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1、1复变函数与积分变换授课人戴振宏烟台大学光电信息学院地址：科技馆 1217E-Mail: Tel: 13954524566 （Mobile）6901947 （O)2为什么要学习这门课程？目前整个人类知识分为三大学科门类（1）自然科学自然科学研究自然界万物基本变化规律的（2）工程技术工程技术利用已有科学知识进行技术实用化（3）社会科学社会科学研究社会发展变化规律的 实际上，每一门学科都有其研究对象研究对象和其内在的变化规律变化规律，其研究分为定性研究定性研究和定量研究定量研究，而要想真正理解研究对象的性质和规律，最终需要定量研究，这就离不开数学数学。数学的发展 1、数的概念、数的概念： 自然数，
2、整数，实数，有理数，无理数，奇数，偶数 人类对数学的认识，都是和实际应用联系在一起的，最先掌握的是自然数自然数，当时是为了计数的方便，打猎的时候分配统计猎物。 3为什么要学习这门课程？ 而后在货物交易中发现，有时为了更好表达数量数量的减少引入了负数的概念。 随着社会发展，发现有些东西无法用整数表示，会出现非完整的一类对象，就引入了小数的概念即将整数扩展为实数实数，这些都是现实存在的。 随着人类对知识的进一步渴望，就想研究某类对象（即其物理量）随时间和空间的变化规律，为了描述这类物理量的变化情况，就引入了实变函数实变函数的概念f(x,t)， 为了获得这个函数,就需要研究此类现象遵循的规律，需要给
3、这个规律赋予一个数学方程来表达，这就引入了数理方程数理方程的概念。这些方程往往是偏微分，积分方程或者线性方程和非线性方程。 4为什么要学习这门课程？2、函数的概念、函数的概念：function f(x), f(x,t)，初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 sin(x), cos(x) 双曲函数 sinh(x), cosh(x)( )mf xxloglogln( )xxaex( ),xxf xae5为什么要学习这门课程？特殊函数，如球谐函数，贝赛尔函数等函数函数y=f(x)的性质的性质： （1）定义域，值域（2）奇偶性（3）单调性（4）周期性（5）极值性（6）极限和连续性xx1lim
4、 1e2.71828x骣+=桫6为什么要学习这门课程？3 3、方程的概念、方程的概念 函数U(x,y,t) 边界条件 初始条件因此理工科的学生需要具备如下能力：（1）清晰的学科基本思想和概念（2）严密的数学知识，特别是应用数学（3）良好的英语水平（4）熟练的计算机应用知识7为什么要学习这门课程？应用数学应用数学分为：初等数学初等数学（代数） 研究了数和函数的概念，包括：双曲函数，三角函数，指数函数，对数函数，幂函数，方程式解析几何解析几何立体几何立体几何高等数学高等数学 导数研究变化快慢， 微积分研究求和 级数进行分解 向量算法与场论，微积分方程）线性代数线性代数（处理矩阵和行列式，线性变换的
5、）概率论和数理统计概率论和数理统计复变函数与积分变换复变函数与积分变换数理方程数理方程计算方法和群论计算方法和群论8第一篇第一篇 复变函数复变函数第一章：第一章： 复数与复变函数复数与复变函数 现在引入了复数复数的概念，为什么呢为什么呢？ 人们在研究自然科学的时候，发现有些物理量不仅仅与大小大小有关，还有相位相位（即前后位置或者时间早晚）有关，比方量子力学中的态，电学中的交流电和通信中的信号，这些物理量不但有大小，还有相位（比方延迟），这就引进了复数复数的概念。9第一篇第一篇 复变函数复变函数第一章：第一章： 复数与复变函数复数与复变函数引入复数的概念后 电阻采用复阻抗表示为 R，电感由于电流
6、比电压落后/2，复阻抗为为RL=iL，电容电流比电压超前/2，复阻抗为RC=- 则交流电下的欧姆定律为 U=I（R+ RC+RL）我们以前的数学中学过的实变函数与现在的复变函数都是以”变量变量“为研究对象的数学课程。实变函数的变量来自于“实数实数”集合复变函数中的变量来自于“复数复数”集合 本章的内容是：复数的概念复数的概念 复数的运算复数的运算 复变函数的概念及性质复变函数的概念及性质c1i101.1 1.1 复数复数 一、一、【概念概念】： 复数最早（十六世纪）是在二次，三次代数方程的求解中引入的。考虑二次方程其解为当 现在定义一个符号i， 242bbacxa-=20axbxc+=240b
