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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解析几何教案一、课程简介本课程是高校数学系的主要基础课程之一；主要表达解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数,空间直线和平面,常见曲面,坐标变换,二次曲线方 程的化简等； 通过学习这门课程, 同学可以把握用代数的方法争论空间几何的一 些问题,而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法；二 、课程说明（一）课程的位置和任务本课程是高校数学系的主要基础课程之一,学好这门课为后续课程以及进一步学习数学和专业学问奠定必要的数学学问、方法和思维基础；（二）课程的基本要求 1懂得向量的概念 . 熟识向量、向量的模、方向余弦及单位向量的坐标
2、表达式；2把握用坐标表达式进行向量运算的方法,两个向量的夹角公式及平行、垂直 的条件；3把握平面和空间直线方程的各种形式、特点,以及点、线、面三者之间的各 种度量关系,会求平面和直线的方程；4懂得曲面方程的概念,把握空间特别二次曲面（如柱面、锥面、旋转曲面）的标准方程及其图形； 把握争论二次曲面的方法, 能娴熟地利用平面截割的方法来熟识空间曲面的外形以及它们的主要性质,画出它们的图形；并能依据曲面的标准方程5把握二次曲线方程的几何特点与二次曲线方程的不同化简方法与分类知道空 间曲线的参数方程和一般方程；（三）课程内容的重点、深广度本课程的基本思想是用代数的方法争论几何；重点要求在前两章的基础把
3、握下,利用向量、坐标两大工具,去争论空间平面与直线,去建立特别二次曲面的 方程,去把握二次曲线的一般理论； 本课程论证严谨, 表达深化浅出, 条理清晰,具有较好的广度与深度；（四）与其它课程的联系与分工 先修课：平面解析几何、线性代数（五）对同学才能培育的要求和方法 同学除了参与闭卷考试外, 关键是把握一种解析分析方法,另外,培育同学 对空间图形的直观想象才能；（六）学时安排建议（详细见教学日历）名师归纳总结 课程内容讲课时数习题课时数第 1 页,共 11 页矢量与坐标18 2 轨迹与方程8 2 平面与空间直线16 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
4、 学习必备欢迎下载2 柱面、锥面、旋转曲面与二14 次曲面 总计 64一、课程内容 第一章 矢量与坐标【说明】：学习目标 学问结构 一、学问网络 二、重点内容提示表,1、矢量的概念2,矢量的线性运算性质 1、交换律 a+b=b+a 2、结 合 律 （ a+b ）+c=a+b+c 3、矢量加法有三角形法运算定义矢 量 的设已知矢量 a,b,以空间任意一点o 为始加法点,做矢量 OA=a,AB= b,得一折线 OAB,从折线的端点o 到另一端点的矢量OB=c,叫做矢量 a,b 的和,记做 c=a+b；把求两矢量和的运算叫做矢量加法；就、平行四边形法就、多边形法就；矢 量 减当矢量 b 与矢量 c
5、的和等于矢量 a,即1、a-b=a+-b 法b+c=a 时,我们把矢量 c 叫做矢量 a,b 的2、a-b=a+b 差,并记做 c=a-b；由两矢量 a,b求它们的差的运算叫做矢量减法；数 量 与实数 与矢量 a 的乘积是一个矢量,记1、1 aa 矢 量 的做 a,它的模是 a a2、结合律乘法 ; a 的方向,当 0 时,与 a 的方 （ a）= a 向相同,当 0 时与 a 相同 , 当 0 时, 与 a 的方向相反 .我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法 . 简称为数乘 . 二、定理 1.3.1 数量与矢量的乘法满意下面的运算规律 :1、1aa 2、结合律 3、第一安排律 （ a）= a
