an A是等比数列B当 p 0 时是等比数列C当 p 0,p 1 时是等比数列D不是等比数列分析 由 Sn pnnN* ,有 a1=S1p,并且当 n2 时,an=SnSn-1pnpn-1p1pn-1p0故 a = p 21p,因此数列 a n 成等比数列 p 1 0n 1p 1p p p 1 n 2 p 2 p p但满意此条件的实数 p 是不存在的,故此题应选 D【例 2】已知等比数列 1,x1,x2, , x2n,2,
2、求 x1x2x3 x2n解1, x1,x2, , x2n,2 成等比数列,公比 q 21q2n+1x1x2x3 x2nqq2q3 q2n=q1+2+3+ +2n2n1+2n= q 2 q n 2 n 1 2 n1【例3】等比数列 a n 中,1 已知 a 2 = 4,a 5,求通项公2式； 2已知 a3a4a58,求 a2a3a4a5a6 的值解 1a 5 = a q 2 5 2 q =12a na q n 241 n 2 1 n 42 22a 3a 5a a 23a 4a 5a 34 = 8a42名师归纳总结 - - - - - - -又a a6a a 5a245 a a a a a = a
3、 = 32【例 4】已知 a0,b0 且 a b,在 a,b 之间插入 n 个正数 x1,x2, ,xn,使得 a,x1,x2, ,第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载xn,b 成等比数列,求证 n x x 1 2x na b2证明 设这 n2 个数所成数列的公比为 q,就 b=aqn+1q n 1 ban 1n x x 2x n n aqaq 2aq naq 2aba b2【例 5】设 a、b、c、d 成等比数列,求证：bc2ca2d b2ad2证法 一a、b、c、d 成等比数列a b cb c db2ac,c2bd, adbc左边 =b
4、22bc c2c22aca2d22bdb2=2b 2ac2c2bda22bcd2 a22ad d2ad2右边证毕证法二a、b、c、d 成等比数列,设其公比为q,就：baq,caq2,d=aq3左边 aq aq22aq2 a2aq3aq2a22a2q3a2q6=aaq32ad2=右边证毕【例 6】求数列的通项公式：1a n 中, a12,an+1 3an2 2a n 中, a1=2, a25,且 an+23an+12an0 思路：转化为等比数列名师归纳总结 解 1an+1= 3an2an+11 = 3an1第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
5、- - 学习必备 欢迎下载a n1 是等比数列an1=33n-1an=3n1 n+2an+1= 2an+1a 2an+23an+12an= 0aa n+1an 是等比数列,即an+1an=a2a1 2n-1=32n-122, , anan-1=32n-2,这些等式相加,即可以再留意到 a2a1=3,a3a2=321,a4a3=3得到n 1a = 3122 2 2 n-2 = 32 1= 32 n 112 1【例7】如实数 a 1、a 2、a 3、a 4 都不为零,且满意 a 21a a 2 242a 22 2a 1a a 4a 2a = 0 求证：a 1、a 2、a 3 成等比数列,且公比为
6、a 4证a1、a2、a3、 a4 均为不为零的实数a 21a x 2 22a a 1a xa 22a =0 2 为实系数一元二次方程等式 a 1 2a a 2 242a a 1a a 4a 22a = 0 2 说明上述方程有实数根 4上述方程的判别式 0,即2 2 2 2 22a a 1a 4a 1a a 2a =4a 22a a 20a 22a a 20又 a1、a2、a3 为实数a2a a 202= a a32必有2 a 2a a = 0即 a2因而 a1、a2、a3 成等比数列又 a 4 = 2a 2 a2 1 a2 3 a 22 a 1 a 3 a 22 a 1 a 2 a 1 a a
7、 3 a 1a4 即为等比数列 a1、a2、 a3 的公比【例 8】如 a、b、 c 成等差数列,且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列,求 b 的值解 设 a、b、c 分别为 bd、b、bd,由已知 bd1、 b、bd 与 bd、b、bd2 都成等比数列,有b2= b d1bdb2= bdb d2整理,得名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - b2= b2d2 bd学习必备欢迎下载b2= b2d22b2dbd=2b2d 即 b=3d代入,得 9d2=3dd13dd 9d2=2d14d 解之,得 d=4 或 d=
8、0舍 b=12 【例 9】已知等差数列 a n 的公差和等比数列b n的公比都是d,又知 d 1,且 a4=b4, a10=b10：1求 a1与 d 的值；2b16是不是 an 中的项？思路：运用通项公式列方程解 1由a4= b4a13d = a d3 9a10= b10a19d = a da 13 d =3da 19 d =9dd6d32 = 0d11 舍 或d232a 1d32d322b16=b1d15=32b1且a = a 13d =2 2 = b4b = b13 d =2b =3 2 2b = a =32b16=32b1=32a1,假如 b16 是a n中的第 k 项,就32a1=a1
9、 k1d k 1d=33a1=33d k=34 即 b16 是a n 中的第 34 项名师归纳总结 【例10】设a n是等差数列,bn= 1 2an,已知b1b2b =21,第 4 页,共 8 页8b b b3=1,求等差数列的通项8解设等差数列 an 的公差为 d,就 an=a1 n1d- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载b n = 1 a 1 n 1 d2b b = 12 a 1 2 1 a +2d 1 = 2 1 2a +d 1 b 22由 b b b = 1,解得 b = 1,解得 b = 1,代入已知条件8 8 2b b b
