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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 等比数列在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要；【例 1】1.如图,已知ABC的周长为 1,连结- 康托尔ABC三边的中点构成其次个三角形,再连结其次个三角形三边的中点构成第三个三角形,L L,依此类推,就第10 个三角形的周长为（A ）1 91 10191 210C 2B 2.（ 2006 永州市）如图,在半径为 R 的圆内作一个内接正方形,然后作这个正方形的内切圆,又在这个内切圆中作内接正方形,依此作到第n个内切圆,它的半径是（D）2n RA2n RB1 2n RC1n1R222变式训练 *举一反三1.如图,正方形 ABCD
2、 的边长为 1,顺次连接正方形 ABCD 四边的中点得到第一个正方形 A 1B1C1D1,由顺次连接正方形 A1B1C1D1 四边的中点得到其次个正方形 A2B2C2D2 ,以此类推,就第六个正方形A6B6C6D 6 周长是A B A1D 3D 2C3D 1D A2A3B3C2B1B2C1C 2.如图,四边形 ABCD 中,AC=6 ,BD=8 且 ACBD 顺次连接四边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A 1B1C1D1；再顺次连接四边形 A 1B1C1D1 各边中点,得到四边形 A 2B2C2D2 如此进行下去得到四边形 AnBnCnDn .（1）写出四边形 AnBnCnDn 的面积为；
3、（2）四边形 A5B5C5D5 的周长为 . 变式训练 *深度拓展1如图,对面积为 1 的 ABC 逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长 AB、BC、CA 至点 A1,B1,C1,使得 A1 B=2AB , B1C=2BC ,C1A=2CA ,顺次连结 A1, B1 ,C1,得到 A1B1C1,记其面积为 S1；其次次操作,分别延长 A 1B1,B1C1, C1A1 至点 A2、B2、C2,使 A2B1=2A 1B1,B2C1=2B 1C1, C2A 1=2C 1A1,顺次连结 A2、 B2、 C2,得到 A2B2C2,记其面积为 S2；按此规律连续下去,可得到A5 B5C5 ,就其面积 S
4、51 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为 ns【例 2】（ 2022 .广州）如图,在标有刻度的直线 l 上,从点 A 开头,以 AB=1为直径画半圆,记为第1 个半圆；3 个半圆面积的倍,第 n 个半圆的面积为以 BC=2 为直径画半圆,记为第2 个半圆；以 CD=4为直径画半圆,记为第3 个半圆；以 DE=8 为直径画半圆,记为第4 个半圆, 按此规律,连续画半圆,就第4 个半圆的面积是第（结果保留 ）变式训练 *举一反三1.（ 2022 深圳市 12 ,3 分）如图, 已知：MON 30 o,点 A1 、 A
5、2 、 A3 在射线 ON 上,点 B1 、B2 、 B3 在射线 OM 上,A B A 2、A B A 3、A B 3 A 4 均为等边三角形,如 OA 1 1,就 A B A 7的边长为（）A. 6 B. 12 C 32 D. 64 2.如图,矩形 ABCD 的面积为 20cm2,对角线交于点 O；以 AB 、 AO 为邻边做平行四边形 AOC1B,对角线交于点 O1；以 AB、 AO 1 为邻边做平行四边形 AO 1C2B； ；依此类推,就平行四边形 AO 4C5 B 的面积为 Acm2 Bcm2 C cm2 Dcm2MB3B2B1OA 1A 2A 3A 4N图 4 2 名师归纳总结 -
6、 - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练 *深度拓展1.如图在 ABC 中,AABC 与ACD 的平分线交于点 A1,得A 1；A1BC 与A1CD 的平分线相交于点 A2,得A2； ；A2022 BC 与A2022CD 的平分线相交于点 A2022 ,得A2022 就A2022 110. 如图,图是一块边长为 1,周长记为 P1 的正三角形纸板,沿图的底边剪去一块边长为 的正三角2形纸板后得到图,然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 1 ）后,得图、 , ,记第 n n3 块纸板
7、的周长为 Pn,就 PnPn1 等于（）2A2 1n 1 B32 1n C12 n 31 D2 n 312 n 12【例 3】（ 08 浙江温州）以 OA 为斜边作等腰直角三角形 OAB ,再以 OB 为斜边在OAB 外侧作等腰直角三角形 OBC ,如此连续,得到 8 个等腰直角三角形（如图）,就图中OAB 与OHI 的面积比值是（）C B A 32 B 64 C128 D 256 D E O I A F G H （例 3）变式训练 *举一反三1.如图, 点 B1 是 面积为 1 的等边 OBA 的两条中线的交点,以 OB1 为一边, 构造等边 OB1A1（点 O,B1,A1 按逆时针方向排列