6、（ ）a= a+ a 4、其次安排律 （a+b）= a+ b 这里 a,b 为矢量 , , 为任意实数 . 三、例题例 1, 设 AM是 ABC的中线 , 求证 AM=1/2AB+AC 例 2, 用矢量法证明 : 连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半 . 1.4 矢量的线性关系与矢量的分解一, 概念定义 1.4.1 由矢量 a1,a2, an 与数量 1, 2, n 所组成的矢量a= 1 a1+ 2 a2+ . + nan 叫做矢量 a1,a2, an的线性组合；当矢量 a 是矢量 a1,a2, an 的线性组合时,也说：矢量 a 可以分解为a1,a2, an 的线性组合；
7、a 也称为矢量 a 的线性组合；定义 1.4.2 对于 n（n1）个矢量 a1,a2, an,假如存在不全为零的 n 个数 1, 2 n使得 1 a1+ 2 a2+ . + nan0,那么 n 个矢量 a1,a2, an叫做线性相关；不是线性相关的矢量叫做 线性无关 ；只有当 1 2 n0 时, 1a1+ 2 a2+ . + nan0 才能成立,称矢量 a1,a2, an 线性无关 . 推论: 一个矢量线性相关的充要条件是 a=0.二, 基本定理定理 1.4.1 假如矢量 e 0,那么矢量 r 与矢量 e共线的充要条件是 r 可以用矢量 e线性表示 ,或者说 r 是 e 的线性组合 ,即 r=
8、xe , 这时 e 称为用线性组合来表示共线矢量的 基底；并且 x 被 r,e唯独确定；名师归纳总结 定理 1.4.2 假如矢量 e1,e2 不共线 ,那么矢量 r 与 e1,e2 共面的充要条件是 r 可第 5 页,共 11 页以用 e1,e2 线性表示 ,或者说矢量 r 可以分解为 e1,e2 的线性组合 ,即r=xe1+ye2 ；并且 x,y 被 e1,e2,r 唯独确定；这时 e1,e2 叫平面上矢量的基底；定理 1.4.3假如矢量 e1,e2,e3不共面,那么任意矢量r 可以由 e1,e2e3 线性表示,或者说空间任意矢量r 可以分解为 e1,e2,e3的线性组合 ,即 R=xe1+
9、ye2+ze3；并- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载且系数 x,y,z 被 r, e1,e2,e3 唯独确定；这时 e1,e2,e3叫空间矢量的基底；定理 1.4.4 当 n2 时, 矢量 a1,a2, an 线性相关的充要条件是其中一个矢量是其余矢量的线性组合那么这一组矢量就线定理 1.4.5假如一组矢量中的一部分矢量线性相关,性相关 推论 : 一组矢量假如含有零矢量,那么这组矢量必线性相关；定理 1.4.6 定理 1.4.7两矢量共线的充要条件是它们线性相关. OA,OB三矢量共线的充要条件是它们线性相关. 定理 1.4.8空间任
10、何四个矢量总是线性相关. 推论 : 空间四个以上的矢量总是线性相关. 三、应用 例 1,已知三角形 ABC ,其中 OA=a,OB=b,而 M,N 分别是三角形两边上的点,且有 OM= a,0 1.ON= b0 1, 设 AN与 BM相交于 P, 试把矢 量 OP=p分解成 a,b 的线性组合；例 2,证明四周体对边中点的连线交于一点,且相互平分；例 3,设 Opi=r i i=1,2,3,试证 P1,P 2,P 3 三点共线的充要条件是存在不全为零的实数 1, 2, 3使得 1r 1+ 2r 2+ 3r 3=0 且 1 2 30. 例 4,设 a,b 为两不共线矢量,证明矢量 u=a 1a+
