《2022年第五章高等数学试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第五章高等数学试题及答案.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 五 章 定 积 分1证明定积分性质：b kf axdxxikb afxdxx i（ k 是常数） . 证：kbfx dxknflim 0nkfbkfx dxlim 0i1ai1a2估量以下积分值：5（1）4 1sin2xdx4解：令fx1sin2x,就fx42sinxcosxsin2 x0得驻点：x 12,x 2,f3,f43 2,由f22,f,12得minfx,1maxfx25由性质,得4fx dx24（2）3xarctan xdx33解：令fxxarctanx,fxarctanx1xf0,maxfx 3,x2所 以fx 在3,3上 单
2、调 增 加 ,3minx 6333（333）3xarctanxdx3）,36（33333即93xa r c t a n x d x23333比较以下积分值的大小：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）1x2dx与1x3dx00解：当0x1时,有x3x2,且x3x2不恒等于 0 ,1（0x2x3）dx0,即1x2dx1x2dx；00（2）0xdx 与0sin xdx解：当0x6时,有sinxx,且xsinx不恒等于 0 ,1（0xsinx）dx0,即1x dx1sinx dx；00（3）1 0xdx 与1ln 1x
3、dx0解：令fxxln1x,就fx111x1xx00x1 所以fx在01,上单调增加,fxxln1xf00,且xlnx不恒等于 00x1 ,所以1xdx1l n xdx00（4）1 1x dx与1exdx00解：令fxex 1x ,就fxex100x1 ,所以fx 在0 1, 上单调增加,fx ex 1xf00,且ex 1x不恒等于 00x1,所以1exdx1 1x dx004求以下各导数：1 d dxxsintdtx2 d dx00et2dtdxet2dtex21tx解：dxsintdt=sin解：d dxet2dt=dx1tx0xdx3 d dxx 3dtx 21t4名师归纳总结 - -
4、- - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：dx 3dtt43 xx283 x2122xdxx21112 x1x1x18 x4 dcosxcost2dtx dxsinx解：dcosxcost2dtcoscosx 2sinx cossinx 2cosdxsinxcos1sin2x sinxcossinx2cosxcossin2x sinxcossin2x cosxsinxcosxcossin2 x5求由参数表示式xtsinudu所给定的函数y 对 x 的导数；0ytcosudu0dy解：dydt dxcos tcottdxsintdt6求由yt
5、 edtxcostdt0所确定的隐函数y 对 x 的导数；00解：方程两边对x 求导,得：eydycosx0,所以dyey cosxdxdx7求以下极限：名师归纳总结 （1）lim x 0xcost2dtlim x 0cosx2t e21lim x 02x 0t e2dtlim x 0ex 22 e2 x2ex 2第 3 页,共 10 页0x1（2）lim x 0xet2dt2lim x 02 ex2xdt00xte2t2dt2 xex 2x xe22xlim x 0012x222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8设fx 1sinxx00xx,求x
6、xftdt在,内的表达式；20或0解：当x0时,x xf tdttx0 dt0tdtft1 21cosx tdtx0 dt100当0x时,x xfdtx 1sin002当 x时,x xftdt0ftdtxdt01sin020cosx0x0（x）1 121xx9运算以下各定积分：名师归纳总结 （1）a3x2x1 dx=3 x1x2xaa31a2a445114第 4 页,共 10 页022（2）02 3x1x299x 1xdx9 4x1x dx32244261dxx2arcsinx16（3）04203 a1dx 114 0（4）03 aa2dxx21arctanx3 aaa0（5）03x4x23x
7、21 dx03x2dx01111x2（6）e211dxln1xe21 1xdtan（7）04tan2d04sec21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （8）2sin xdx0sin xdx2sin xdxcos x0cos x240（9）2 0fxdx, 其中fxx1x11x131 6x323811x2x12解：2 0fxdx1x1dx21x2dxx20101223（10）3fx dx,其中fxx0x. x2ee0ex1x3解：3 0xdx1xdx3 1ex31efxdx220013310运算以下定积分：名师归纳总结 （1）sinx3dxcosx33c
