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1、2.5.2离散型随机变量的离散型随机变量的方差和标准差方差和标准差甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产们生产100件产品所出的不合格品数分别用件产品所出的不合格品数分别用X、Y表示，表示，X、Y的分布列如下：的分布列如下：X0123P0.60.20.10.1Y0123P0.50.30.20如何比较甲、乙两人的技术？如何比较甲、乙两人的技术？ 比较出废品的均值！比较出废品的均值！( )0 0.6 1 0.2 2 0.1 3 0.1 0.7E X ( )0 0.5 1 0.32 0.23 00.7E Y ( )( )E XE Y从这
2、个意义上讲，甲、乙技术相当！从这个意义上讲，甲、乙技术相当！我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度程度X1x2xnxP1p2pnp的偏离程度，故的偏离程度，故 则则 描述了描述了 相相对于均值对于均值2() ()ixE X(1,2,., )ix in 能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？变量的波动程度呢？2221122()().()nnxpxpxp12(0,1,2,., ,.1)inpin ppp刻画了随机变量刻
3、画了随机变量X与其均值与其均值 的平均偏离程的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，的方差，记为记为V(X)或或 . 2方差公式也可用公式 计算221()niiiV Xx p随机变量随机变量X的方差也称为的方差也称为X的概率分布的方差，的概率分布的方差，X的方差的方差V(X)的算术平方根称为的算术平方根称为X的标准差，的标准差，即即 ()V X思考：思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？随机变量的方差和标准差都反映了的取值偏随机变量的方差和标准差都反映了的取值偏离于均值的平均程度离于均值的平均程度.随机变
4、量的方差或标准随机变量的方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就越小越小.例例1若随机变量若随机变量x的分布如表所示：求方的分布如表所示：求方差差V(X)和标准差和标准差 ( )V XX01P1-pp解：解： ()0 (1) 1E Xppp 22()(0) (1)(1)(1)V Xpppppp()(1)V Xpp例例2求第求第2.5.1节例节例1中超几何分布中超几何分布H(5,10,30)的方差和标准差的方差和标准差X012345P258423751807523751855023751380023751700237514223751解：随机变量解：
5、随机变量X的概率分布为的概率分布为:P(X=K)=H(K;5,10,30);K=0,1,2,522222222584807585503800700425( ) 012345( )23751237512375123751237512375130.9579V X 5()3nME XN( ) 0.9787V X221( )niiiV Xx p一般地，由定义可求出超几何分布的方差的一般地，由定义可求出超几何分布的方差的计算公式：当计算公式：当 时，时， ( ,)XH n M N2()()()(1)nM NMNnV XNN()nME XN例例3求第求第2.5.1节例节例2中的二项分布中的二项分布 的方差
6、和标准差的方差和标准差(10,0.05)B解：随机变量解：随机变量X的概率分布为的概率分布为:P(X=K)=H(K;5,10,30);K=0,1,2,5()0.5E Xnp221( )niiiV Xx p2200102119210100210101000.050.9510.050.95. 100.050.950.5CCC0.7250.250.475故标准差故标准差0.6892X012345PX678910P001010(1)C pp11910(1)C pp22810(1)C pp33710(1)C pp44610(1)C pp55510(1)C pp66410(1)C pp77310(1)C
7、pp88210(1)C pp99110(1)C pp1010010(1)C pp一般地，由定义可求出二项分布的方差的计一般地，由定义可求出二项分布的方差的计算公式：当算公式：当 时，时， ( , )XB n p()(1)V Xnpp()E Xnp例例4有甲、乙两名学生，经统计，他们在有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、分、90分、分、100分的概率分布大致如下表所示：分的概率分布大致如下表所示：甲甲分数分数X 8090100概率概率0.20.60.2乙乙分数分数Y8090100概率概率0.40.20.4试分析两名学生的答题成绩水平试分析两名学生的答题成绩水平五回顾小结：五回顾小结：1离散型随机变量的方差和标准差的概念离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义；和意义；2离散型随机变量的方差和标准差的计算离散型随机变量的方差和标准差的计算方法；方法；3超几何分布和二项分布的方差和标准差超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法的计算方法