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1、精品资料欢迎下载8.5 场论简介8.5.1 向量场的散度1沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件对于曲面积分RdxdyQdzdxPdydz在怎样的条件下与曲面无关而只取决于的边界曲线？这问题相当于在怎样的条件下，沿任意闭曲面的曲面积分为零？对空间区域G，如果 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于G，则称 G 是空间二维单连通区域；如果G 内任一闭曲线总可以张一片完全属于G 的曲面，则称G 是空间一维单连通区域 . 定理 2 设 G 是空间二二维单连通区域，),(),(),(zyxRzyxQzyxP、在 G 内具有一阶连续偏导数，则曲面积分RdxdyQdzdxPdydz在 G 内与所取曲面无关而只取决于
2、的边界曲线（或沿 G 内任一闭曲面的曲面积分为零）的充分必要条件是0zRyQxP（4）在 G 内恒成立 . 证类似于第三节第二目的证明. 2. 通量与散度设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由kjiv),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyx给出，其中RQP、假定具有一阶连续偏导数，是速度场中的一片有向曲面，又kjincoscoscos是在点),(zyx处的单位法向量，则由第五节第一目知道，单位时间内流体经过流向指定侧的流体总质量可用曲面积分来表示：dSvdSdSRQPRdxdyQdzdxPdydznnv)coscoscos(其中coscoscosRQPvnnv表示流体
3、的速度向量v在有向曲面的法向量上的投影 .如果是高斯公式（ 1）中闭区域的边界曲面的外测，那么公式（1）的右侧可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量.由于假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开的同时，内部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页精品资料欢迎下载来进行补充 .所以高斯公式左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量 . 为简便起见，把高斯公式（1）改写成.dSvdvzRyQxPn以闭区域的体积 V 除上式两端，得.11dSvVdvzRy
4、QxPVn上式左端表示内的源头在单位时间内所产生的流体质量的平均值。应用积分中值定理于上式左端，得dSvVzRyQxPn1),(，这里),(是内的某个点 .令缩向一点),(zyxM，取上式的极限，得dSvVzRyQxPnM1lim上式左端称为v 在点 M 的散度，记作vdiv，即vdivzRyQxPvdiv在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在点M 的源头强度在单位时间内所产生的流体质量 .如果vdiv为负，表示点M 处流体在消失. 一般地，设某向量场由kjiA),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyx给出，其中RQP、具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，n 是在点),(zyx
5、处的单位法向量，则dSnA叫做向量场A通过曲面向着指定侧的通量（或流量），而zRyQxP叫做向量场A的散度，记作Adiv，即AdivzRyQxP高斯公式现在可以写成dSAdvnAdiv，其中是空间闭区域的边界曲面，而coscoscosRQPAnnA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页精品资料欢迎下载是向量A在曲面的外测法向量上的投影. 例 1 设向量场A(x, y, z)=(xy, yxe, xz)，求 A(x, y, z)在点 (0, 1, 0)处的散度divA 。解这里 P= xy, Q=yxe, R=xzdiv
6、A=xeyzRyQxPx于是div2011|)0, 1 ,0(A8.5.2 向量场的旋度1空间曲线积分与路径无关的条件定理 2 设空间区域G 是一维单连通域，函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP、在 G内具有一阶连续偏导数，则空间曲线积分RdzQdyPdx在 G 内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是zPxRyRzQxQyP,（5）在 G 内恒成立 . 证略定理 3 设区域 G 是空间一维单连通区域，函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP、在 G内具有一阶连续偏导数，则表达式RdzQdyPdx在 G 内成为某一函数),(zyxu的全微分的充分必要条件