8、os3cos220第 5 页,共 10 页33（2）2 0sincos3d2cos3dcos1cos410404（3）2cos2udu21cos2udu1u22cos2udu22（4）6666131sin23u262286ax2a2x2dx令a4sin2tcos2tdtxasint020a402sin22t d2 t令2 tua401cos2udu882a4u01sin2 ua4162016- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （5）15x4xdx令54xu154u2udu135u2du13u281（6）115 u1u311xu02udu21 1u11du
9、31836dx令2311x1u104212ulnu1212ln210（7）1tet2dt1et2dt2et2122201e2002（8）0x2dx20dx211arctanx1 02222 x2x1 （9）2cosxcos3xdx22cosxsin2xdx0222cosxsinxdx22cosxdcosx004cosx3242303x dx. 11设fx在b ,b上连续,证明：bfxdxbfbb证：令xt,就dx右边左边bbftdtbftdtbfx bb12证明：11dx211dx2. xxx1x名师归纳总结 证：令x1,就第 6 页,共 10 页t- - - - - - -精选学习资料 -
10、- - - - - - - - 左边1t2dt111t211dt11x11dx=右边xx1 12xt2名师归纳总结 13设fx是以 l 为周期的函数,证明alfx dx的值与 a 无关；第 7 页,共 10 页a证一：alfx dxlfx dxlalfx dxaa而lalfx dxxtlaf tl dtaft dtafx dx000alfx dxlfx dxafx dxlfx dxaa00所以alfxdx的值与 a 无关；a证二：令Faalfx dx,就Faf alfa0,a所以Fa alfxdx是与 a 无关的常数；a14如ft是连续函数且为奇函数,证明xftdt是偶函数；0证：令Fxxft
11、dt,就0Fx0xftdttuxfuduxfu duFx00所以xftdt是偶函数；015证明：ax fxf axdxaafax dx. 00证：axfx dxaxt0atfatdt0aaatfatdtaaf atdta tf 0 atdt00aafaxdxa 0xfax dx0axfx dxaxfaxdxaafaxdx000即ax fx faxdxaafax dx00- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 161xexdx1xdexxex11exdxe1ex100000名师归纳总结 12 ecos22第 8 页,共 10 页172tsintdt12tdco
12、st1t00t00costdt2212sint222424xdx0184lnxdx24 1lnx dx2xlnx111xxcosx22e2xsinxdx8ln24x48ln241192e2x cosxdx12cosxde2x1e2x02020011102sinxde2x11e2xsinx2 0102e2xcosxdx222442e2xcosxdx1e2051x3010x2dsin2x200xsinx2dx0x21cos2xdx12232631x2sin2x0102xsin2xdx310xdcos2x426431xcos2x00cos2xdx31sin2x06346464421elnxdx1ln
13、xdxelnxdx1112eexlnxeedxxlnx1 11dx2111eee- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22判别以下各广义积分的收敛性,假如收敛,运算广义积分的值：名师归纳总结 （1）1dx1 3lim xx3111112第 9 页,共 10 页x4解：1dx1x31x4333即广义积分收敛于1. 2x limx13（2）1dxx解：1dx2x1x1dx发散 . x1axx lime（3）0eaxdxa0解：0eaxdx1eax0aaa即广义积分收敛于1. a（4）21dx22dx0x解：21dx211dx20x0x11x2lim 011lim 011lim 011dx2lim 02dx0x1 1x211x0x1lim 011lim 01112dx12所以广义积分发散. 留意：此题按以下解法是错误的：2 0 1x2x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （5）1xdx1x名师归纳总结 解：1xdxt2xdxx1x2xdx11t2tdt第 10 页,共 10 页x11xx而2xdxlim 02dxx1tlim 011t21 x112lim 0arctan12dt2arctant12t21tdxx12x21x1所以1dx1xx- - - - - - -