11、b1b, v=a 2a+b2b 共线的a 1 a 2充要条件是 0；b 1 b 21.5 标架与坐标一 概念定义 1.5.1 标架 o;e 1,e2,e3 : 空间中任一点 o,和三个不共面的有序矢量e1,e2,e3的全体 . 一般叫 仿射标架. 笛卡儿标架 o;e1,e2,e3:e 1,e2,e3都是单位矢量的标架 . 笛卡儿直角标架 简称 直角标架 : e1,e2,e3为两两相互垂直的笛卡儿标架 . 右旋标架 右手标架 左旋标架 左手标架 定义 1.5.2 r=xe1+ye2+ze3 中,x,y,z 叫做矢量 r 关于标架 o;e 1,e2,e3 的重量 或称为 坐标 , 记做 rx,y,
12、z 或x,y,z. 定义 1.5.3 对于取定了标架 o;e1,e2,e3 的空间中任意点 P,矢量 OP 叫做点P 的径矢 , 径矢 OP 关于标架 o;e 1,e2,e3 的重量x,y,z 叫做 点 P 关于标架o;e 1,e2,e3 的坐标 ,记做 Px,y,z或x,y,z. 坐标系 : 当空间取定标架 o;e 1,e2,e3 后,空间全体矢量的集合或全体点的集合与全体有序三数组 x,y,z 的集合具有一一对应的关系；标架 坐标系 卦限平面上的类似概念坐标系中有关定理名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备
13、 欢迎下载二 定理 1） 用矢量的始点和终点坐标表示矢量的重量；定理 1、5、1 矢量的重量等于其终点坐标减去其始点的坐标；P1P2=x 2-x1, y2-y1, z2-z1 2） 用矢量的重量进行矢量的线性运算；定理 1、5、2 两矢量的和的重量等于两矢量对应的重量的和；a+b= x 2+x1, y2+y1, z2+z1 定理 1、5、3 数乘矢量的重量等于这个数与矢量的对应重量的积； a= x, y, z 3 两矢量共线、三矢量共面的条件 定理 1、5、4 两个非零矢量 aX 1,Y 1,Z1, bX 2,Y2,Z2 共线的充要条件是对应名师归纳总结 重量成比例；即X1=Y 1=Z1第 7
14、 页,共 11 页X2Y 2Z2推 论 ：三 点Ax 1,y1,z1, Bx 2,y2,z2, Cx 3,y3,z3 共 线 的 充 要 条 件 是x 2x 1y 2y 1z 2z 1x 3x 1y 3y 1z 3z 1定理 1、5、5 三个非零矢量 aX 1,Y 1,Z1, bX2,Y 2,Z2 cX3,Y3,Z3, 共面的充X1Y 1Z1要条件是X2Y 2Z20X3Y 3Z3推 论 ：四 个 点A ixi,yi,zi i=1,2,3,4 共 面 的 充 要 条 件 是x 2x 1y2y 1z 2z 10或x 1y 1z 110x 2y 2z 21x 3x 1y3y 1z 3z 1x 3y
15、3z 31x 4x 1y4y 1z 4z 1x 4y 4z 414）线段的定比分点坐标对于有向线段 P1P2（ P1 P2）,假如点 P 满意 P1P= PP2 我们称点 P 是把有向线段 P1P2 分成定比 的分点；可以看出,给定了点P1P2,分点由 唯独确定；定理 1、5、6 设有向线段 P1P2的始点 P1P2 终点 P1P2,那么分有向线段 P1P2成定比 （ -1 ）的分点 P 的坐标是xx 1x 2yy 1y 2zz 1z 2111推论：设 Pi xi,yi,zi i=1,2 那么线段P1P2 的中点坐标是xx 12x 2yy 12y 2zz 12z 2三应用例、 已知三角形三顶点
16、为Pi xi,yi,zi i=1,2,3 求PP P 的重心坐标；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Gx 1x2x3y 1y2y 3学习必备欢迎下载z 1z 2z 3333一、基本概念1.6 矢量在轴上的射影1、点在轴上的射影：已知空间一点 A 与一轴 l,过点 A 作垂直于轴 l 的平面 ,这个平面与轴 l 的交点 A叫做点 A 在轴 l 上的射影；2、定义 1、6、1 设矢量 AB的始点 A和终点 B在轴 l 上的射影分别为点 A,B,那么矢量 AB叫做矢量 AB在轴 l 上的射影矢量； 记做射影矢量 l AB；3、取轴上与轴同方向的单位矢量 e,