7、ac-142zi+226zizi-+=-4i2i-2i-1射线1231.1 1.1 复数复数六、复数的四则运算和几何意义：六、复数的四则运算和几何意义：更多的复数不等式表示241.1 1.1 复数复数251.1 1.1 复数复数261.2 1.2 复数乘幂和方根复数乘幂和方根 一、一、【复数的乘幂复数的乘幂】： 先前我们讲了复数的加减乘除运算，但是复数的乘除运算最好使用指数形式。原原因？因？12()12irerqq-12()1 2irr eqq+271.2 1.2 复数乘幂和方根复数乘幂和方根281.2 1.2 复数乘幂和方根复数乘幂和方根二、二、【复数的方根复数的方根】称满足 wn=z的复数
8、W为z的n次方根，记做 即 取 复数即可以用实部和虚部表示出，实数的很多运算适合复数运算nz1nnwzz=iwreq=()222(0,1,2,)niinnkinnreerrknkknweqjjprrrjpqjpqr+=+=+=北=全部根k=0,1, ,n-1个单根（一个周期内）,inineejjrrmn=nz=x+iy=zf(z)= (x,y)+ (x,y)i291.2 1.2 复数乘幂和方根复数乘幂和方根二、二、【复数的方根复数的方根】例子：Z8=1301.2 1.2 复数乘幂和方根复数乘幂和方根二、二、【复数的方根复数的方根】311.3 平面点集一、一、【区域的概念区域的概念】 在解析函数
9、论中，函数的定义域是满足一定条件的点集，称为区域，用B表示，数学上用不等式表示区域，等式表示曲线。BBBB321.3 平面点集一、一、【区域的概念区域的概念】下面介绍几个概念（1）邻域邻域：复平面上，以z0为中心，以任意小正实数为半径做一个圆， 内部的点的集合称为以z0为中心的邻域， 叫做去心邻域（2）内点内点：若z0 及其邻域均属于点集B，则称z0 为该点集的内点（3）外点外点：若z0 及其邻域均不属于点集B，则称z0 为该点集的外点（4）边界点边界点：在z0 的每个邻域内，即有属于B的点，也有不属于B的点，则z0 为边界点。（5）边界边界：其全体构成边界0zze-Babz0c00zze-1
10、42zi+226zizi-+=-4i2i-2i-1射线1471.1 1.1 复数复数六、复数的四则运算和几何意义：六、复数的四则运算和几何意义：更多的复数不等式表示481.2 1.2 复数乘幂和方根复数乘幂和方根 一、一、【复数的乘幂复数的乘幂】： 先前我们讲了复数的加减乘除运算，但是复数的乘除运算最好使用指数形式。原原因？因？12()12irerqq-12()1 2irr eqq+491.2 1.2 复数乘幂和方根复数乘幂和方根二、二、【复数的方根复数的方根】称满足 wn=z的复数W为z的n次方根，记做 即 取 复数即可以用实部和虚部表示出，实数的很多运算适合复数运算nz1nnwzz=iwr
11、eq=()222(0,1,2,)niinnkinnreerrknkknweqjjprrrjpqjpqr+=+=+=北=全部根k=0,1, ,n-1个单根（一个周期内）,inineejjrrmn=nz=x+iy=zf(z)= (x,y)+ (x,y)i501.2 1.2 复数乘幂和方根复数乘幂和方根二、二、【复数的方根复数的方根】例子：Z8=1511.2 1.2 复数乘幂和方根复数乘幂和方根二、二、【复数的方根复数的方根】521.3 平面点集一、一、【区域的概念区域的概念】 在解析函数论中，函数的定义域是满足一定条件的点集，称为区域，用B表示，数学上用不等式表示区域，等式表示曲线。BBBB531
12、.3 平面点集一、一、【区域的概念区域的概念】下面介绍几个概念（1）邻域邻域：复平面上，以z0为中心，以任意小正实数为半径做一个圆， 内部的点的集合称为以z0为中心的邻域， 叫做去心邻域（2）内点内点：若z0 及其邻域均属于点集B，则称z0 为该点集的内点（3）外点外点：若z0 及其邻域均不属于点集B，则称z0 为该点集的外点（4）边界点边界点：在z0 的每个邻域内，即有属于B的点，也有不属于B的点，则z0 为边界点。（5）边界边界：其全体构成边界0zze-Babz0c00zze-=0。，函数仍是解析的，积分0 001( )()2Lf zf zdzizz0()(nLIzzdzn为整数）BLZ0
