2022年第八章-向量值函数的曲线积分与曲面积分.docx-淘文阁

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载8.5 场论简介8.5.1 向量场的散度1沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件对于曲面积分PdydzQdzdxRdxdy在怎样的条件下与曲面无关而只取决于的边界曲线？这问题相当于在怎样的条件下,沿任意闭曲面的曲面积分为零？对空间区域 G,假如 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,就称 G 是空间二维单连通区域；假如 G 内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G 的曲面,就称 G 是空间一维单连通区域 . 定理 2 设 G 是空间二二维单连通区域,P x,y,z、Qx,y,z、Rx,y,z 在 G 内具有一阶连续偏导数,就曲面积分P

2、dydzQdzdxRdxdyR的边界曲线（或沿 G 内任一闭曲面的曲面积分为零）在 G 内与所取曲面无关而只取决于的充分必要条件是PQ0（4）xyz在 G 内恒成立 . 证类似于第三节其次目的证明. 2. 通量与散度名师归纳总结设稳固流淌的不行压缩流体（假定密度为1）的速度场由第 1 页,共 11 页v x ,y,zP x,y,ziQx ,y ,zjR x,y,z k给出,其中P、Q、R假定具有一阶连续偏导数,是速度场中的一片有向曲面,又ncosicosjcosk是在点x ,y ,z处的单位法向量,就由第五节第一目知道,单位时间内流体经过流向指定侧的流体总质量可用曲面积分来表示：PdydzQ

3、dzdxRdxdyPcosQcosRcosdSvn dSv ndS其中vnvnPcosQcosRcos表示流体的速度向量v 在有向曲面的法向量上的投影 .假如是高斯公式（ 1）中闭区域的边界曲面的外测,那么公式（1）的右侧可说明为单位时间内离开闭区域的流体的总质量.由于假定流体是不行压缩的,且流淌是稳固的,因此在流体离开的同时,内部必需有产生流体的“ 源头” 产生同样多的流体- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载来进行补充 .所以高斯公式左端可说明为分布在质量 . 为简便起见,把高斯公式（1）改写成内的源头在单位时间内所产生的流体的总以

4、闭区域上式左端表示PQRdvvndS .xyz的体积 V 除上式两端,得1PQRdv1v ndS .VxyzV内的源头在单位时间内所产生的流体质量的平均值；应用积分中值定理于上式左端,得这里,PQR,1vndS,xyzV是内的某个点 .令缩向一点Mx,y,z,取上式的极限,得PQRlim M1vndS上式左端称为xyzVv 在点 M 的散度,记作divv,即divvPQRxyzdiv v 在这里可看作稳固流淌的不行压缩流体在点体质量 .假如 div v 为负,表示点 M 处流体在消逝 . 一般地,设某向量场由M 的源头强度在单位时间内所产生的流Ax ,y,zPx,y,ziQx ,y,zjRx,

5、y ,z k,y,z给出,其中P、Q、R具有一阶连续偏导数,是场内的一片有向曲面,n 是在点x处的单位法向量,就An dS叫做向量场 A 通过曲面向着指定侧的通量（或流量）,而PQR叫做向量场 A 的散度,记作div A,即xyzdivAPQRxyz高斯公式现在可以写成名师归纳总结其中是空间闭区域divAdvA ndS,Rcos第 2 页,共 11 页的边界曲面,而AnAnPcosQcos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 是向量 A 在曲面精品资料. 欢迎下载的外测法向量上的投影例 1 设向量场 Ax, y, z= xy, y解这里 P= xy, Q

6、=yx e , R=xzx e , xz,求 Ax, y, z在点 0, 1, 0处的散度 divA ；divA=PQRyexxxyz于是divA| 0,1,011028.5.2 向量场的旋度1空间曲线积分与路径无关的条件定理 2 设空间区域G 是一维单连通域,函数Px,y ,z 、Qx ,y ,z、Rx ,y ,z在 G内具有一阶连续偏导数,就空间曲线积分PdxQdyRdz在 G 内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是PQ,QR,RP（5）yxzyxz在 G 内恒成立 . 证略定理 3 设区域 G 是空间一维单连通区域,函数 P x , y , z 、Q x ,