17、那么有射影矢量 lAB=AB=xe x 就叫做矢量 AB 在轴 l 上的射影,记作射影 l AB,即 射影l AB=x 射影矢量 l AB和射影 lAB可以分别写作 射影矢量4、矢量的夹角：设 a,b 为两非零矢量,自空间任一点eAB和射影 eAB. O做 OA=a ,OB=b,我们把由射线 OA和 OB构成在 0 与 做（ a,b ）. 之间的角, 叫做矢量 a 与 b 的夹角,记二、定理定理 1、6、1 矢量 AB在轴 l 上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹 角的余弦：射影l AB= AB cos , =l,AB 推论：相等矢量在同一轴上的射影相等；定理 1、6、2 对于任何矢量 a,
18、b 有 射影 l a+b= 射影 l a+射影 l b 射影l a；定理 1、6、3 对于任何矢量与任意实数 有：射影l a= 三、应用例：设在直角坐标系O;i,j,k下,矢量a=Xi+Yj+Zk ,试证明射影i a=X 射影ja=Y 射影ka=Z 一、引入1.7 两矢量的数性积二、定义：定义 1、7、1 两个矢量 a ,b 的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量 a 和 b 的数性积 （也称内积）；记做 a.b 或 ab 即a.b= a b cos（ a,b ）方向角：矢量与坐标轴（或坐标矢量）所成的角叫矢量的方向角；方向余弦：方向角的余弦叫做 向角来打算；三、定理方向余弦 ；一个矢量的方向完全
19、可由它的方定理 1、7、1 两矢量 a ,b 相互垂直的充要条件是 a.b=0 定理 1、7、2 矢量的数性积满意下面的运算规律名师归纳总结 1 ） 交换律a.b= b.aa. b 第 8 页,共 11 页 2 ） 关于数因子的结合律（ a）.b = a.b= 3 ） 安排律 a+b.c= a.c+b.c- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定理 1、7、3 设 a=X1i+Y1j+Z1k, b=X 2i+Y 2j+Z 2k 那么 a.b=X1X2+Y1Y2+Z1Z2推论： 设 a=Xi+Yj+Zk, 那么 a.i =X a.j =Y a
20、.k =Z 定理 1、7、4 设 a=Xi+Yj+Zk ,那么 a a 2 X 2 Y 2 Z 2定 理 1 、 7 、 5 空 间 两 点 P1x 1,y 1,z 1 ,P 2x 2,y 2,z2 间 的 距 离 是d x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2定理 1、7、6 非零矢量的 a=Xi+Yj Zk 方向余弦是cosXX2X2Z2a 的三个方aYcosYX2Y2Z2且 cos2 +cos 2 +cos2 =1 aYcosZX2Z2Z2aY式中的 , , 分别是矢量 a 与 x 轴,y 轴,z 轴的交角,即矢量向角；定理 1、7、7 设空间中两个非零矢量为 他们夹角
21、的余弦是aX1,Y 1,Z 1 和 bX2,Y 2,Z 2 ,那么cos（ a,b ）aa b bX 1 2Y X1 2 1 X 2Z 1 2 Y 1 Y 2X 2 Z2 1 ZY 22 2Z 2 2推论 矢量 aX1,Y 1,Z 1 与 bX2,Y 2,Z 2 相互垂直的充要条件是 X1X2+Y1Y2+Z1Z2=0 三、应用1、以上结论在平面直角坐标系中的推广；2、解决问题例 1：证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和；例 2：证明假如一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么它就和平面内的任何直线都垂直,即它垂直于平面；例 3：试证三角形的三条高交于一点；例 4：已知三点 A1