13、 87第三章 积分若若n0n0，总存在正整数N，当nN时， 成立则称复数序列 收敛于复数Z，记为 也称z为zn在 时候的极限否则称 是发散的。第四章 级数121kkkwwww111kkkkkkwuivnzz nz nzn nzlimnnzz94第四章 级数4.1.2 收敛级数 称为级数和 复数项级数收敛的充要条件【一】柯西收敛判剧对于任一给定的小正整数，必有N存在，使得当nN时，式中p为任意正整数则称此级数式收敛的，即【二】绝对收敛 复数项级数各项的模组成的级数收敛 叫绝对收敛 原因： 1Nnnnsz1limnpkknw 1Nnnnsw2211nnnnnwuv1212zzzz95第四章 级数【
14、三】函数项级数 其余各项都是z的函数如果在某个区域B上的所有点，级数都收敛 叫在区域B上收敛表述：如果N跟z无关，就把级数叫做在B上一致收敛如 收敛叫区域B上绝对一致收敛 121( )( )( )( )kkkwzw zwzwz1lim( ),( )npkknwznN zzB lim( )kknwz964.2 4.2 幂函数幂函数：【概念】：如果级数各项都是幂函数，即这样的级数叫做以z0为中心的幂级数【收敛问题】 （1）达朗贝尔判别法则 收敛即（1）式绝对收敛引入记号就可说如 则幂级数（1）绝对收敛第四章 级数000(),(1)kkknazzza都是复常数0zzR11010k0limlim1kk
15、kkkkkazzazzaazz00()kknazz1limkkkaRa97第四章 级数 (2)收敛半径 由上式可知，以z0为圆心，R为半径做一个圆则幂级数在圆内部绝对收敛，圆外发散这个圆叫做幂级数的收敛圆，R就叫收敛半径至于收敛圆上（R1）各点，幂级数是否收敛，需要根据具体情况判断。（3）根式判别法 如则（1）式绝对收敛此时 结论：幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛证明：R1是圆内任一点0lim1kkkkazz1limkkkRa11111111limlim1kkkkkkkkaRaRRaRaR98第四章 级数【三】幂级数和函数的性质定理：幂级数 的和函数f(z)在它的收敛圆内是解析的，且收敛
16、圆内可以逐级求导，逐次积分证明： 在收敛圆内任取一点 ，取一个以z0为圆心的圆，半径为R1，稍小于R用有界函数 遍乘上式，z为边界上的点这级数仍在CR1上一致收敛，可以沿CR1 逐项积分应用柯西公式得到即幂级数的和可以表示为连续函数的回路积分，安柯西公式导数法则，必可以任意阶求导。因为收敛圆的内部是单通区域，所以幂级数在收敛圆内可以逐项积分。00()nnnazz00( )()nnnf zazz112 i z201020111()()( )()22aazzazzf zi zizzz11201020111()()( )()22RRCCaazzazzf z dzdzdzdzizizzz1201020
17、001111( )(2()()22()RCnnf z dzaiazaziziaz99第四章 级数 4.3 泰勒级数 任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，既然解析函数的任意阶导数都存在，自然可以期望把解析函数展开为复变项的泰勒级数定理： 设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内任意z点，函数可以展开为幂级数其中 CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆（目的是为了避开级数在CR上边界发散的问题）00( )()nnnf zazz1( )0101( )()2!RnnnCffzadinzz0z100第四章 级数证明：证明： 根据柯西公式，对圆内任一点z，有 上式对上式逐项积分利用导数形
18、式的柯西公式，得到 11( )( )2CRff zdiz00100000000001111()()()()()()()(1)()nnnnnzzzzzzzzzzzzzzz101001( )( )()2RnnCnff zzzdiz( )( )00010!( )()(),2()!nnnnLnffzfzdazzRizn101第四章 级数定理：定理：若f(z)在 |z-z0|R内解析，那么它在该圆盘内的泰勒级数展开对以z0为中心是唯一的。应用：在同一点展开的两个泰勒急速相等，则可以逐项比较系数由此可见，泰勒级数跟解析函数有着不可分的联系证明：假定有别的的展开方式 z0CL00( )()nnnf zczz