7、y , z 、R x , y , z 在 G内具有一阶连续偏导数,就表达式 Pdx Qdy Rdz 在 G 内成为某一函数 u x , y , z 的全微分的充分必要条件是等式（5）在 G 内恒成立；当条件（5）满意时,这函数（不计一常数之差）可用下式求出：名师归纳总结 ux ,y ,z x,yPdxQdyRdzdyzR x ,y ,z dz .（6）第 3 页,共 11 页x0,y0或用定积分表示为（按图1029 取积分路径）（6 ）u x,y ,z xPx ,y 0,z 0dxyQx ,y ,z 0x0y 0z 0其中M0x0,y0,z 0为 G 内某肯定点,点Mx,y,z G.- - -

8、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载2. 环流量与旋度而设斯托克斯公式中的有向曲面在点x ,y,z处的单位法向量为ncosicosjcosk处的单位切向量为的正向边界曲线在点x ,y,zcosicosjcosk就斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表示为RQcosPRcosQPcosdS（7）yzzxxyPcosQcosRcosds .设有向量场Ax,y,zPx,y ,z iQx,y,zjRx ,y,zk在坐标轴上的投影分别为的向量叫做向量场RQ,PR,QRRk. （8）yzzxxyA的旋度,记作rot A,即rot A RQiPR

9、jQyzzxxy现在,斯托克斯公式可写成向量的形式rotAn dSAds,或rotA ndSA ds,（9）其中名师归纳总结 rotAnrotAnPRcosQPcos第 4 页,共 11 页RQcosyzzxxy为 rot A 在的法向量上的投影,而QcosRcosAAPcos为向量 A 在的切向量上的投影. 沿有向闭曲线的曲线积分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PdxQdy精品资料A欢迎下载Rdzds叫做向量场 A 沿有向闭曲面的环流量 .斯托克斯公式（9）现在可表达为：向量场A沿有向闭曲线的环流量等于向量场A 的旋度场通过所张的曲面的通量 ,这里

10、的正向与的侧应符合右手规章. 为便于记忆, rot A 的表达式（ 8）可利用行列式记号形式地表示为作业2,4（ 2）（4）,6 rot Aijk. xyzPQR习题课1运算曲线积分x2y2ds,其中 L 是圆周x2y2ax. 2d解利用 L 的极坐标方程racos,22,被积函数x2y2r2a2cos2,dsr2rad,于是x2y2ds2a2 cos 2ad2名师归纳总结 23 a022 cosd图 820 第 5 页,共 11 页2a312a3.22例 2 运算Lxy3ds,其中 L 是圆周x2y2R2. yx是 L 上关于 x 的解利用曲线积分的性质,得Lx3 y dsLxdsLy3ds

11、对于Lxds,由于积分曲线L 是关于 y 轴对称的, 被积函数f1x,奇函数,所以Lxds0. f2x,yy3是 L 上对于Ly3ds,由于积分曲线L 是关于 x 轴也是对称的,被积函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 关于 y 的奇函数,所以Ly3ds0. 精品资料欢迎下载综上所述,得Lxy3ds 0. 关于对称性的一般法就设函数fx ,y在一条光滑（或分段光滑）的曲线L 上连续, L 关于 y 轴（或 x 轴）对称,就（1）当fx,y 是 L 上关于 x（或 y）的奇函数时,|Lfx ,yds0；x ,y ds,其（2）当fx,y 是 L 上关于

13、,被积函数是x 的偶函数；所以两个积分均为零即dx ABCDA xy|dy0 1上述结论再一般情形下也成立. 对坐标的曲线积分,当平面曲线L 是分段光滑的,关于x 轴对称, L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时,名师归纳总结 2L 1（1）如Px,yPx,y（即Px,y 为 y 的偶函数）,就LP x,y dxP0；dx第 6 页,共 11 页（ 2 ）如Px,yPx,y（即P x,y为 y 的奇函数）, 就Lx ,y Px ,ydx,其中L 为 L 的上半平面的部分. 类似地,对LQ x ,ydy的争论也有相应的结论. - - - - - - -精选学习资料 - - - -

15、有第 7 页,共 11 页MdS14x24y2dxdyDxy2d02r14r2dr13.03y2dxdyMxOyzdS2x2y214x2Dxy2d02r2r214 r2dr37.010zMxOy3711110 13M1303重心坐标为,0 0 ,111 .130例6 计算- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dydzzdzdxxezy2dxdy,精品资料欢迎下载x2y2被平面z1和z2所截其中是锥面z2得的部分的下侧. dydz时,可分为两块,即前面一块1和后面一块2,1在 yOz 平面解在运算上的投影为正,Dxy相同 .见图 9 22.故2在 yOz 平