10、= 1 b b = 18 整理得 4b 1 b 2 b 3 218 b 1b = 178解这个方程组,得b = 2,b3=1或b =1,b3= 288a1=1,d=2 或 a1=3,d=2当 a1=1,d=2 时, an=a1n1d=2n3 当 a1=3,d=2 时, an=a1 n1d=52n 【例 11】三个数成等比数列,如其次个数加4 就成等差数列,再把这个等差数列的第3 项加 32 又成等比数列,求这三个数解法一按等比数列设三个数,设原数列为a,aq,aq2由已知： a,aq4, aq2成等差数列即： 2aq4=aaq2 a,aq4,aq232 成等比数列即： aq42=aaq232
11、aq2 = 4a a = 2 a = 2,两式联立解得：或 9q = 3 q =52 10 50这三数为：2, ,18 或,9 9 9解法二 按等差数列设三个数,设原数列为 bd,b 4,bd由已知：三个数成等比数列即： b42=bdbd 8bd2= 16bd,b, bd32 成等比数列名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载即 b2=bdbd 32 32bd 232d = 0 、两式联立,解得：b = 269 或 b = 10d = 8 d = 832 10 50三数为,或 , ,189 9 9【例 1
12、2】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,其次个数与第三个数的和是 12,求这四个数分析 此题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为 ad, a,ad,就第四个数由已知条2 a d 件可推得：a方法二 设后三个数为 b,bq,bq2,就第一个数由已知条件推得为 2bbq方法三 设第一个数与其次个数分别为 x,y,就第三、第四个数依次为 12y,16x由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而解出所求的四个数,名师归纳总结 解法一设前三个数为a , , ,就第四个数为ad2第 6 页,共 8 页a依题意,有a ad2= 16a
13、aad = 12解方程组得：a = 4或a = 96d = 4d2=所求四个数为：0,4,8, 16 或 15,9,3,1解法二设后三个数为：b,bq,bq2,就第一个数为：2bbq 依题意有：2bbqbq2= 16bbq = 12解方程组得：b = 4或b2= 9q2= 1 3q = 2所求四个数为：0,4,8, 16 或 15,9,3,1解法三设四个数依次为x,y,12y,16x依题意有x12y = 2yy2y16x = 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载x 1 = 0 x 2 = 15解方程组得：或y 1 = 4 y 2 =
14、 9这四个数为 0,4,8, 16 或 15,9,3,1【例 13】已知三个数成等差数列,其和为 126；另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到 85,76, 84求这两个数列解 设成等差数列的三个数为 bd,b,bd,由已知, bdbbd=126 b=42 这三个数可写成 42d,42,42d再设另三个数为 a,aq, aq2由题设,得a42d = 85ap42 = 76aq 242d = 84ad = 43 整理,得 aq = 34 aq 2d = 42 解这个方程组,得a1=17 或 a2=68 当 a=17 时, q=2, d=26 名师归纳总结 - - - - -
15、 - -当a = 68时,q = 1 2,d = 25从而得到：成等比数列的三个数为17,34, 68,此时成等差的三个数为68,42,16；或者成等比的三个数为68,34,17,此时成等差的三个数为17, 42,67【例 14】已知在数列 an中, a1、a2、a3 成等差数列, a2、a3、a4 成等比数列, a3、a4、a5 的倒数成等差数列,证明：a1、a3、a5 成等比数列证明由已知,有2a2=a1a32 a = a2a 4211a 4a 3a5由,得a =2a 3a 5a + a 5由,得a =a + a3代入,得2a = a + a 232a3a5a 3a5整理,得 a = 3a
16、 a + a 5 1 2a + a5第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即a3a3a5=a5a1a3学习必备欢迎下载2 a 3a a = a a5a a 5a = a 21a 5所以 a1、a3、a5 成等比数列【例 15】已知 bclogmxcalogmyablog mz=01设 a,b,c 依次成等差数列,且公差不为零,求证：x, y,z 成等比数列2设正数 x,y,z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证： a,b,c 成等差数列证明 1a,b,c 成等差数列,且公差 d 0 bc=ab=d,ca=2d 代入已知条件,得：dlogmx2logmylogmz=0 log mxlogmz=2log my y2=xz x,y,z 均为正数x,y,z 成等比数列2x, y,z 成等比数列且公比 q 1 y=xq ,z=xq2代入已知条件得：bclog mxcalogmxqablogmxq2=0 变形、整理得：ca2blog mq=0 q 1 logmq 0 ca2b=0 即 2b=ac 即 a,b,c 成等差数列名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页