19、20102000( )10( )0( )0( )()()()( )!(1)2()()!(1,2,)()!nnnnnnnf zcczzczzf zcfzn cn nczzfzn cnfzcn是唯一的102第四章 级数例子： 求函数 以z00为中心的展开式可直接利用公式由于 可以直接得到结果 注意：一个解析函数展开为级数形式，一定要注明成立的条件，即解析函数只有在此收敛圆内才与展开级数等价例子： 记住几个常见的泰勒级数展开式，便于计算 246211(1)1zzzzz0021200101,1!1sin( 1),cos( 1),(21)!(2 )!ln(1)( 1),1kzkkkkkkkkkkkkze
20、zzzkzzzzzzzkkzzzk ( )zf ze0( )( )!nnnfzf zzn( )( )nzfze103第四章 级数 可以利用常见的公式进行级数展开 例子： 取z1幂展开，即展开中心为1( )2zf zz0022( )11223(1)212111( 1)133313211()1,1333nnnnnnzf zzzzzzzz 104第四章 级数 4.4 4.4 罗朗级数罗朗级数 当所研究的区域上存在函数的奇点时，就不再能够将函数展开为泰勒级数这就需要考虑在除去奇点的环域上展开即本节所要讨论的洛朗级数【1】概念：什么是洛朗级数先考虑正幂项部分，它必有收敛半径R1，即|z-z0|R1再看负
21、幂项部分引入一个新的变量则负幂项部分变为上式收敛也必须有个收敛圆 如果 R2R1则在 R2|z-z0|R1内绝对且一致收敛。 0( )()nnnf zczz01zz23123aaa01,22zzRR105第四章 级数其和为一解析函数此时R2|z-z0|R1则，级数处处发散，下面讨论环域上的级数展开【2】解析函数的罗朗展开 定理：设f(z)在环域的内部单值解析，则对环域上任意一点z其中积分路径L为位于环域内按逆时针绕内圆一周的任一闭合曲线。 0( )()nnnf zczz101( )2()nnLfcdizz0CLR1R2106第四章 级数证明：证明： 应用复通区域上的柯西公式，有 对CR2的积分
22、可以直接利用以前的结果对于CR2上的积分 211( )1( )( )22CRCRfff zddiziz1100011( )(),121( )2RRnnCnnnCfdazzzzRizfadiz220010002200001( )1( )2()2()()1( )()1()( )()2()2CRCRnnnCRCRnnffddizizzzfzdzzfzdizzzzi z0zz0R2R1107第四章 级数令k=-n-1，则把两部分合并起来C为环域内沿逆时针方向内圆周的任一闭合曲线，这个结果称函数在环域内的洛朗展开(1)00221001(1)021( )1()( )()2()2(),21( )()2kkC
23、RCRkkkkkkCRfdzzfzdiziazzzzRafzdi 00( )(),21nnnf zczzRzzR101( )2()nnLfcdizz0zz0R2R1108第四章 级数 几点说明：几点说明：（1）尽管级数中含有（z-z0）的负幂项，而这些项在z=z0时候都是奇异的 但是z0点可能也可能不是函数的奇点（2）尽管展开形式如同泰勒级数，但是 无论z0是否是f（z）的奇点（3）如果只有环心z0是函数的奇点，内圆半径可以任意小，这时称为函数在 孤立奇点z0的邻域内的洛朗展开（4）如同泰勒级数一样，展开中心一定，则展开式唯一的( )0()!nnfzan109第五章 留数 本章主要介绍解析函数
24、的孤立奇点的分类，留数的定义及其基本原理，留数的应用。5.1 孤立奇点：定义：设函数f(z)在z0的去心邻域内解析，而在z0点不解析则称z0为该函数的孤立奇点上节已经证明了，挖去孤立奇点而形成的环域上的解析函数可以展开为洛朗级数洛朗级数的正幂项部分解析部分 负幂项部分主要部分（无限部分）其中（z-z0）的负一次幂的系数 a-1具有特别重要的地位，因为专门起了一个名字叫函数在奇点z0点的留数。00( )(),21nnnf zczzRzzR110奇点的分类奇点的分类： 在洛朗展开的负幂项部分分三种情况（微扰孤立奇点）（1）没有负幂项可去奇点（2）有限个负幂项极点（3）无限个负幂项本性奇点（1）如果
25、z0是函数的可去奇点，则展开级数为 这个值是有限的，就是说函数在可去奇点的邻域上是有界的，可去奇点不作为奇点看待 例子： 可见 0/0型的函数对应的是可去奇点（2）如果z0是函数的极点，则 显然 m叫着z0点的阶，一阶的极点称为单极点。第五章 留数00100( )()lim( )zzf zaazzf za21350sin1( 1)1(21)!3!5!nnnzzzzzzn00( )(),0nnnmf zczzzzR0lim( )zzf z 111第五章 留数（3）如果z0是函数的本性奇点则此时函数在z0点的极限值随z趋近于z0的方式而定如果函数在无限远点的邻域上是解析的则上式中负幂项叫着解析部分