7、是等式（5）在 G 内恒成立；当条件（5）满足时，这函数（不计一常数之差）可用下式求出：),(),(00),(yxyxRdzQdyPdxzyxu（6）或用定积分表示为（按图1029 取积分路径）zzyyxxdzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxu000.),(),(),(),(000（6 ）其中),(0000zyxM为 G 内某一定点，点.),(GzyxM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页精品资料欢迎下载2. 环流量与旋度设斯托克斯公式中的有向曲面在点),(zyx处的单位法向量为kjincoscoscos而的正
8、向边界曲线在点),(zyx处的单位切向量为kjicoscoscos则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表示为dSyPxQxRzPzQyRcoscoscos.)coscoscos(dsRQP（7）设有向量场kjiA),(),(),()(zyxRzyxQzyxPx,y,z在坐标轴上的投影分别为yRxQxRzPzQyR,的向量叫做向量场A的旋度，记作rot A，即rot AkjiyRxQxRzPzQyR. （8）现在，斯托克斯公式可写成向量的形式dsdSAnArot，或dsdSnAA)(rot，（9）其中coscoscos)(yPxQxRzPzQyRnnAArotrot为rot A在
9、的法向量上的投影，而coscoscosRQPAA为向量A在的切向量上的投影. 沿有向闭曲线的曲线积分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页精品资料欢迎下载dsARdzQdyPdx叫做向量场A沿有向闭曲面的环流量 .斯托克斯公式（9）现在可叙述为：向量场A沿有向闭曲线的环流量等于向量场A的旋度场通过所张的曲面的通量 ,这里的正向与的侧应符合右手规则. 为便于记忆，rot A的表达式（ 8）可利用行列式记号形式地表示为rot ARQPzyxkji. 作业2，4（ 2） （4） ，6 习题课1计算曲线积分dsyx)(22，其
10、中 L 是圆周axyx22. 解利用 L 的极坐标方程,22,cos)(ar被积函数,cos)(22222aryxdrrds22ad，于是dsyx)(222222cosada2023cos2da.2221233aa图 820 例 2 计算Ldsyx)(3，其中 L 是圆周222Ryx. 解利用曲线积分的性质，得Ldsyx)(3LxdsLdsy3对于Lxds， 因为积分曲线L 是关于 y 轴对称的， 被积函数xyxf),(1是 L 上关于x的奇函数，所以Lxds0. 对于Ldsy3，因为积分曲线L 是关于x轴也是对称的，被积函数32),(yyxf是 L 上精选学习资料 - - - - - - -
11、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页精品资料欢迎下载关于 y 的奇函数，所以Ldsy30. 综上所述，得Ldsyx)(3 0. 关于对称性的一般法则设函数),(yxf在一条光滑（或分段光滑）的曲线L 上连续， L 关于 y 轴（或 x 轴）对称，则（1）当),(yxf是 L 上关于 x（或 y）的奇函数时，Ldsyxf0),(；（2）当),(yxf是 L 上关于x（或 y）的偶函数时，1),(2),(LLdsyxfdsyxf，其中曲线1L是曲线 L 落在 y（或 x）轴一侧的部分。例 3 计算ABCDAxydydx1|，其中ABCDA为1|yx，取逆时针方
12、向. 解积分路径如图821，利用对称性。将原式分成两部分，即ABCDAABCDAABCDAxydyxydxxydydx1|1|1|第一个积分，曲线关于x轴对称， L在上半平面部分的走向与L 在下半平面部分 的 走 向 相 反 ( 前 者CA， 后 者AC)，被积函数是y 的偶函数。第二个积分，曲线关于y轴对称， L在右半平面部分的走向与L 在左半平面部图 821 分的走向相反 (前者BD，后者DB)，被积函数是x 的偶函数。 所以两个积分均为零.即ABCDAxydydx1|0 上述结论再一般情况下也成立. 对坐标的曲线积分，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x轴对称， L 在上半平面与下半平面部
13、分的走向相反时，（1）若),(),(yxPyxP（即),(yxP为y的偶函数），则LdxyxP0),(；（ 2 ） 若),(),(yxPyxP（ 即),(yxP为y的 奇 函 数 ） ， 则LdxyxP),(1),(2LdxyxP，其中1L为 L 的上半平面的部分. 类似地，对LdyyxQ),(的讨论也有相应的结论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页精品资料欢迎下载例 4 设),(yxP，),(yxQ在光滑的有向曲线C上连续， L 为曲线弧C的弧长，而22maxQPM，证明.LMQdyPdxC证由两类曲线积分的联
14、系和性质，有CCdsQPQdyPdx)sincos(.CdsQP|)sincos( |CdsQP| )sin(cos)( |jiji.|)sin(cos|)( |22MLdsMdsQPdsQPCCCjiji例 5 求面密度为常数的均匀抛物面壳)0()(222zyxz的重心坐标 . 解由抛物面)(222yxz的对称性和均匀性知，重心坐标中0,0 yx，下面求坐标z. 抛物面在 xOy 平面上的投影区域xyD为222yx，故有.313414412022022drrrddxdyyxdSMxyD.103741)2(441)(22022202222drrrrddxdyyxyxdSzMxyDxOy所以13