8、） ,称为第一次构造；点 B2 是 OBA 的两条中线的交点,再以 OB2 为一边,构造等边OB2A2（点 O,B2,A 2 按逆时针方向排列） ,称为其次次构造； 以此类推, 当第 n 次构造出的等边OB n An的边 OAn 与等边 OBA 的边 OB 第一次重合时, 构造停止 就构造出的最终一个三角形的面积是问题摸索 如何求出等比数列的通项公式？3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课后训练 *巩固复习1 如图 1, ABC 是边长为 1 的等边三角形 .取 BC 边图 2 中点 E,作ED AB ,EF AC
9、 ,得到四边形EDAF ,它的面积记作S1；取BE中点 E1,作 E1D1 FB,E1F1 EF,得到四边形E1D1FF1,它 的 面 积记 作S2.照此规律作下去,就S2022 = . 图 1 2.如图, ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形,在ABC 内作第 1 个内接正方形A 1B1 D1E1（D 1、E1 在 AB 上,A1、B1 分别在 AC、BC 上）,再在 A1B1C 内接同样的方法作第2 个内接正方形A 2B2D 2E2,如此下去,操作n 次,就第 n 个小正方形A nBnD nEn 的边长是B3.（2022 贵州贵阳, 15 ,4 分）如图 3,在第 1 个 A
10、BA 1 中,B=20 ,AB=A1 B,在 A1B 上取一点 C,延长 AA1 到 A2,使得 A1A2=A1C；在 A2C 上取一点 D,延长 A1A2 到 A3,使得 A2A3=A2D； ,按此做法ACDAEAAA进行下去,第n 个三角形的以A n 为顶点的内角的度数为 . A图 3 4.如下图 1 是二环三角形,可得 S= A1+ A2+ + A 6=360 ,下图 2 是二环四边形,可得 S= A 1+A2+ + A7=720 ,下图 3 是二环五边形,可得 S=1080 , 聪慧的同学,请你依据以上规律直接写出二环 n 边形（ n 3 的整数）中, S= 度（用含 n 的代数式表示
11、最终结果） 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5如图 5,已知RtABC,D1是斜边AB的中点,过D 作D E 11AC于E 1,连结BE 交CD1于D2；过D2作D2E2AC于E2,连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3AC于E , ,如此连续,可以依次得到点D4,D5, ,Dn,分别记BD E1,BD2E2,BD3E3, ,BDnEn的面积为S 1,S2,S3,Sn.就S = SABC（用含n的代数式表示） . B A D 1 D 2 D3 D 4 C E1 E2 E3 图 5 6.（2022 密云）在A
12、（ 0 A 90 ）的内部画线段,并使线段的两端点分别落在角的两边 AB、AC 上,如下列图,从点A 1 开头,依次向右画线段,使线段与线段在两端点处相互垂直,A 1A2 为第 1 条线段设AA1= A1A2= A2A3=1 ,就A = o ；如记线段 A 2n-1 A2n 的长度为 an（n 为正整数）,如 A 1A2= a1,A3A 4= a2,就此时 a2= ,an= （用含 n 的式子表示） 7.（2022 .连云港）如图, ABC 的面积为 1,分别取 AC、 BC 两边的中点 A1、B1,就四边形 A1ABB1 的面积为,再分别取 A1C、B1C 的中点 A 2、B2, A2C、
13、B2 C 的中点 A3、B3,依次取下去 利用这一图形,能直观地运算出 = 图 6 图 7 8. 已知：四边形 ABCD 的面积为 1. 如图 1,取四边形 ABCD 各边5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 中点,就图中阴影部分的面积为；如图 2,取四边形ABCD 各边三等分点,就图中阴影部分的面积为； ；取四边形 ABCD 各边的 n（n 为大于 1 的整数）等分点,就图中阴影部分的面积为 . A A AD 2 A1 D 3A1 D1D A2 A1D 1D A3 A2 D 2D1DBB1C C 1 BB1B2 C
14、 C1 C2 BB1 B2 B3 C C 1 C 2 C3图 1 图 2 图 39（ 2022 广西百色）如图,在直角坐标系中,射线 OA 与 x 轴正半轴重合,以 O 为旋转中心,将 OA 逆时针旋转 : OA OA 1 OA 2OA ,旋转角 n AOA 1 2 , A 1OA 2 4 , A 2OA 3 8 ,要求下一个旋转角 不超过 360 是前一个旋转角的 2 倍 .当旋转角大于 360 时,又从 2 开头旋转,即A 8 OA 9 2 , A 9 OA 10 4 ,周而复始 .就当 OA 与 y 轴正半轴重合时,n 的最小值为（）（提示： 2+22+23+24+25+26+27+28=510 ）A. 16 An4yB. 24 A4C.27 D. 32 A62A5A 8A9A3OA2 A1x510A2A7第 9 题4686 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页