26、正幂项是主要部分但函数在无限远点的留数却定义为z的负一次z-1幂项的系数的反号，即 a-100( )(),0nnnf zczzzzR( )nnnf za z112第五章 留数5.2 5.2 留数定理留数定理 柯西定理指出，如果被积函数在回路L所围区域上解析，则如果L包围着函数的一个孤立奇点z0，则在去心环域上，可以展开函数为由以前的关系可知上式两边除k=-1项外均为零即留数（或残数）记为 这样上式积分如果L包含n个孤立奇点 ( )0Lf z dz 00( )(),0nnnf zczzzzR000( )( )()kklllkf z dzf z dzazzdz01()0(1)21(1)nLzzdz
27、nin 1( )2lf z dzia10Re()asf zz0LL00( )2Re()lf z dzisf z01( )2(Re()Re()lf z dzisf zsf zz0LL0113【1】这样我们得到留数定理 设函数在回路L所围的区域B上除有限个孤立奇点外都是解析的，在边界上连续，则 以上讨论限于有限远点，如果包含无限远点，可得到函数在全平面上的各点的留数之和等于零这里奇点包括无限远点和有限远的奇点。第五章 留数011( )2(Re()Re()2Re()nilif z dzisf zsf zisf z114第五章 留数【2】留数的计算 一般原则来讲，把函数在环域上展开为洛朗级数，取它的负
28、一次幂的系数即可但是，如果能不做展开，而直接计算留数更方便（1）如z0是函数的单极点 则 上述可计算单极点留数，也可判断z0是否是函数的单极点若P(z),Q(z)都在z0点解析，但z0是Q（z）的一阶零点 p(z0)不等于零则 10100( )()af zaazzzz0010lim()( )Re()zzzzf zasf z( )( )/( )f zP zQ z00000( )()Re()lim()( )()zzP zP zsf zzzQ zQz115第五章 留数（2）如果z0是m阶极点利用上式可以判断z0是否是m阶极点以上介绍了留数的计算方法总结：利用留数定理计算回路积分的步骤（1）判断极点类
29、型（2）计算留数（3）利用留数定理计算积分00101010000( )()()( )()()()lim ()( )kkkmmmmmmmmzzf zazzzzf zaazzazzazzzzf za010011Re()lim()( )(1)!mmmzzdsf zzzf zmdz116第五章 留数 例子：计算留数（1） （2）322( )(4)zif zzz411zzdzz3233221( )(4)(2 )(2 )(2 )zizif zzzzzizizzi3322223220011Re(2 )lim(2 )lim(2 )8111Re(0)lim( )lim2!2!28zizizzisfizizziz
30、ddisfz f zdzdzzi 41/4242104z1,0,1,2,3Re(1)1/4,Re( 1)1/4,Re( )1/4,Re()1/4kii kzeeksfsfsf isfi 有 个单根412Re(1)Re( 1)Re()Re( )01zzdzisfsfsfisf iz117第五章 留数5.3 5.3 留数定理对定积分的应用：留数定理对定积分的应用： 留数定理的一个重要应用时计算实变函数的定积分要点如下： 定积分 可以看做是复平面上实轴上的一段L1 （1）利用自变量变换，把L1变换为某个新的复数平面上的路径 （2）另外补上一段L2，构成围路积分 （3) 把f（x）解析延拓到闭区域B，
31、将 f(x)f(z）下面介绍一种特殊类型的实变函数定积分 ( )baf x dxabL1L212( )( )( )LLf z dzf x dxf z dz118第五章 留数类型类型1 1： 被积分函数是三角函数的有理式做变量代换 这样，x由0到2Pi，相当于z绕着|z|=1逆时针走一圈实变函数积分化为复变函数回路积分，可以使用留数定理dz=exp(ix)idx izdxdx=(1/iz)dz20(cos ,sin)fxx dxixze1111111sin() ,cos()221,22zxzzzzzizzzzIfdziiz119第五章 留数例子： 求积分两个单极点 2012sinIdxx1212
