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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 3.4 Leslie 矩阵模型本节将以种群为例, 考虑种群的年龄结构, 种群的数量主要由总量的固有增长率打算, 但是不同年龄结构动物的繁衍率和死亡率有着明显的不同, 为了更精确地猜测种群的增长,种群增长猜测模型,这个向量形式的差分方程是在此争论按年龄分组的 Leslie 在 20 世纪 40岁月用来描述女性人口变化规律的,虽然这个模型仅考虑女性人口的进展变化,但是一般男女人口的比例变化不大；假设女性最大年龄为s岁,分 s岁为 n 个年龄区间：t ii1 s,is,i,12 ,nnn年 龄 属 于 it的 女 性 称 为 第 i组 , 设 第 i
2、组 女 性 人 口 数 目 为xi i ,1 2 , , n ,称 x x 1 , x 2 , , x n T 为女性人口年龄分布向量, 考虑x 随kt 的变化情形,每隔 s 年观看一次,不考虑同一时间间隔内的变化 即n将时间离散化；设初始时间为 0t ,tk t 0 ks 时间的年龄分布向量为nx k x 1 k , x 2 k , , x n k T,这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口演化,而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响；设第 i 组女性的生殖率已扣除女婴的死亡率为 ia 第 i 组每位女性在 s 年中平均生育的女婴数,ia 0,存活率 ib第 i组女性在 sn n年仍活
3、着的人数与原先人数之比,0 ib 1,死亡率 1 ib,假设 ia ,ib在同一时间间隔内保持不变,这个数据可由人口统计资料获得；名师归纳总结 xkkti时 第 一 组 女 性 的 总 数xk是kt1时 各 组 女 性 人 数 为第 1 页,共 5 页11,12,n所生育的女婴的总数,可以由下式表示：i x 1ka1xk1a2xk1 anxk112n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - kt 时第i1组i1女性人数 ixk是kt1时第 i 组女性经s 年存活下 n1来的人数,可以由下式表示：xkbixk1,i,12 ,n1i1i用矩阵将上两式表示为：k x
4、 1a 1a 20an1ank x 11xk 2b 10010xk 211xk 30b 2xk 3001xk n0xk nb n0记：就有xkLL0a 1a20an1an,xkk x 1,b 10b010k x 20b 2k x 3000k x n0nkx称 L 为 Leslie 矩阵,由上式可算出kt时间各年龄组人口总数、人口增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比；利用 Leslie 模型分析人口增长,发觉观看时间充分长后人口增长率和年龄分布结构均趋于一个稳固状态,这与矩阵 向量有关；L 的特点值和特点值矩阵L 有唯独的单重正特点值1,对应的特点向量为：x 1,1b 1,b 1b2,b 1
5、b2n 1bn1T12 11假设1是矩阵 L 的正特点值, 就 L 的任一个实的或者复的 特点都满意：1名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设矩阵L 的第一行有两个次序元素aiai10,就L的正特点值是严格优势特点值这种要求在人口模型中是能保证的,所以L 矩阵必有严格优势特点值；数假设矩阵L 有严格优势特点值1,对应特点向量为1x ,就：limxkcx 1k1这说明时间kt 充分长后,年龄分布向量趋于稳固,即各年龄组人k ix占总数n ixk的百分比几乎等于特点向量x 中相应重量占重量i1总和的百分比；同时kt 充分
6、大后,人口增长率xk1 kxk趋于11,或说11时,ixi人口递增；11时,人口递减；1i1时,人口总数稳固不变；例 1 加拿大人口数量猜测问题为了争论加拿大的人口年龄结构,对加拿大的人口进行数据统计,1965 年的统计资料如下表所示由于大于 少,故只争论 050 岁之间的人口增长问题表 1 加拿大人口统计数据50 岁的妇女生育者极名师归纳总结 年龄组 i年龄区间iaib第 3 页,共 5 页0,5 1 2 5,10 3 10,15 4 15,20 5 20,25 6 25,30 7 30,35 8 35,40 9 40,45 10 45,50 - - - - - - -精选学习资料 - -
7、- - - - - - - 分析：由上表得到加拿大人口的Leslie 矩阵 L 如下所示,求解特点方程,L000 .000240.058610 . 286080.447910 .363990. 222590. 10459T0 .028260. 00240. 9965100000000 .0000 .9982000000000000.9980200000000000.9972900000000000.9969400000000000.9962100000000000. 9946000000000000. 991840000000000987000x0 .可以得到 L 矩阵的特点值：.10763
8、和特点向量：4257,0 .3942,0 .3656 ,0 .3390,0 . 3141 ,0. 2910,0. 26940,.24890,.2294,0. 2104通过上述过程大家可以发觉,一旦 特点方程将是一个特别复杂的过程,运用 clear all L=zeros10,10; L 矩阵的维数过大,那么求解 matlab 求解程序如下：L1,:=0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.02868,0.00240; L2,1=0.99651;L3,2=0.99820;L4,3=0.99802;L5,4=0.997
9、29;L6,5=0.99694; L7,6=0.99621;L8,7=0.99460;L9,8=0.99184;L10,9=0.98700; v,d=eigL; a1=d1,1; a2=v:,1; a3=v:,1./sumv:,1; piea3 legend0,5,5,10,10,15,15,20,20,25,25,30,30,35,35,40,40,45,45,50 结果：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0,514%7%5,10 10,157%15,2020,2513%8%25,3030,3535,40 40,45 45,50 9%12%9%11% 10%图 1 加拿大人口结构示意图由 L 矩阵的特性可知： 当时间充分长后, 年龄分布向量趋于稳固,即各年龄组人数k ix占总数的百分比几乎等于特点向量中相应重量占重量总和的百分比；假如加拿大妇女生育率和存活率保持 较长时间以后, 50 岁以内的人口总数每1965 年的状况,那么经过 5 年将递增 7.662%,由特点向量可算得各年龄组人口占总人口的比例如上图；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页