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1、个人收集整理仅供参考学习第一章场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的 函数为场。均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。反之为不均匀场。定常场：场内函数值不依赖于时间。 。反之为不定常场。1.2 场的几何表示标量场：等位线。矢量场：矢量线的微分方程：( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzax y z tax y z ta x y z t积分，将 t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。1.3 梯度标量场不均匀性的量度梯度：大小为n，方向为 n，的矢量称为标量函数的梯度，以gradnn表之。在 s
2、方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。梯度grad在直角坐标系中的表达式为gradijkxyz总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad描写了场内任一点M 领域内函数的变化状况，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页个人收集整理仅供参考学习它是标量场不均匀性的量度。2）梯度grad的方向与等位面的法线重合，且指向增长的方向，大小是 n 方向上的方向导数n；3）梯度矢量grad在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad的方向，即等位线的法线方向是函数变化最快的方向。定理 1 梯度grad满足关
3、系式ddrgrad定理 2 若agrad，且是矢径 r 的单值函数， 则沿任一封闭曲线 L 的线积分La dr等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线 L 的线积分La0dr则矢量 a 必为某一标量函数的梯度。例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数（r ）的梯度grad。I）利用性质（ 2） ，标量函数=（r）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故grad的方向就是矢径 r 的方向其次的大小是=rr（ ）于是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页个人收集整理仅供参考学习=rrrgrad（ ）
4、ii）利用性质（ 5） ，显然xdrdrx，drydry，zdrdrz因222rxyz故rxxr，ryyr，rzzr于是x dxr dr，y dyr dr，zz dr dr而=rrxiyjzk dgradijkxyzrdr（ ）iii ）利用定理 1，rrdrrdrr（ ）d (r)=（ ）因2r rr微分得rdrrdr于是rdr drr（ ）根据定理 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页个人收集整理仅供参考学习=rrrgrad（ ）最后我们指出， 写成agrad的矢量场亦称位势场，称为位势函数。1.4 矢量啊通过
5、 S面的通量。矢量的散度。奥高定理。通量nsa dS散度/奥高公式微分形式0limVnsVa dSdiva散奥高公式积分形式nsVa dSdivadV散度在直角坐标系中的形式为yxzaaadivaxyz组成一标量场。1.5 无源场及其性质无源场： div a=0的矢量场或称管式场。主要性质：1）无源场矢量a 经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。2）矢量管不能在场内发生或终止。一般来说它只可能伸延至无穷，靠在区域的边界上或自成封闭管路。3）无源矢量 a 经过张于一已知周线L 的所有曲面 S 上的通量均相同，亦即此通量只依赖于周线L 而与所张曲面 S 的形状无关。精选学习资料 - - - -
6、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页个人收集整理仅供参考学习1.6 矢量 a 沿回线的环量。矢量a 的旋度。斯托克斯定理环量：()xyzLLa dra dxa dya dz旋度/斯托克斯微分形式：0limLnSa drrot aS斯托克斯积分公式：nLSSa drrot adSrota dS直角坐标系中的表达式：xyzijkrotaxyzaaa1.7 无旋场及其性质rota=0的矢量场称为无旋场。无旋场和位势场的等价性。1.8 基本运算公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7
7、 页个人收集整理仅供参考学习1.9 哈密顿算子哈密顿算子：ijkxyz用哈密顿算子表示几个较复杂的微分公式：()ijkijkgradxyzxyz() ()yxzxyzaaaaijkiajakadivaxyzxyz()()()()()yyxxzzxyzaaaaaaaijkiajakaijkrotaxyzyzzxxy0()asas2利用哈密顿算子证明几个较为复杂的微分公式：（1）div(a)= diva+grada。证 等式左边可写成div(a)=( a)根据两函数乘积的微分法则，( a)等于看成常数微分 a 和a看成常数微分二项之和，于是有cdiv(a)=)()caa（其中c，ca代表暂时看作是常数的符号，这符号以后经常使用，先考虑c)a（，既然c是常数，对它不起微分作用，因此应该提出放在微分符号之前，于是有()cccaadiva精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页个人收集整理仅供参考学习其次考虑()ca，此时ca是常数应提到符号之前，但它作为一矢量还应和矢量起点乘作用，于是有()cccaaagrad既然都在微分号外便可去掉指标c，这样最终得div(a)=diva+grada精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页