32、222112sin() ,122sin4124141(2 )3(2 )( 3 )zxzzixziizdxdzIdzizzizzizzizii11211112( 32),(23)2Re()21Re()lim()()()312 3233zzziziIisf zsf zzzzzzziIii 120第五章 留数类型类型2 2： 被积分函数f(x)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外都是解析的，则当z趋近于无穷时，zf(z)趋近于零如果f(x)可以写成有理分式意味着分母无实零点，分母的幂次至少高于分子两次幂，以保证z趋近于无穷时候，函数f(z)是收敛的证明：( )f x dx( )2( )f x d
33、xif z在上半平面所以奇点的留数和( ),( )0( )xzf zx( )( )( ),( )0RRCRCRIf z dzf x dxf z dzf z dz只需要证明1( )( )|( ) |max( )0CRCRCRdzRf z dzzf zdzzf zdzzf zzzR-RRL1L2121第五章 留数例子： 求积分221(1)Idxx2222221212231( )(1)(1)() ()2Re()1111Re()lim()21() ()()41242ziz if zzzziziIisf zdsf zzidzziziziiIii 122第五章 留数类型类型3 3： 函数F(x)是偶函数，
34、G(x)是奇函数，且在实轴上无奇点，以保证被积函数是偶函数，当满足z趋近于无穷时，F(z)和G(z)趋近于零则证明右边第二个积分做代换，x=-y，考虑F(x)是偶函数，得到00( )cos,( )sinF xmxdxG xmxdx00( )cos( )( )sin( )imzimzF xmxdxi F z eG xmxdxG z e在上半平面所以奇点的留数和在上半平面所以奇点的留数和0000111( )cos( )( )( )222imximximximxF xmxdxF xeedxF x edxF x edx-RRL1L2000111( )( )( )2221:( )sin( )2imxim
35、yimximxIF x edxF y edyF x edxG xxdxG x edx同理123第五章 留数从上式看到，所求积分化为类型2，本来要求z趋近于零时，zF(z)exp(imz)和zG(z)exp(imz)趋近于零。但是由于被积函数有三角函数，所以引用约当引理后，条件可以放宽，只要求F(x),G(x)在z趋近于无穷时候趋近于零即可。类型类型4 4 如果实轴上有单极点( )2Re()Re()iif x dxisf zisf z上半平面实轴-RR124第五章 留数例子：求 的上半平面的留数 两个奇点，在上半平面只有一个z=i例子： 在上半平面无奇点，在在z=0上有，利用类型4，可求的 20
36、2cos11( )31xIdxxF zz满足条件21( )1imzimzF z eez210 ,zzi 1211Re( )lim(1)2122izziesf ieziIieie0sin11( ),izxdxxF zezz/2I125第二篇第二篇 积分变换积分变换积分变换：积分变换：通过积分运算把一个函数变成另一个函数目的目的（1 1） 可能将微积分运算转化为初等代数运算 （2） 利用已知函数来分析一个函数内在的特征信息 （3） 便于解数学物理方程 本书主要介绍两种： （1）傅里叶积分变换 （2）拉普拉斯积分变换第一章：第一章： 傅里叶变换傅里叶变换本章将介绍：傅里叶级数，傅里叶积分，傅里叶变换
37、及其性质，函数的傅里叶变换126第一章第一章 傅里叶积分变换傅里叶积分变换1.1 1.1 傅里叶级数傅里叶级数 上一篇第四章介绍了幂函数，可以对一个函数做展开 但如果某一函数具有周期性周期性，则幂函数展开将体现不出周期性，这样希望用一种周期性函数对其展开傅里叶级数展开傅里叶级数展开【一】周期函数的傅里叶展开 若函数f(x)以2L为周期，即 f(x+2L)=f(x)则可以取三角函数族 周期为2L，将函数展开为级数cos,sinn xn xll011( )cossinnnnnn xn xf xaabll127第一章第一章 傅里叶积分变换傅里叶积分变换为什么要用三角函数族，原因是，其为正交的，即利用