15、01113131037MMzxOy重心坐标为).130111,0, 0(例6 计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页精品资料欢迎下载,22dxdyyxezdzdxdydzz其中是锥面22yxz被平面1z和2z所截得的部分的下侧. 解在计算dydz时，可分为两块，即前面一块1和后面一块2，1在 yOz 平面上的投影为正，2在 yOz 平面上的投影为负，其投影区域xyD相同 .见图 9 22.故图 822 .021xyxyDDdydzdydzdydzdydzdydz在计算zdzdx时，可分为两块，即右面一块3和左面一块
16、3，3在 zOx 平面上的投影为正，2在 zOx 平面上的投影为负，其投影区域zxD相同 .故.043zxzxDDzdzdxzdzdxzdzdxzdzdxzdzdx在计算,22dxdyyxez时，注意被积函数22),(yxezyxRz中，22yxzee，在 xOy 平面上的投影为负，投影区域xyD可用极坐标表示为20,21r，故).1 (22120222222eerdrreddxdyyxedxdyyxerDyxzxy例 7 计算dxdyzxydzdxxdydz)(，其中是平面222zyx在第一卦限部分的上侧 . 解因为取上侧， 因此法向量n 与 z 轴正向的夹角为锐角，其方向余弦是,32cos
17、31cos,32cos，则有dxdyzxydzdxxdydz)(dSzzyxdSzxyx333131313232. 计算dSzzyx3331。的方程为yxz222，其在xOy 平面的投影区域xyD：10,10 xxy，又曲面的面积元素精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页精品资料欢迎下载dxdydxdydxdyzzdSyx3)2()2(112222所以dxdyzxydzdxxdydz)(.67)2(3)22223(311010 xDdyxdxdxdyyxyxxy例 8 计算LxxdymyyedxmyyeI)cos()s
18、in(，其中 L 是axyx22从点)0 ,(aA到点)0 ,0(O的上半圆弧，m为常数 . 解我们补一条直线OA，得闭曲线AnOA，从而可以是呀格林公式OAxxdymyyedxmyyeI)cos()sin(AnOAxxdymyyedxmyye)cos()sin(DDxxmdxdydxdymyeye)cos(cos图 823 .82222amam其中D为半圆.8,0,222adxdyyaxyxD又0)c o s()s i n(OAxxdymyyedxmyye，故.82amI例 9 计算23222)(zyxzdxdyydzdxxdydz，其中为任一不经过原点的闭曲面的外测. 解因为)0(0222
19、zyxzRyQxP，所以（1）当不包围原点时，由高斯公式即得23222)(zyxzdxdyydzdxxdydz0。（2）当包围原点时，取12221zyx：的外测，由高斯公式，得23222)(zyxzdxdyydzdxxdydz123222)(zyxzdxdyydzdxxdydz。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页精品资料欢迎下载而123222)(zyxzdxdyydzdxxdydz1zdxdyydzdxxdydz.431dv即23222)(zyxzdxdyydzdxxdydz.4例10 计算dSnFrot，其中)3
20、,(23xyyzxzxF，是锥面2z22yx在 xOy 平面上方的部分，n 是的上侧的单位法向量. 解曲面与 xOy 平面的交线（即其边界）为0,2:222zyx，并取为逆时针方向 . 由斯托克斯公式，知dSnFrotrFddzxydyyzxdxzx233)()(，在和所围成的平面4221yx：上，对上式右端闭路积分再次应用斯托克斯公式，得1233)()(dSdzxydyyzxdxzxnFrot，其中)1 ,0 ,0(n12cos332032204222drrddxdyxyx例 11 设函数)(xf有连续的导数，且曲线积分Lxdyxfydxxfe)()(与路径无关，求)(xf。* 解由于积分与
21、路径无关，所以yPxQ，从而)()(xfexfx。由一阶线性微分方程的通解公式，有)()(xcedxeecexfxdxxdx例 12 设函数)(xf有连续的导数， 满足条件0)0(f， 且曲线积分Ldyxyfdxxy)(2与路径无关，求)(xf。并计算)1 , 1()0,0(2)(dyxyfdxxyI* 解由于积分与路径无关，所以yPxQ，从而xxf2)(。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页精品资料欢迎下载由一阶线性微分方程的通解公式，有cxxf2)(。又0)0(f，所以 c=0,从而2)(xxf。)1 , 1()0,0()1, 1()0,0(22222121yxdyyxdxxyI精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页