22、,0,0,B3,1,1,C2,0,1, a 与 b 的 夹角；（2）a 在 c 上的射影；且 BC=a,CA=b,AB=c,求（1）例 5：利用数性积证明柯西施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式a b3aib i23ai23b i2i1i1i1一、定义1.8 两矢量的数矢性积定义 1、8、1 两矢量 a 与 b 的矢性积（也称外积）是一个矢量,记做或ab. 它的模是ababsina ,b,它的方向与 a,b 都垂直,并且按 a,b, a b 这个次序 构成右手标架 O；a,b, a b 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - -
23、 - - - 学习必备欢迎下载a, b 为边所构成二、定理 定理 1、8、1 两不共线矢量 a,b 的矢性积的模,等于以的平行四边形的面积；定理 1、8、2 两矢量 a,b 共线的充要条件是 a b0 定理 1、8、3 矢量积是反交换的,即a b（ b a）定理 1、8、4 矢性积满意关于数因子的结合律,即 a b= a b=a b 式中 a,b 为任意矢量, 为任意实数；推论 设 , 为任意实数,那么（ a） b= a b 定理 1、8、5 矢性积满意安排律,即（a+b） c=a c+b c 推论 c a+b=c a+c b 定理 1、8、6 假如 a=X1i+Y1j+Z1k, b=X2i+
24、Y2j+Z2k, 那么 a bY 1Z1iZ 1X1jX1Y 1kY 2Z2Z2X2X2Y 2或写为 a bijkX1Y 1Z1X2Y 2Z2三、举例应用 例 1: 证明 a-b a+b=2a b, 并说明它的几何意义；例 2: 证明： a b 2+ab 2=a 2b 2 例 3：已知空间三点 A1,2,3,B2,-1,5,C3,2,-5, 试求1 ABC的面积；（2） ABC的 AB边上的高；1.9 三矢量的混合积一、定义a,b,c,假如先做前两个矢量a 与 b 的矢定义 1、9、1 给定空间的三个矢量性积,再做所得矢量与第三个矢量c 的数性积,最终所得的这个数叫做三矢量a,b,c的混合积,
25、记做（ a b） c 或a,b,c或（ abc）. 为棱 a,b,c二、性质定理 1、9、1 三个不共面矢量 a,b,c的混合积的肯定值等于以a,b,c的平行六面体的体积V,并且当 a,b,c 构成右手系时,混合积是正数；当构成左手系时,混合积是负数,也就是有（abc） V；当 a,b,c构成右手系时, 1；当 a,b,c构成左手系时, 1；定理 1、9、2 三矢量 a,b,c 共面的充要条件是 a,b,c0；定理 1、9、3 轮换混合积的三个因子,并不转变它的值,对调任何两个因 子要转变乘积符号,即（abc）（ bca）（ cab）（ bac）（ acb）（ cba）名师归纳总结 推论：（a
26、 b） ca （b c）3i+Y 3j+Z 3k, 那么第 10 页,共 11 页定理 1、9、4 假如 a=X 1i+Y 1j+Z 1k, b=X 2i+Y 2j+Z 2k, c=X- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - X1学习必备Z1欢迎下载Y 1abcX2Y 2Z2X3Y 3Z3推论：三矢量 aX1,Y 1,Z 1 、bX2,Y 2,Z 2 cXX1Y 1Z10X2Y 2Z2X3Y 3Z3三、例题3,Y 3,Z 3 共面的充要条件是例 1 设三矢量 a,b,c 满意 a b+b c+c a=0, 试证三矢量 a,b,c 共面；例 2 已知四周体 ABCD的顶点坐标 A0,0,0,B6,0,6,C4,3,0. D2,-1,3, 求它的体积；例 3 设 a,b,c 为三个不共面的矢量,求矢量d 对于 a,b,c 的分解式；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页