38、三角函数的正交性，得到展开系数cos00sin0cossin0coscossinsin0lllllllllln xn xdxndxlln xk xdxlln xk xn xk xdxdxknllll201( )cos101( )sinlnklklnlkk xafdkllk xbfdll1281.11.1傅里叶级数傅里叶级数关于傅里叶级数收敛性问题，有如下定理狄里希利定理：若函数f(x)满足 （1） 处处连续或在每一个周期中只有有限个第一类间断点 （2）在每个周期中，只有有限个极值点第一类间断点 （1） 可去间断点 （2） 跳跃间断点第二类间断点：（1） （2） 不存在，且点x0邻域内振荡变化振
39、荡间断点00lim( )()xxf xAf x0000lim( ), lim( ),xxxxf xAf xBAB0,( )xxf x 0lim( )xxf x1291.1傅里叶级数傅里叶级数【二】定义在有限区间上的函数的傅里叶展开如果函数f(x)只定义在 （0，L）区间上可采用延拓的方法，使其成为某种周期函数g(x)而在区间（0，L）上，g(x)=f(x)然后再对g(x)做傅里叶展开其级数和在区间（0，L）上代表f(x)区间以外呢？区间以外呢？到底采用那种延拓，要看f(x)在（0，L)上的边界条件一般情况下：如f(x)在边界上无定义，则可有无数种延拓方法，他们在（0，L)区间上均代表f(x).
40、 (0)( )0ff L奇延拓(0)( )0ffL偶延拓0L0L【三】复数形式的傅立叶级数 由于 可以用复数给出，如因此可用 作为函数族，周期也是2Lcos,sinn xn xll 1cos()2n xn xiilln xeel n xile ( )n xilnnf xC e （1）1.1傅里叶级数傅里叶级数利用复指数函数族的正交性，0 ()n xk xliillleedxkn求得证明 乘（1）式，并积分 1( )2nillnlCfedl*n xile( )2n xn xn xlliiilllnnllf x edxCeedxlC1( )2nlilnlCfedl1.2 傅立叶积分与傅立叶变换（一
41、）实数形式的傅立叶变换 设f(x)为定义在区间 一般来说，它是非周期的，不能展为傅立叶级数 为了研究这样的饿函数的傅立叶展开问题采取如下办法： 将非周期的函数f(x)看作是某个周期函数g(x)于周期 的极限情况-x2l 01( )cossinnnnn xn xg xaabll-33 即为非周期的函数f(x)的傅立叶展开 引入不连续参量 （n=0,1,2) l nnl01nnl01( )(cossin)nnnnng xaaxbx傅立叶系数为1( )coslnnlnafdl 1( )sinlnnlbfdl 1.2 傅立叶积分与傅立叶变换将 代入 然后取 的极限 l 对于系数a0，有 有限，则a0
42、=0余弦部分为( )limlllfd10101( )coscos1( )coscos1( )coscoslimlimlnnllnlnnllnfdxlfdxfdxd 1.2 傅立叶积分与傅立叶变换正弦部分为于是 式在 时的极限形式是01( )sinsinfdxd l 00( )( )cos( )sinf xAxdBxd傅立叶积分1( )( )cosAfd 1( )( )sinBfd 傅立叶变换上式还可以写成22( )()()CAB222222000( )( )( )()()cossin()()()()( )cos( )cossin( )sin( )cos( )ABf xABxx dxABABCx
43、xxx dxCxd 称为f(x)的振动谱 称为f(x)的相位谱1( )( )( )BxtgA1.2 傅立叶积分与傅立叶变换（二）傅立叶积分定理 若函数f(x)在区间 满足条件（1）f(x)在任一有限区间上满足狄里希利条件 （2）f(x)在 上绝对可积（收敛） 则f(x)可以表示成傅立叶积分，如果x为间断点时，傅立叶积分值为(,) (,) (0)(0)2f xf x（三）复数形式的傅立叶积分 很多情况下，复数形式的傅立叶积分比实数形式使用起来更方便1.2 傅立叶积分与傅立叶变换1.2 傅立叶积分与傅立叶变换代入1cos()21sin()2i xi xi xi xxeexeei00( )( )co
44、s( )sinf xAxdBxd0011( ) ( )( ) ( )( )22i xi xf xAiBedAiBed0011 ( )( ) ( )( )22( )i xi xi xAiBedAiBedFed复数形式傅立叶积分1.2 傅立叶积分与傅立叶变换其中 F()=对于 将 代入得对于01 ( )( )21 ( )( )2AiBAiB00( ), ( )AB1( )( )cossin2Ff xxix dx*1( )2i xf x edx0 01( )( )121cossin22i xi xfxx edxfx eFf xxixdxdx *12i xFfx edx 为任意值 复数形式的傅立叶变换