16、面上的投影为负,其投影区域图 822 dydzdydzdydzdydzdydz0 .3,3在 zOx 平面上12DxyD xy在运算zdzdx时,可分为两块,即右面一块3和左面一块的投影为正,2在 zOx 平面上的投影为负,其投影区域Dzx相同 .故y2中,ezex2y2,zdzdxzdzdxzdzdxzdzdxzdzdx0 .34DzxDzx在运算xezy2dxdy,时,留意被积函数Rx,y ,z xez22在 xOy 平面上的投影为负,投影区域Dxy可用极坐标表示为1r2,02,故z ey2dxdyDxyex2y22dxdy2 xx2y2yz2在第一卦2d2r erdr2e 1e .01r

17、例 7 运算xdydzydzdxxz dxdy,其中是平面2x限部分的上侧 . 名师归纳总结 cos解由于取上侧, 因此法向量n 与 z 轴正向的夹角为锐角,其方向余弦是cos2,第 8 页,共 11 页32,cos1,就有33xdydzydzdxxz dxdy2x2y1x1zdS13x3yzzdS. Dxy运算3333313x3yzzdS；的方程为z22x2y,其在xOy 平面的投影区域3：0y1x ,0x1,又曲面的面积元素- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dS1z2z2dxdy精品资料22欢迎下载dxdy3 dxdy122xy所以A axdydz

18、ydzdxxz dxdy2 dy7.x2y2ax从点1Dxy3 x2y22x2y 3 dxdy1dx1xx3006例 8 运算ILe xsinymy dxexcosymy dy,其中 L 是0, 到点O00,的上半圆弧,m 为常数 . 解我们补一条直线OA ,得闭曲线 AnOA ,从而可以是呀格林公式IOAx esinymy dxx ecosymy dyexsinymy dxx ecosymy dyAnOA名师归纳总结 x ecosy excosym dxdymdxdy图 823 . 第 9 页,共 11 页DDa2m2ma2.28其中 D 为半圆x2y2ax ,y0 ,Ddxdya2.8又O

19、Aexs i n ymy dx exc o s ymy dy0,故Ima2.8例 9 运算xdydzydzdxzdxdy,其中为任一不经过原点的闭曲面的外测3x2y2z22解由于PQR0x2y2z20,所以xyz（1）当不包围原点时,由高斯公式即得xdydzydzdxzdxdy0；3x2y2z22（2）当包围原点时,取1：x2y2z21的外测,由高斯公式,得xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy；33x2y2z221x2y2z22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而xdydzydzdxzdxdy精品资料欢迎下载zdxdyxdydz

20、ydzdx31x24y2z2213 dv.1即x2xdydzydzdxzdxdy4.3 xy2,0是锥面z23x2y2z22例 10 运算rot Fn dS,其中Fxz ,x3yz ,y2在 xOy 平面上方的部分,n 是的上侧的单位法向量. 2,z,并取为逆时解曲面与 xOy 平面的交线（即其边界）为:x2y22针方向 . 由斯托克斯公式,知在和rotFn dSFd r2xz dxx3yz dy3xy2dz,所围成的平面1：xy24上,对上式右端闭路积分再次应用斯托克斯公式,得xz dxx3yz dy3xy2dzrotFn dS,其中n00,1, 1x2y23x2dxdy32d2cos2r3

21、dr12Lexfxydxxfx dy与路径无004例 11 设函数fx有连续的导数,且曲线积分关,求fx；* fxexf；解由于积分与路径无关,所以QP,从而xy由一阶线性微分方程的通解公式,有名师归纳总结 fxedxcexedxdxexcx0,且曲线积分L2 xydxyfx dy第 10 页,共 11 页例 12 设函数fx 有连续的导数, 满意条件f0与路径无关,求fx；并运算I 1,1xy2 dxyfx dy* 0,0解由于积分与路径无关,所以QP,从而fx2x；xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由一阶线性微分方程的通解公式,有精品资料x2欢迎下载fxc；名师归纳总结又f00,所以 c=0,从而fx2x2；1第 11 页,共 11 页I1,1xy2dxyx2dy ,111 2xy20,00,02- - - - - - -

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