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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数,就称定义在此空间区域内的 函数为场；匀称场：同一时刻内各点函数的值都相等；反之为不匀称场；定常场：场内函数值不依靠于时间； ；反之为不定常场；1.2 场的几何表示标量场：等位线；矢量场：矢量线的微分方程：a xdxaydydz , , , , , , a x y z t z , , , 积分,将 t 看成参数,即得矢量线的分析表达式；1.3 梯度标量场不匀称性的量度梯度：大小为n ,方向为 n,的矢量称为标量函数的梯度,以grad
2、nn表之；在 s 方向上的方向导数等于梯度矢量在 梯度grad 在直角坐标系中的表达式为s 方向上的投影；gradxiyjzk总结起来,梯度的主要性质是：名师归纳总结 1）梯度grad描写了场内任一点M 领域内函数的变化状况,第 1 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习它是标量场不匀称性的量度；2）梯度grad 的方向与等位面的法线重合,且指向 增长的方向,大小是 n 方向上的方向导数 n ；3）梯度矢量grad 在任一方向 s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad的方向,即等位线的法线方向是函数变化最快
3、的方向；定理 1 梯度grad 满意关系式d dr grad定理 2 如a grad,且 是矢径 r 的单值函数, 就沿任一封闭曲线 L 的线积分a drL等于零,反之,如矢量a 沿任一封闭曲线 L 的线积分adr0L就矢量 a 必为某一标量函数的梯度；（r ）的梯度 grad；r 有关的标量函数例：运算仅与矢径大小I）利用性质（ 2）,标量函数= （ r ）的等位面是以坐标原点为心的球面,而球面的法线方向,即矢径r 的方向,故grad的方向就是矢径 r 的方向其次的大小是r=（ ）r于是名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - -
4、 - 个人收集整理=仅供参考学习grad（ ）r rrii ）利用性质（ 5）,明显xdrydrzdrdrx ,dry ,drz因rx2y2z2故rxryrzyr ,xr ,zr于是xx dyy dzz dr dr ,r dr ,r dr而gradixjykzxiyjzk dr=（ ）rrdriii ）利用定理 1,d r=（ ）dr（ ）rdrr因r rr2微分得rdrrdr于是d（ ）rr drr依据定理 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理grad仅供参考学习=（ ）r rr最终我们指出, 写成a
5、grad的矢量场亦称位势场,称为位势函数；1.4 矢量啊通过 S 面的通量；矢量的散度；奥高定理；通量 sa dS 散度/ 奥高公式微分形式divaV lim 0sa dSV散奥高公式积分形式sa dSVdivadV散度在直角坐标系中的形式为divaaxaya zxyz组成一标量场；1.5 无源场及其性质值；无源场： div a=0 的矢量场或称管式场；主要性质：1）无源场矢量 a 经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数2）矢量管不能在场内发生或终止；一般来说它只可能伸延至无穷,靠在区域的边界上或自成封闭管路；3）无源矢量 a 经过张于一已知周线L 的全部曲面 S 上的通量均名师归纳总结 相同
6、,亦即此通量只依靠于周线L 而与所张曲面 S 的外形无关；第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习1.6 矢量 a 沿回线的环量；矢量 环量：a 的旋度；斯托克斯定理La drLa dxa dya dz旋度 / 斯托克斯微分形式：rot alim S 0La drS斯托克斯积分公式：La drSrot adSSrota dS直角坐标系中的表达式：rotaijkxyzaxayaz1.7 无旋场及其性质rota=0 的矢量场称为无旋场；无旋场和位势场的等价性；1.8 基本运算公式名师归纳总结 - - - - - -
7、 -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习1.9 哈密顿算子 哈密顿算子：ixjykz用哈密顿算子表示几个较复杂的微分公式：a ixajixixyjkykziazxjyaxkzgraddivaa xrotaazjjayay iaxkazzxyzykz iaxjaykaziayja xa zkayyzzxxys 0aas2利用哈密顿算子证明几个较为复杂的微分公式：（1）diva= diva+grada ；证 等式左边可写成名师归纳总结 diva= a第 6 页,共 7 页依据两函数乘积的微分法就, a等于看成常数微分 a 和a看成常数微分二项之和,于是有diva=（caa c其中c ,a 代表临时看作是常数的符号,这符号以后常常使用,先考虑（c,既然c是常数,对它不起微分作用,因此应当提出放在微分符号之前,于是有cacacdiva- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次考虑ca,此时个人收集整理仅供参考学习之前,但它作为一矢量a 是常数应提到符号名师归纳总结 仍应和矢量起点乘作用,于是有a cgrad第 7 页,共 7 页a ca c既然都在微分号外便可去掉指标c,这样最终得diva=diva+grada- - - - - - -