45、式 1.2 傅立叶积分与傅立叶变换上述公式写成对称的形式 原函数 像函数 通常用 表示这种变换逆变换 表示变换 如 1( )2ixfxFed1( )2ixFf x edx1 1( )fxF ( )Ffx 00( )cossinF xAxdBxd 1cosAfxxdx 1sinBfxxdxnl例子例子：由2N个正弦波组成的有限正弦波列 是奇函数，展开有 项 0sin0Atf t02Nt02Nt f tsint 0( )sinf tBtd00200020000220022( )( )sinsinsincoscos2sin2NNABf ttdtttdtAtt dtAN 可以看出，有限长的正弦波列并非
46、频率为 的单色波，而是集中在 左右， 范围的多种频率成分的波。波列越长（N越大），圆频率分散的范围 越小，即噪音越少 000/2N0/2N0202（2）求高斯分布函数 的谱频分析 22212xfxe0 222222222211222222121122xizxizxxzzzizizizF zfxfx edxeedxxeedzieee 1.2.2傅立叶变换的基本性质为叙述方便，以下假定f(x)的傅立叶变换存在，且记 1线性性质 2微分性质 （n=0,1,2.）( )( )f xF( )( )( ) ( )f xg xF xg x111()()() ()FGFg,( )( )fxi F( )( )(
47、)()nnfxiF证明：依次类推可得到n阶微分算符 1( )( )211( )( )221( )2i xi xi xi xfxfx edxf x ef x edxf xiedxi F 3 积分定理证明 记 对 应用微分定理以上两条定理很重要，它告诉我们，原函数的求导和积分运算，经傅立叶变化后，变成了像函数的代数运算11( )()( )f x dxFf xii ( )f x dxx x 11xxfxixxfx dxfxFii 例子根据基尔霍夫定律 方程为 d1TILRIIdtf tdtC( )I t211111()iLIRIfC ififILiRL iiRC iC 2121()1()()1()I
48、if tL iiRCif tL iiRC 4相似定理证明 取112ixfaxfax edxa1()0faxFaaa 11211121iyaiyafaxfy edyafy edyaaFaayax【5】延迟定理 证明: 取 【6】位移定理 证明： 00()ixfxxeF0012i xfxxfxx edx0yxx)()()(000)(Fedyeyfedyeyfxiyixixyi)()(00 FfeFxi)()()()(0)(000FdxexfdxexfefeFxixixixi【7】卷积定理 若 则 其中 称为 与 的卷积重叠程度)()(22FxfF)(1xf)()(11FxfF)()()(*)(12
49、22FFxfxfFdxffxfxf)()()(*)(22)(2xf证明：做代换 则【8】功率定理【9】自相关定理 ddxexffdxedxffffFxixi)()()()(*212121xy)()()()()()(*21212121FFdyeyfdefddyeyffffFyiiiyi例子：解微分方程例解：()1()12222( )1()()b ab aay xeba baa baebbabxbaababxba () ( )b aay xeb 222222221( )*111 ( )* ( )* y xxay xy xxaxaxb 上式22222111ai xbedxexaxaaexbb而222
50、21)()(bxduauxuy1.1.3 3 函数函数 000)(xxx（一）定义：积分表达式将自变量x平移到x0得到（二）函数的一些性质：（1） 是偶函数其导数是奇函数其积分？（2）称为阶跃函数，是 的原函数其他0b0a1)(dxxba)(0 xx()( )xx dxxdHx)()()()(xx0100)()(xxdttxHx)(x()x（3） 函数的挑选性： （ 函数另一定义）将 在点 的值 挑选出来证明：一,三项=0 在 时应用中值定理（4）相似性质如果 的实根 全是单根则)()()(00tfdtfdtfdtfdtfdtftttt)()()()()()()()(00000000dtftt